Введение в теорию вероятностей (110

3

ВВЕДЕНИЕ Методы учета и оценки случайных погрешностей основаны на прин-

ципах теории вероятностей и математической статистики. В дальнейшем будем иметь дело с приложением общих положений математической статистики к решению задач физико-химического эксперимента.

Центральными понятиями математической статистики являются понятия случайного события и случайной величины. Случайное событие – событие, которое может произойти с различными, взаимоисключающими исходами; в теории вероятностей рассматриваются только те случайные события, для которых возможна повторяемость (возможность многократного проведения эксперимента в одних и тех же условиях), а также наблюдается статистическая ус-

тойчивость частот (относительная частота – отношение числа выпадений данного исхода к общему числу испытаний). Подобные события называют

стохастическими.

Случайная величина – переменная, принимающая различные значения в зависимости от случая. Случайная величина – это не число, а функция случая. Случайная величина может быть дискретной (принимает некоторые изолированные значения из конечного или бесконечного промежутка значений) или непрерывной (принимает все значения из данного конечного или бесконечного промежутка значений). Все возможные значения случайной величины образуют генеральную совокупность (полную группу событий, если пользоваться терминологией теории вероятностей и математической статистики). Конечное число m значений из генеральной совокупности – выборочная совокупность, где m – объем выборки. Очевидно, что любой результат химического эксперимента является случайной величиной, а любой набор результатов анализа – выборочной совокупностью.

В настоящем методическом пособии основное внимание будет уделено рассмотрению положений теории вероятностей в приложении к методам математической обработки результатов физико-химического эксперимента.

Элементы теории вероятностей

Опыт, эксперимент, наблюдение явления называют испытанием. Испытаниями, например, являются: бросание игральной кости, выстрел из винтовки, измерение физико-химической величины. Результат, исход испытания называется событием. Событиями являются: выпадение того или иного числа очков на брошенной игральной кости, попадание в цель или промах при стрельбе в цель, конкретное значение физико-химической величины или его принадлежность к некоторому интервалу значений.

Два события А и В называются несовместными, если появление одного из них исключает появление другого в одном и том же испытании. Собы-

4

тия А и В называются совместными, если появление одного из них не исключает появление другого в одном и том же испытании.

Пример 1. Испытание: однократное бросание монеты. Событие А – выпадение герба, событие В – выпадение цифры. Очевидно, что появление герба, исключает появление цифры и наоборот. Эти события несовместные.

Пример 2. Испытание: однократное бросание игральной кости. Событие А – появление четырех очков, событие В – появление четного числа очков. События А и В совместные.

Два события А и В называют независимыми, если вероятность появления каждого из них не зависит от того, осуществилось другое событие или нет. В противном случае события А и В называют зависимыми.

Пример 3. Испытание: бросание двух игральных костей. Событие А – появление четного числа очков на одной кости, событие В – появление нечетного числа очков на второй кости. События А и В независимые.

Пример 4. Испытание: последовательное извлечение карт из колоды. Событие А – извлечение масти пик, событие В – извлечение не пиковой масти. Очевидно, что вероятность извлечь из колоды карту не пиковой масти, зависит от того, была ли пиковой масти карта, извлеченная перед этим. События А и В зависимые.

Пусть А и В – события, которые могут произойти при выполнении некоторого комплекса условий. Условимся обозначать как (А + В) событие, состоящее в том, что случилось хотя бы одно из событий А и В. Обозначим А · В событие, состоящее в том, что при выполнении определенных условий случилось и событие А, и событие В. Для событий типа (А + В + С) и А · В · С

Пример 5. Испытание: извлечение карты из игральной колоды. Событие А – появление короля, событие В – появление карты бубновой масти. Тогда событие (А + В) случилось, если игральная карта оказалось одной из бубей или одной из королей, в том числе и бубновым королем. Событие А · В случится при извлечении бубнового короля.

Событие, состоящее в том, что при выполнении данного комплекса условий событие А не происходит, будем обозначать как А . Два события А и А называются противоположными, если в данном испытании они несовме-

5

стны и одно из них обязательно происходит. Очевидно, что свойство проти-

воположности у них взаимное, т.е. А = А.

Событие называется достоверным, если в данном испытании оно является единственно возможным его исходом, и невозможным, если в данном испытании оно заведомо не может произойти. Условимся обозначать досто-

верное событие как U, а невозможное – V. Тогда А+ А = U и AA = V . При этом условие несовместности событий А и В может быть записано как

AB = V .

Пример 6. Испытание: извлечение шара из урны, в которой все шары белые. Событие А – вынут белый шар – достоверное событие U; событие В – вынут шар другого цвета – невозможное событие V. Заметим, что достоверное и невозможное события в данном испытании являются противоположными.

Событие А называется благоприятным событию В, если наступление события А влечет за собой наступление события В.

Пример 7. Испытание: бросание игральной кости. События A2, A4 и A6 – появление соответственно двух, четырех и шести очков, а B – событие, состоящее в появлении четного числа очков. События A2, A4 и A6 благоприятные событию B.

Всякое испытание влечет за собой некоторую совокупность исходов –

при выполнении заданного комплекса условий одно из событий этой системы должно обязательно произойти. Тогда очевидна справедливость равенства A1 + A2 + ... + An = U . Простейшей полной группой событий является сис-

тема A, A . Очевидно, что в случае измерения физико-химической величины невозможно перечислить все значения, которые могут быть исходами данного испытания.

Понятие вероятности случайного события

В полной группе событий на появление некоторых результатов можно рассчитывать с большим основанием, на появление других – с меньшим. Величина, определяющая насколько значительны объективные основания рассчитывать на появление события, называется вероятностью данного события. Существуют следующие основные принципы задания вероятностей случайного события: классический, геометрический и статистический. Мы подробно остановимся на рассмотрении только двух из них.

6

Классическое определение вероятности события

Классическое определение вероятностей сводит это понятие к более элементарному понятию равновозможных событий. Пусть событие A представляет собой реализацию одного из m благоприятных случаев (1), входящих в состав полной группы n равновозможных элементарных событий (2):

Тогда вероятностью Р(А) события А называется отношение числа элементарных событий n, благоприятных событию А, к числу всех равновозможных элементарных событий m:

Наглядно классическое определение вероятности события А можно представить следующим образом:

невозможноесобытие 0 ≤ Р ≤ 1 достоверноесобытие

Из приведенного классического определения вероятности вытекают следующие ее свойства:

1)Вероятность случайного события есть безразмерная положительная величина, заключенная между нулем и единицей. Действительно, случайному событию А благоприятствует лишь некоторая часть m из общего числа n элементарных событий. Поэтому 0 < n < m и 0 < (n/m) < 1. Таким образом, 0 < Р(А) < 1.

2)Вероятность достоверного события равна единице P(U) = 1.

3)Вероятность невозможного события равна нулю P(V) = 0.

При решении задач удобно пользоваться следующим алгоритмом.

1)Определить, в чем состоит событие А, вероятность которого требуется найти.

2)Определить элементарные события, сводя испытание к совокупности случаев. Следует помнить, что при выделении случаев исходят, как правило, из интуитивных соображений о симметрии исходов и их равновозможности.

3)Определить количество m всех возможных случаев.

4)Определить количество n случаев, благоприятных событию А.

7

5) Рассчитать вероятность события А с помощью классического определения по формуле (6).

Пример 1. Для экзамена подготовили билеты с номерами от 1 до 25. Какова вероятность того, что взятый наугад учеником билет имеет однозначный номер?

Решение.

1)Пусть событие А – взят билет с однозначным номером.

2)Элементарное событие: извлечение одного билета из общей стопки. Будем считать, что каждый отдельный билет имеет одинаковую вероятность быть выбранным, тогда элементарные события образуют полную группу равновозможных несовместных событий.

3)Общее количество возможных исходов m = 25.

4)Число благоприятных событию А исходов n = 9 (выбраны билеты с номерами от 1 до 9).

5)В соответствии с формулой (6) вероятность события A равна P(A) = 9/25.

Для определения общего количества m вариантов перестановок n независимых элементов и для определения общего количества m вариантов размещения n элементов по k вариантам ( n ≠ k, n > k ) могут быть использо-

ваны формулы комбинаторики (7) и (8) соответственно:

Если нет необходимости учитывать порядок размещения n элементов по k вариантам, то общее количество m вариантов их размещения уменьшается в соответствии с формулой:

Пример 2. Для проверки партии, состоящей из 15 изделий, среди которых находятся 5 бракованных, выбираются 3 изделия. Партия считается бракованной, если браковано хотя бы одно изделие. Требуется найти вероятность того, что партия не будет бракованной.

Решение.

1)Пусть событие A – из трех последовательно выбранных деталей нет ни одной бракованной.

2)Элементарное событие: последовательное извлечение трех деталей из партии. Такие элементарные события образуют полную группу равновозможных несовместных событий.

8

3) В соответствии с формулой (8) общее количество способов выбора

4) В соответствии с формулой (8) число элементарных событий, благоприятствующих событию A (количество способов выбора 3 деталей из 10 не

Следует помнить, что применение классического определения вероятности ограничивается случаями, когда известны все возможные элементарные исходы данного испытания, и они являются равновероятными.

Статистическое определение вероятности события Рассмотрение полной группы равновозможных событий и выделение

из них благоприятных для рассматриваемого события не всегда представляется возможным. Поэтому для изучения произвольных случайных событий, в частности, для анализа результатов физико-химического эксперимента, используют статистический способ оценки вероятности случайного события при помощи опыта. Если при выполнении m испытаний событие A появилось n раз, то число n называется частотой события А, а отношение n / m – относительной частотой события А. Относительная частота события приближенно совпадает с его вероятностью в статистическом смысле, если число испытаний m достаточно велико.

Таким образом, вероятностью Р(А) события А в статистическом смысле называется отношение числа появлений n события А к общему числу испытаний m:

Очевидно, что вероятность случайного события по статистическому определению, так же как и по классическому, является безразмерной положительной величиной, заключенной между нулем и единицей 0 < Р(А) < 1. Однако статистический подход не позволяет судить о достоверности или невозможности события.

Следует отметить, что при анализе результатов физико-химического эксперимента исследователя в большинстве случаев интересует не вероятность конкретного значения случайной величины, а вероятность его принад-

9

лежности к некоторому интервалу значений, т.к. статистический подход всегда предполагает возможность ошибки. При условии, что число испытаний m достаточно велико (≥ 50) статистическое определение вероятностей попадания случайной величины в заданные интервалы значений позволяет оценить, к какому интервалу значений принадлежит истинное значение исследуемой случайной величины и закон ее распределения. Для этого используют метод построения гистограмм.

Пример 1. В результате измерения pH раствора неизвестного вещества студент получил выборку из следующих значений: 3,75; 3,77; 3,23; 3,32; 3,34; 3,52; 3,34; 3,37; 3,39; 3,40; 3,52; 3,40; 3,58; 3,40; 3,45; 3,70; 3,71; 3,33; 3,72; 3,49; 3,49; 3,51; 3,55; 3,58; 3,60; 3,65; 3,66; 3,68; 3,53; 3,54; 3,55; 3,68; 3,55; 3,61; 3,62; 3,64; 3,57; 3,69; 3,77; 3,46; 3,58; 3,46; 3,48; 3,23; 3,30; 3,80; 3,83; 3,84; 3,84; 3,95. Методом построения гистограмм оцените, к какому интервалу значений вероятнее всего принадлежит истинное значение pH раствора неизвестного вещества.

Решение.

Гистограмма представляет собой графическое изображение распределения значений случайной величины по относительным частотам их попадания

всоответствующие интервалы значений. Построение гистограммы проводим

внесколько этапов:

1)Строим вариационный ряд – последовательность чисел, расположенных в порядке возрастания их величин: 3,23; 3,23; 3,30; 3,32; 3,33; 3,34; 3,34; 3,37; 3,39; 3,40; 3,40; 3,40; 3,45; 3.46; 3,46; 3,48; 3,49; 3,49; 3,51; 3,52; 3,52; 3,53; 3,54; 3,55; 3,55; 3,55; 3,57; 3,58; 3,58; 3,58; 3,60; 3,61; 3,62; 3,64; 3,65; 3,66; 3,68; 3,68; 3,69; 3,70; 3,71; 3,72; 3,75; 3,77; 3,77; 3,80; 3,83; 3,84; 3,84; 3,95.

Объем выборки равен m = 50.

2)Определяем число интервалов разбиения k с помощью формул Брукса–

Каррузера k =5 lg m или Хайнхольда–Гаелде k = m , где m – объем выбор-

ки. Чтобы гистограмма была информативной, рекомендуется выбирать нечетное число интервалов. Для выборки с объемом m = 50 количество интервалов k = 9 по формуле Хайнхольда–Гаелде и k = 7 по формуле Брукса– Каррузера.

3) Определяем ширину и границы каждого интервала, частоту ni и относительную частоту ni / m попадания величины в каждый интервал. Ширину ин-

pHmax −pHmin =0,08 . Частота ni определяется ко- k

личеством значений в данном интервале (одно значение может принадлежать только одному интервалу). Полученные значения записываем в таблицу:

10