Линейные операторы и их собственные векторы (120

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

дует, что элементами столбцов матрицы U являются координаты соответствующих собственных векторов линейного оператора.

4.Кратность корня λ0 характеристического уравнения называется алгебраической кратностью собственного значения λ0. Количество линейно независимых собственных векторов, соответству-

ющих собственному значению λ0, называется его геометрической кратностью. Геометрическая кратность корня λ0 не превышает его алгебраической кратности.

5.Собственные значения линейного оператора не зависят от выбора базиса. То есть множество всех собственных значений линейного оператора, называемое его спектром, инвариантно относительно базиса.

§5. ВТОРОЙ СПОСОБ НАХОЖДЕНИЯ

СОБСТВЕННОГО ВЕКТОРА ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА, СООТВЕТСТВУЮЩЕГО ПРОСТОМУ КОРНЮ λ0 ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ

Теорема 1. Если λ0 — простой корень характеристического уравнения |A − λЕ| = 0, то соответствующий ему собственный вектор можно получить хотя бы из одного столбца присоединенной

Поскольку λ1 6= λ2, то существуют два линейно независимых вектора и они образуют новый базис линейного пространства, в котором действует данный линейный оператор. Найдем векторы этого базиса, т. е. собственные векторы линейного оператора. Так

21

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

как λ1 6= λ2, собственные векторы можно найти, используя присо-

Подставив по очереди в этот столбец λ1 = −1 и λ2 = 4, получим соответствующие собственные векторы:

— первый собственный вектор (C1x1 = C1 (1, −2) при C1 R);

— второй собственный вектор (C2x2 = C2 (1, 3) при C2 R). Найдены векторы нового базиса: x1 = (1, −2) и x2 = (1, 3) . Ответ: x1 = (1, −2) и x2 = (1, 3) — базис из собственных век-

торов.

Пример 10. Привести матрицу А к диагональному виду и указать матрицу перехода, если

Решение. Матрица A, заданная в некотором базисе, однозначно

определяет линейный оператор e.

A

Матрица линейного оператора e имеет диагональный вид в

A

базисе из собственных векторов, если таковой существует.

22

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Составим характеристическое уравнение |A − λЕ| = 0 и най-

Так как собственные значения попарно различны, соответствующие им собственные векторы линейно независимы. Следовательно, эти векторы образуют новый базис линейного пространства, при переходе к которому матрица оператора принимает диагональный вид:

Матрица перехода от старого базиса к новому составляется из координат новых базисных векторов, т. е. из координат собственных векторов матрицы A. Так как собственные значения попарно различны, соответствующие им собственные векторы можно най-

ти, используя присоединeнную матрицу ^λ (см. теорему 1).

A − E

Составим первый столбец этой матрицы, для чего вычислим алгебраические дополнения элементов первой строки матрицы:

23

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Но собственный вектор не может быть нулевым по определению. Для λ1 = −1 необходимо составить второй столбец, а может быть, и третий.

При λ2 = −2 получим столбец

−1

X3 = −2 = 2 −1 x3 = (4, −1, 2). 4 2

Вычислим алгебраические дополнения элементов второй строки матрицы (A − λE) и выпишем второй столбец присоединенной матрицы:

Первый собственный вектор x1 = (2, −1, 4).

Чтобы составить матрицу перехода U, выпишем координаты собственных векторов в соответствующие столбцы:

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

§6. ЛИНЕЙНЫЙ ОПЕРАТОР

ВЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Определение. Линейное пространство называется действительным евклидовым пространством E, если в нем определен закон, по которому каждым двум его векторам x и y ставится в соответствие действительное число (x, y), называемое скалярным произведением этих векторов, причем выполняются следующие аксиомы:

(x, y) = (y, x) ; (x + y, z) = (x, z) + (y, z) ;

(λx, y) = λ (x, y) ; (x, x) ≥ 0 и (x, x) = 0 при x = 0.

Определение. Два вектора пространства E называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.

Определение. Нормой вектора x E называется число kxk = p

=(x, x).

Определение. Базис пространства E называется ортонормированным, если все его векторы попарно ортогональны и имеют нормы, равные единице, т. е.

Замечание. Только в ортонормированном базисе скалярное произведение x и y вычисляется по формуле

= x21 + x22 + . . . + x2n.

Теорема 2. Линейный оператор e, действующий в простран-

A

стве E, является самосопряженным тогда и только тогда, когда в

25

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

любом ортонормированном базисе этого пространства его матрица A является симметрической, т. е. A = Aт.

Рассмотрим свойства собственных векторов и собственных значений самосопряженного оператора.

Теорема 3. Если e — самосопряженный оператор, действую-

A

щий в пространстве E и имеющий в некотором базисе матрицу A, то все корни характеристического уравнения |A − λE| = 0 действительны. Следовательно, если матрица А симметрическая, то корни уравнения |A − λE| = 0 действительны.

Теорема 4. Если λ0 — корень характеристического уравнения |A − λE| = 0 кратности k, то ему соответствуют k линейно неза-

висимых векторов оператора e

A.

Следствие. Самосопряженный линейный оператор, действующий в пространстве En, имеет n действительных собственных значений, считая кратные, и n линейно независимых собственных векторов.

Из теоремы 3 следует, что если e — самосопряженный опера-

A

тор, то в пространстве En существует базис из собственных векторов этого оператора.

Теорема 5. Собственные векторы самосопряженного оператора, соответствующие различным собственным числам, ортогональны. То есть, если λi 6= λj, то им соответствуют собственные векторы xi и xj, такие, что (xi, xj) = 0.

Вывод. Если e — самосопряженный оператор, действующий в

A

пространстве En, то существует ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов этого оператора.

Следствие. Если А — симметрическая матрица, то ее можно привести к диагональному виду D = diag (λ1, λ2, . . . , λn) , причем D = BтAB, где B — матрица перехода к новому базису, составленная соответствующим образом из координат собственных векторов матрицы А, образующих ортонормированный базис пространства E.

Такая матрица В обладает свойством B−1 = Bт и называется ортогональной, поэтому D = B−1AB = BтAB.

Преобразование пространства E, задаваемое матрицей В, называется ортогональным.

26

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

к диагональному виду. Укажем матрицу перехода.

Решение. В некотором базисе евклидова пространства E3 данной симметрической матрице соответствует самосопряженный оператор. Следовательно, существует базис из его собственных векторов, и в этом базисе ему соответствует диагональная матрица

D = diag (λ1, λ2, λ3).

Определим собственные значения оператора, решив характе-

Найдем собственные векторы оператора, соответствующие полученным собственным значениям. Так как все λi различны, используем присоединенную матрицу. Составим первый ее столбец (его элементами являются алгебраические дополнения элементов первой строки матрицы (A − λE)):

λ1 = −3 −3 = 3 −1 x1 = (1, −1, −2)

−6 −2

27

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

— третий собственный вектор.

Отметим, что, так как все λi различны, собственные векторы, им соответствующие, не только линейно независимы, но и ортогональны. Действительно, все скалярные произведения (xi, xj) = 0 при i 6=j. То есть собственные векторы образуют ортогональный базис, в котором матрица оператора приобретает диагональный

Матрица U перехода от исходного базиса к новому состоит из координат собственных векторов, записанных в соответствующие

Так как нормы базисных векторов не равны единице, эта матрица не является ортогональной. Тогда связь между всеми матрицами имеет вид

28

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

ванием. Укажем матрицу этого преобразования.

Решение. Матрица самосопряженного оператора Аe, заданного матрицей А в некотором ортогональном базисе, принимает диагональный вид D = diag (λ1, λ2, λ3) в базисе из собственных векторов. Так как А — симметрическая матрица, существует ортонормированный базис из этих векторов, который необходимо найти для построения матрицы преобразования.

Определим собственные значения оператора, решив характеристическое уравнение |A − λE| = 0:

Вектор x3, соответствующий простому корню характеристическо-

го уравнения λ3 = 3, можно найти, используя присоединенную матрицу ^ :

A 3E

−

Но для λ1 = λ2 = 0 этот способ применять нельзя. Решим ОСЛАУ (A − 0E) X = 0, где X = (x1, x2, x3)т — матрица, соответствующая искомому собственному вектору.

Равенство

равносильно системе, состоящей из одного уравнения:

29

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

x1 + x2 + x3 = 0 x3 = −x1 − x2.

Поскольку RgA = 1, то (n − r) = 2. Общее решение этой си-

Кратным собственным значениям оператора соответствуют два линейно независимых собственных вектора: x1 = (1, 0, −1) и

x2 = (0, 1, −1).

Проверим попарную ортогональность собственных векторов:

ный базис, поэтому полученные векторы x1 и x2 не подходят. Можно подвергнуть векторы x1 и x2 процессу ортогонализации Грама — Шмидта или поступить следующим образом. Собственным значениям λ1 = λ2 = 0 соответствует бесконечное множество собственных векторов вида x = (c1, c2, −c1 − c2), где c1 и c2 — произвольные числа. Собственный вектор x1 = (1, 0, −1) получим при c2 = 0. Подберем c1, c2 так, чтобы векторы x1 = (1, 0, −1) и x = (c1, c2, −c1 − c2) были ортогональными, т. е. чтобы выполнялось условие

(x1, x) = 0 1 ∙ c1 + 0 ∙ c2 + (−1)(−c1 − c2) = 0,

где c2 = −2c1.

Пусть c1 = 1, тогда c2 = −2; x2 = (1, −2, 1) — второй собственный вектор. Базис из собственных векторов x1 = (1, 0, −1),

x2 = (1, −2, 1), x3 = (1, 1, 1) является ортогональным. Пронормируем эти векторы и получим ортонормированный базис:

30