Магнитное поле плоского кругового контура с током в однородной изотропной среде (80

МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ПЛОСКОГО КРУГОВОГО КОНТУРА С ТОКОМ В ОДНОРОДНОЙ ИЗОТРОПНОЙ СРЕДЕ

Загрядцкий В.И., Кобяков Е.Т., Харитонова Л.Г.

Россия, г .Орел, ОрелГТУ

Получены аналитические зависимости для компонент вектора магнитной индукции в пространстве, содержащем плоский круговой контур с током.

The analytical dependences for the components of a vector of a magnetic induction in space containing a flat circular contour with a current are reseived.

Как отмечается в [1], расчет магнитных полей токов, протекающих по замкнутым контурам конечных размеров, представляет собой весьма сложную задачу. Эта задача является трехмерной, поскольку силовые характеристики магнитного поля являются функциями трех координат. Общим методом ее решения предусматривается отыскание векторного потенциала А , являющегося вспомогательным вектором, через

эллиптические интегралы первого и второго рода, являющиеся функциями модуля к, вычисляемого по формуле:

z2+(R + py

106

где р, z - цилиндрические координаты исследуемой точки пространства (радиус и осевая координата, соответственно).

Начало координат помещено в центре контура, а координата z отсчитывается в направлении, перпендикулярном его плоскости. В силу осевой симметрии векторный потенциал А имеет единственную составляющую, определяемую по формуле (2), а вектор магнитной индукции имеет две составляющие [1]:

Однако в [1] отсутствуют выкладки и результаты вычислений составляющих Bz и Вр по зависимостям (4).

Из структуры выражения rotA, записанного в цилиндрической системе координат [2], следует, что в данном случае:

где Аа =А определяется по формуле (2).

Выполнив необходимые действия, вытекающие из (5), приходим к следующим

Вычисления по этим формулам не вызывает затруднений, так как значения полных эллиптических интегралов К(к) и Е(к) приведены в таблицах [3].

Выражение (6) в применении к точкам, лежащим в плоскости витка (z=0), заметно упрощается:

О характере зависимости (8) можно судить по рис.1, где приведен график в относительных единицах для R=8,5 см и i =3 А.

Представление решения задачи в замкнутой, удобной для вычислений и анализа, форме (6) и (7) возможно далеко не всегда. В работах [4,5] авторами анализировались магнитные поля, порождаемые токонесущими плоскими контурами более сложной формы. Полученные при этом аналитические выражения для составляющих векторного потенциала (Ар, Аа ) и вектора индукции магнитного поля (Bz, Вр, Ва) имеют значительно более сложную структуру. Однако, и в этом случае [5] характер распределения составляющей Bz вектора индукции В в плоскости витка близок к показанному на рис.1 для кругового витка.

Все найденные расчетно-аналитические зависимости для составляющих вектора магнитной индукции имеют не только теоретическое, но и определенное практическое значение для обоснования выбора параметров проектируемых конструкций.

107

Bz°

Рисунок 1- Графическое представление зависимости (8).

Литература:

1. Нейман Л.Р., Калантаров Л.Л. Теоретические основы электротехники. Ч.З- М., Л.: Государственное энергетическое издательство, 1954.-247 с.

2.Брынский Е.А., Данилевич Я.Б., Яковлев В.И. Электрические поля в электрических машинах.- Л.: Энергия. Ленинградское отд., 1979.-176 с.

3.Янке Е., Эмде Ф., Лёш Ф. Специальные функции. Формулы, графики, таблицы / Пд ред. Л.И. Седова / Пер. с 6-го нем. изд. - М.: Наука, 1968.-344 с.

4.Загрядцкий В.И., Кобяков Е.Т. Магнитное поле некругового витка с током в однородной изотропной среде // Известия ВУЗов. Электромеханика, №4, 2000

г. - С . 17-22.

5.Загрядцкий В.И., Кобяков Е.Т. К анализу напряженности магнитного поля некругового витка с током в однородной изотропной среде // Электричество, №3, 2002 г. - С. 58-63.

Загрядцкий Владимир Иванович, д.т.н., профессор кафедры «Электрообрудование и энергосбережение» ОрелГТУ. 302020, г. Орел, Наугорское шоссе, 29.

Кобяков Евгений Тихонович, к.т.н., профессор кафедры «Динамика и прочность машин» ОрелГТУ. 302020, г. Орел, Наугорское шоссе, 29.

Харитонова Людмила Геннадьевна, ст. преподаватель кафедры «Электрообрудование и энергосбережение» ОрелГТУ. 302020, г. Орел, Наугорское шоссе, 29.

108