Введение в теорию графов. Индивидуальные задания (66

Е. К. Годунова

Введение в теорию графов

Индивидуальные задания

Москва-2012

Задание 1 Определение графа. Первоначальные понятия

1. Составьте определение графа. Какая пара множеств участвует в определении? Задайте граф G1 вашего варианта тремя способами:

а. перечислением элементов этих двух множеств; б. таблицей с двумя входами: вершины – вершины; в. таблицей с двумя входами: вершины – ребра.

2.Приведите два-три содержательных примера объектов и отношений между ними, которые интерпретируют понятия графа. Нарисуйте для каждого из них диаграмму какого-либо конкретного случая.

3.Определите понятия «смежность» и «инцидентность». Укажите, какое из них есть отношение между однородными элементами, а какое – между разнородными. Обладает ли отношение смежности свойствами симметрии, транзитивности? Сформулируйте ответ на вопрос: «Как способы задания графа (а), (б), (в) из пункта 1 дают возможность определить смежность вершин, смежность ребер, инцидентность вершин и ребер?»

4.Укажите для графа G1 : а) вершины, смежные с 2 , с 4 ; б) ребра,

смежные с ребром 2 4 ; в) ребра, инцидентные вершине 4 .

5.Сформулируйте определение маршрута. Чем цепь отличается от маршрута? Какая цепь называется простой? Какой цикл называется простым? Попробуйте составить определение цикла, не использующее понятий маршрута и цепи. Сколько ребер в простой цепи Рn и в простом цикле Cn ?

6.Выделите на диаграмме графа G2 , пометив его вершины, и задайте

перечислением вершин а. маршрут, не являющийся цепью,

б. цепь, не являющуюся простой, в. простую цепь Р6 , г. цикл, не являющийся простым,

4

д. простые циклы С3 ,С4 ,С5 ,С6 ,С7 .

7.Сформулируйте определение связного графа. Приведите примеры диаграмм связного графа и графа с тремя компонентами связностей.

8.Какой граф называется дополнением графа G ? Как он обозначается? Нарисуйте дополнения графов G3 ,G4 ,G5 . Есть ли среди этих дополнений несвяз-

ные и сколько в них компонент? (Для проверки используйте утверждение: суммарное число ребер в графах G и G равно числу ребер полного графа с таким же числом вершин.)

9.Приведите примеры трех графов G6 ,G7 ,G8 , удовлетворяющих сле-

дующим условиям: G6 ,G7 ,G8 ,G8 – связные графы, а G7 и G6 – нет.

10. Докажите теорему: «Либо граф G , либо его дополнение G является связным».

Указания. 1. Рассмотрите 2 случая: G связен и G не связен. 2. Во втором случае тоже рассмотрите две возможности: произвольно выбранные вершины u и принадлежат разным компонентам связности графа G или одной. В последнем случае следует выбрать вспомогательную вершину W на другой компоненте связности.

5

Задание 2 Подграфы. Простейшие виды графов

1.Выделите минимальный связный остовный подграф в каждом из графов K5 ,W5 , K3,3 ,C7 . Сколько ребер содержат эти подграфы?

2.Можно ли в графах K4 , K5 , K6 , K3,3 , K3,4 найти два связных остовных

подграфа с различными ребрами? Отрицательный ответ обосновать, положительный – подтвердить рисунком.

3.Выделите из графов K3,4 и G2 (вашего варианта) Cn , Km , K1, r с максимально возможным числом вершин.

4.Какие графы получаются при удалении из графов K5 , K3,4 ,C7 , P7 , K1,6

одной вершины, двух вершин? Подтвердите свои ответы на диаграммах.

5. Сколько ребер следует удалить из графа K5 для получения K2,3 ? C5 ?

K4 ?

6. Сколько циклов C5 содержит в качестве подграфов граф Петерсена? Найдите в нем C6 ,C8 ,C9 .

7. Выделите из графов платоновых тел подграфы Cn , Wm , Pk с максимально возможными m , n , k .

7

8.Что представляют собой дополнения полного и полного двудольного графов? Любое ли число ребер может входить в полный граф, в полный двудольный граф? Приведите контрпримеры. Сформулируйте и докажите отвечающие на поставленный вопрос теоремы.

9.Сформулируйте определения понятий «остовный подграф», «полный двудольный граф», не используя понятий подграфа и двудольного графа соответственно.

10.Докажите, что необходимым и достаточным условием двудольности графа является отсутствие в нем циклов нечетной длины (учтите, что в любом цикле двудольного графа должны чередоваться вершины его разных долей).

Задание 3 Изоморфизм графов

1. Дайте определение изоморфизма графов и приведите в качестве примера 3 графа с 5 вершинами, среди которых 2 и только 2 изоморфны. Нарисуйте все неизоморфные графы с 5 вершинами, имеющие в качестве подграфа K4 . Сколько их?

2. Укажите несколько причин, из-за которых два графа не могут быть изоморфными. Есть ли изоморфные графы среди графов G3 ,G4 ,G5 Вашего варианта из задания 1? Какими из причин неизоморфности здесь можно воспользоваться, а какими нельзя?

3. Существуют ли самодополнительные графы с 7 вершинами? с 8 вершинами? с 10 вершинами? Отрицательный ответ обосновать, положительный – подтвердить рисунком. Сколько вершин могут иметь самодополнительные графы? Сформулируйте и докажите соответствующую теорему. Можно ли утверждать, что дополнения изоморфных графов изоморфны?

8

4. Определите, какие из графов вашего варианта настоящего задания изоморфны, и установите взаимно-однозначное соответствие между вершинами, доказывающее изоморфизм.

9

Задание 4 Перечисление графов

Постройте диаграммы всех ( p,q) –графов, удовлетворяющих указанным в варианте условиям ( p – число вершин, q – число ребер). В перечисленных графах не должно быть изоморфных.

Задание 5 Метрика в графе

1.Нарисуйте связные (m 3,q) графы, где m – номер вашего варианта,

диаметры которых удовлетворяют одному из требований:

те диаметры этих графов и их центры и радиусы. Для графа G2 найдите все геодезические с длиной, равной диаметру.

10