Введение в функциональный анализ (60

Составители: доц. В. А. Курчатов доц. В. Р. Ризаев

Введение в функциональный анализ: методические указания / сост. В.

Изложены основные понятия функционального анализа для студентов магистратуры (Индекс учебной дисциплины – ЕН.01 Математика)

Подготовлены на кафедре высшей математики.

Печатаются по решению методической комиссии по циклу физико- математических дисциплин.

Рецензенты: проф. Ю. В. Малышев проф. Н. К. Нуриев

ВВЕДЕНИЕ

Методическая разработка знакомит студентов магистратуры КГТУ с основными понятиями функционального анализа, как естественного обобщения математического анализа, когда вместо числовой переменной используются переменные более сложной структуры – многокомпонентные вектора, матрицы и другие функции и операторы от них.

Методическая разработка предназначена студентам магистратуры КГТУ. Она будет полезна им при изучении операторов квантовой химии.

1. Банаховы пространства

Множество L элементов x, y, z,… некоторой природы называется линейным пространством, если для элементов пространства определены операции сложения и умножения на вещественное число, подчиненные обычным законам алгебры, установленными для сложения и умножения чисел.

Линейное пространство называется нормированным, когда для каждого элемента x пространства определено неотрицательное число x , называемое нормой, обладающее свойствами длины вектора. С

помощью норм вводится расстояние между элементами и, следовательно, наличие нормы позволяет определить сходимость

рассматриваемому пространству.

Влинейном пространстве нормы можно вводить по-разному.

Вконечномерном линейном нормированном пространстве любые две нормы эквивалентны, т.е. из сходимости последовательности к элементу x по одной норме следует ее сходимость и по другой.

Мы будем рассматривать вещественные пространства, т.е. пространства, в которых допускается умножение элементов на вещественные числа. Если в пространстве определено умножение элементов на комплексные числа, то такие пространства называются

комплексными.

Приведем примеры банаховых пространств.

1.Множество вещественных чисел с нормой x = x , очевидно,

является пространством типа В.

2.Пространство n-мерных векторов x = (ξ1,...,ξn ) , в котором

сложение и умножение вектора на скаляр проводится по компонентам, представляет собой пространство типа В, если за

3.Пространство C [ a , b ] - множество непрерывных функций на

последовательности { xk (t )} .

4.Пространство L2 -множество интегрируемых c квадратом на

Оператор Р называется линейным, если: а) аддитивен, т.е.

б) непрерывен.

Линейный оператор обладает свойством однородности, т.е.

P (λ x) = λ P ( x) , λ = const.

Для линейного оператора условие непрерывности эквивалентно существование такой постоянной С, что для всех x X имеет место неравенство

Оператор Р, удовлетворяющий указанному условию, называют ограниченным. Справедливо и обратное утверждение: линейный ограниченный оператор непрерывен.

Наименьшая из постоянных С, для которых неравенство (2.1) справедливо, называется нормой линейного оператора Р. Следовательно, P = min C .

Итак:

P ( x) £ P × x .

Можно показать, что

P = sup P ( x) .

x≤1

Оба определения нормы линейного оператора Р эквивалентны. Множество линейных операторов P : X → Y образуют

линейное нормированное пространство L( X ,Y ) . Оно полно, если

полно пространство Y.

В качестве примера рассмотрим оператор

1

P ( x) = ∫K (s,t ) x (t )dt,

0

где K(s,t) – непрерывная функция, которая переводит пространство непрерывных функций C [ a , b ] в себя. Как видно,

переводящих линейное нормированное пространство Х в пространство Y того же типа, снова есть линейный оператор. Сложение операторов подчиняется обычным свойствам сложения чисел, при этом

6

Аналогично можно рассматривать произведение операторов.

Если линейный оператор P отображает нормированное пространство

1

Хв пространство Y, а линейный оператор P2 отображает

операторов обладает, что следует из определения суммы и произведения операторов.

Очевидно

Подобным образом вводится понятие билинейного оператора (В – оператора), который:

а) каждой упорядоченной паре элементов x1, x2 из пространства Х ставит в соответствии элемент y = B ( x1, x2 )ÎY ;

б) линеен по каждому аргументу при фиксированном другом; в) ограничен, т.е. удовлетворяет неравенству

B (x1, x2 ) £ C x1 × x2 .

Можно показать, что условие линейности и ограниченности по каждому аргументу равносильно непрерывности оператора В по совокупному аргументу.

Наименьшее из чисел С называется нормой билинейного оператора и обозначается B .

Билинейные операторы образуют линейное нормированное пространство, которое обозначим I ( X 2 ,Y ). Если полно пространство

Y, то пространства I ( X 2 ,Y ) билинейных операторов тоже полно.

7

Каждый элемент пространства I ( X 2 ,Y ) можно также рассматривать

как оператор, действующий из пространства Х в пространство линейных операторов L ( X ,Y ) , т.е. B L ( X , L ( X ,Y )) .

Примером билинейного оператора, действующего из пространства C [0,1] в C [0,1] , является интегральный оператор вида

Необходимым и достаточным условием существования

существует обратный, имеет при каждом y единственное решение

представить в виде

Заметим, что оператор, обратный линейному, – линеен.

3. Дифференцирование и интегрирование операторов

P(x + x) − P(x) − P′(x) x = o( x) .

9

Оператор P` называют производной Фреше оператора Р, а выражение P′( x) x - дифференциалом Фреше в точке х.

Если же существует предел

Когда существует производная Фреше оператора Р, то существует и производная Гато, причем производная Фреше совпадает с производной Гато; обратное утверждение не всегда справедливо.

Производные Фреше и Гато более высоких порядков определяются последовательным дифференцированием оператора Р соответственно по Фреше и Гато.

Вторая производная P′′ оператора Р является элементом пространства билинейных операторов I (X 2 ,Y ); ее можно также

рассматривать и как элемент пространства L ( X , L ( X ,Y )) .

Аналогично определяются производные Фреше k-го порядка,

которые можно рассматривать, как элементы пространства I (X k ,Y ) ,

так и пространства L ( X , L ( X ,..., L ( X ,Y ))) .

Дифференцирование по Фреше обладает следующими свойствами:

1). постоянный оператор Π можно выносить за знак производной

(ΠP ( x))′ = ΠP′( x);

2). производная линейного оператора совпадает с ним: P′( x) = P;

3). когда Р и Q – дифференцируемые операторы, то

10