Линейные регрессионные модели (96

Таблица 5

Данные специальной серии опытов по измерению y

Используя данные из этих таблиц, требуется получить экспериментальную зависимость y(m, b, s). При этом в качестве первого приближения следует выбрать линейную регрессионную модель вида (2), т. е.

где β0, β1, β2, β3 — коэффициенты регрессии; 1, m, b, s — ба-

зисные функции (F0 = 1, F1 = m, F2 = b, F3 = s); e — случайная величина.

Чтобы получить точечные оценки параметров регрессионной модели (10), используем данные табл. 4 и составим матрицы X и Y.

21

где xij — значение j-го фактора в i-м опыте, yi — значение отклика в i-м опыте. Численные значения всех базисных функций представим в матричной форме

где fij — значение j-й базисной функции Fj в i-м опыте. Чтобы определить точечные оценки b0, b1, b2, b3 коэффи-

циентов регрессии, применим МНК. Для этого найдем

Согласно формуле (6), получаем матрицу искомых то-

Кроме точечных оценок коэффициентов βi необходима оценка дисперсии σe2 случайной величины e.

22

Так как вид адекватной модели заранее не известен, то по формуле (8), используя данные специальной серии опытов (см. табл. 5), найдем

где yi — значение отклика в i-м опыте, причем эти значения не используются для получения точечных оценок коэффициентов регрессии.

Затем проведем статистический анализ, состоящий из проверки значимости коэффициентов регрессии, проверки адекватности и работоспособности регрессионной модели.

При проверке значимости коэффициентов регрессионной модели выясним, обусловлено ли отличие bi от нуля чисто случайными обстоятельствами или же это отличие неслучайно и вызвано тем, что в теоретической регрессионной модели действительно присутствует соответствующий коэффициент регрессии. Проверка осуществляется путем вычисления статистик

где i = 0, 1, 2, 3. Следовательно,

Если |ti| ≤ t*, то соответствующий коэффициент регрес-

сии полагаем незначимым и исключаем из регрессионной модели. Критическое значение t* равно значению tν, α/ 2 , ко-

торое является квантилем уровня 1 −α/ 2 распределения

23

Стьюдента, число степеней свободы ν равно 7 и уровень значимости α соответствует 0,05, т. е.

t* = t7, 0,025 = 2,37.

После проверки значимости всех коэффициентов регрессии получим регрессионную модель, содержащую только значимые коэффициенты регрессии β(0), β(1), β(2), т. е.

y (m, b, s)=β(0) m +β(1) b +β(3) s + e ,

где m, b, s — базисные функции (F(0) = m, F(1) = b, F(2) = s). Затем численные значения всех базисных функций пред-

ставим в матричной форме

где fij — значение j-й базисной функции F(j) в i-м опыте. Точечные оценки b(0), b(1), b(2) значимых коэффициентов

регрессии определяем аналогичным образом, т. е.

Тогда уравнение регрессии имеет вид

24

Проверка адекватности регрессионной модели возможна, так как получена точечная оценка Se2 = 4,44 дисперсии σe2 и выполнено условие d +1 = 3 < N = 8 . Для такой проверки используется статистика

где yi — значения, предсказанные с помощью регрессионно-

го уравнения (11).

Критическое значение F* равно значению Fν1 , ν2 , α , кото-

рое является квантилем уровня 0,95 распределения Фишера, ν1 = N −d −1 = 5 и ν2 = 7 — число степеней свободы Se2, т. е.

F* = F5, 7, 0,05 = 3,97.

Так как F не превосходит критического значения F*, то мо-

дель адекватна. Следовательно, для регрессионной модели имеет смысл рассматривать вопрос о ее работоспособности.

Чтобы получить представление о точностных свойствах регрессионной модели, вычислим по формуле (9) точечную оценку коэффициента детерминации

Найденное значение R2 расположено близко к 1, что свидетельствует о хорошей точности регрессионной модели.

Таким образом, искомая экспериментальная зависимость y от массы механизма m, коэффициента затухания b демпфера и жесткости s пружины имеет вид

y =1,05m +2,89 b +5,26 s .

25

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1.Математическая статистика / В.Б. Горяинов, И.В. Павлов, Г.М. Цветкова и др.; Под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002.

2.Беляев Ю.К., Носко В.П. Основные понятия и задачи математической статистики. Статистические данные конечного объема. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1998.

3.Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высш. шк., 1977.

4.Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М.: Высш.

шк., 1999.

5.Дрейпер Н., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ: Пер. с англ. М.: Мир, 1986.

6.Себер Дж. Линейный регрессионный анализ: Пер. с англ.

М.: Мир, 1980.

26