Магнитное поле катушки, имеющей форму части кругового кольца (80

Воспользуемся полученными в [3] резуль­ татами для вывода расчетно-аналитических за­ висимостей, описывающих магнитное поле ка­ тушки, образованной витками указанной формы. Следуя [2,3], будем считать, что обмотка катуш­ ки непрерывна, а ток по высоте катушки распре­ делен с постоянной плотностью и протекает по виткам, плоскости которых перпендикулярны оси Oz (рис. 2).

нат выбрано в точке 0, лежащей в срединной, по высоте катушки, плоскости. Положение точки М поля (точки наблюдения) в пространстве опреде­

(рис. 1) катушки, перпендикулярной плоскости витков, а координата z0 - вдоль оси Oz от сре­ динной плоскости П> катушки (рис. 2).

Выделим элементарную катушку высотой dz, расположенную на расстоянии z от срединной плоскости П; катушки, так, что, в соответствии с отмеченным выше,

Магнитное поле элементарной катушки в точке М имеет компоненты вектора индукции dBa, dBp, и dBz. Аналитические выражения для

них легко записываются по соответствующим зависимостям, полученным в [3] для одного витка с током, в которых следует ток г представить в виде (1), а взамен координаты z ввести разность (z0 - z) в соответствии с обозначениями рис. 2.

При этом

- расстояния от точки наблюдения М про­ странства до узловых точек А, В, С, D контура витка элементарной катушки в соответствии с обозначениями рис. 1, на котором М'(р,а)- есть проекция точки М на плоскость контура, г'А, г'н, г[-, г'и - проекции на эту плоскость отрез­ ков rA, rB, rc, rD. Остальные необходимые обо­ значения приведены на рис. 1.

Имея в виду, что компоненты магнитного поля катушки в точке М складываются из соот­ ветствующих компонент магнитных полей эле­

где Н = 2h- высота катушки, а интегрирование ведется по ее высоте.

Подставив в (2) аналитические выражения для dBa, dBp, dBz, записанные по зависимостям,

приведенным в [3], и выполнив интегрирование по координате z в пределах от (-/г) до (+/г), находим

Ж •j cos 20, -sign(#, + pcos202) х

471

- -y COS 20! s ign (R2 + p cos 20,) x

yl(z - zoy + p2 + Rj + 2R2p cos 20, - |Л2 + р cos 20, л А yj(z - z0)2 + p2 + R2 + 2R2p cos 20, + |Л2 + р cos 20

-sign(#, + pcos20,)x

,.h \

£(е,д2), £(е2д2), £(е2д,), £(е„ *ДЯ(Ф(22)Л).

рЛ, + р2 cos 20 •

К, = psin20,L/p2 cos2 29, + Л2 + 2tf,pcos20,

(z - г0 )^р2 cos2 20, + Л,2 + 2/?,pcos20,

х arctg

psin20,|^(z - z0 )2 + p2 + /?2 + 2/?,pcos20,

(/ = 1,2 ; j = 1,2);

Интегралы J, - J l 4 , содержащие эллипти­ ческие функции, должны вычисляться числен­ ными методами. В основу алгоритма может быть положена, например, известная формула

Т.Симпсона.

Вподтверждение правильности получен­ ных формул обратим внимание на то, что в точ­ ках, лежащих в срединной плоскости П] (рис. 2), как следует из физического представления маг­

тельно, полагая в (3) и (5) для этих точек z0 = 0, находим, что Вр - Ва = 0.

Кроме того, вследствие симметрии магнит­ ного поля относительно плоскости П (рис. 2) в точках, принадлежащих этой плоскости, должна отсутствовать компонента Ва. Полагая в (3) ко­ ординату а , входящую в выражения (4), равной нулю, убеждаемся в справедливости этого утверждения, что также подтверждает досто­ верность выражения (3). Заметим, что в случае катушки небольшой высоты Н, как это имеет место в торцовых электродвигателях, для оценки характеристик магнитного поля можно ограни­ читься определением значений индукции поля в срединной плоскости П| (рис. 2), то есть значе­ ний компоненты В, согласно (6).

В справедливости (6) можно убедиться сопоставлением результата, полученного по (6) для случая W = 1 и h -> 0, с выражением В,0,

приведенным в работе [3] для точек, лежащих в плоскости витка. При этом обнаруживаются не-

0 определенности вида —, которые, однако, легко

раскрываются с использованием правила Лопиталя. Оба сопоставленных результата, представ­ ленные в аналитической форме, совпадают.

При необходимости полного анализа маг­ нитного поля, что может представлять интерес для разнообразных технических приложений, в продолжение и развитие начатых исследований целесообразно разработать соответствующие программы для ЭВМ. Однако эти вопросы тре­ буют отдельного рассмотрения.

ВЫВОДЫ Принимая во внимание фундаментальное

значение аналитических методов в развитии тео­ рии магнитного поля и имея ввиду приложение этих методов к решению практических задач, в частности посвященных созданию расчетнотеоретических основ проектирования электриче­ ских машин торцового типа с оптимальными эксплуатационно-техническими характеристи­ ками, можно заключить, что изложенные в пред­ лагаемой работе результаты будут полезны как в научных исследованиях, так и в инженернотехнической практике. Они могут быть исполь­ зованы при разработке методики расчета маг­ нитного поля в торцовых асинхронных электро­ двигателях на стадии их проектирования, по­ скольку толщина обмотки в реальной машине относительно мала по сравнению с другими гео­ метрическими параметрами.

ЛИ Т Е Р А Т У Р А

1.П е к к е р И. И. Применение аналитического мето­ да для исследования однородности магнитного поля прямо­ угольной катушки // Изв. вузов. Электромеханика. 1958. №6. С. 19-30.

2. Б и р ю к о в В. А., Д а н и л о в В. И. Магнитное поле прямоугольной катушки с током // Журнал теоретиче­ ской физики. Том XXXI. В. 4. 1961. С. 428-435.

3. 3 а г р я д ц к и й В. И., К о б я к о в Е. Т. Магнит­ ное поле некругового витка с током в однородной изотропной среде // Изв. вузов. Электромеханика. 2000. № 4. С. 17-22.

4. Я н к е Е., Э М Д е Ф., Л е Ш Ф. Специальные функции. Формулы, графики, таблицы / Пер. с 6-го немецкого издания; Под ред. Л.И. Седова. М.: Наука, 1968.344 с.

[12. 10.2001г.]