Магнитные поля проводника с током в линейных изотропных концентрически ориентированных областях (80

Предложена методика формирования анали­ тических выражений векторных потенциалов маг­ нитного поля, созданного проводником с током в линейных изотропных концентрически ориенти­ рованных средах, даны примеры ее применения, приведены расчетные зависимости для анализа напряженности магнитного поля.

К л ю ч е в ы е с л о в а : магнитное поле, век­ торный потенциал, напряженность, проводник, магнитная проницаемость, ток

proposed and calculation dependencies for the intensity

Аналитические выражения величин, характе­ ризующих электромагнитные поля, созданные группой проводников с током в линейных средах, могут быть получены на основе принципа су­ перпозиции полей отдельных проводников. При использовании этого подхода [1] дан вывод вы­ ражения радиальной составляющей напряженно­ сти магнитного поля трехфазной обмотки в воз­ душном зазоре электрической машины. Причем магнитная проницаемость материалов статора и ротора принималась бесконечной, а поле про­ водника с током описывалось приближенной ли­ нейной зависимостью:

где Нг(а) — радиальная составляющая напря­ женности поля в воздушном зазоре д; i — ток; а — угловая координата точки поля.

При малом д допущение о независимости Нг от радиальной координаты р точки поля, как будет показано ниже, может считаться обос­ нованным. Вместе с тем, во многих задачах ин­ женерной практики возникает потребность в ана­ литических выражениях напряженности магнит­ ного поля проводника с током, включающих обе координаты точки поля (р и а), применимых к областям конечных или неограниченных раз­ мером. К числу таких задач принадлежат задачи о магнитных полях в линейных концентрически расположенных средах с различными значениями магнитной проницаемости /л. Некоторые из них рассмотрены в [2] применительно к двум и трем средам. Причем в последнем случае исследо­ валось лишь магнитное поле в воздушном зазоре электрической машины.

Аналитические выражения, описывающие магнитные поля во всех концентрически ори­ ентированных средах (при числе сред, большем трех), к настоящему времени не известны. Таким

образом, возникает необходимость в разработке общей методики решения этих задач. В, этой связи в статье сделан обзор известных решений и разработан алгоритм построения аналитических выражений напряженности магнитного поля про­ водника с током в пяти линейных средах (рис. 1)

Рис. 1

в качестве иллюстрации предлагаемой методики. При определении напряженности магнитного поля Н используется понятие векторного по­ тенциала A: H-TotA. Такое введение векторного потенциала дает некоторые упрощения записей соответствующих аналитических выражений по сравнению с чаще используемым в литературе

соотношением: B=wtA.

Применение понятия векторного потенциала [2, 3, 4], как отмечается в [4], позволяет упростить решение многих задач. На использовании этого понятия основан, в частности, метод так на­ зываемых возмущенных потенциалов [4]. Этим методом удобно пользоваться, если известен не­ возмущенный (начальный) потенциал.

Для неограниченной однородной воздушной среды

где / — ток проводника (нити); г — расстояние

где ер, еа — орты, соответствующие координатам

р, а.

Уравнение (3) является основным для каждой из сред, указанных на рис. 1.

При решении системы уравнений вида (3) дол­ жны быть учтены условия на границах раздела сред [2, 4]: равенство нормальных составляющих В„ вектора магнитной индукции и тангенциальных составляющих Ht вектора напряженности магнит­ ного поля (при отсутствии_поверхностного тока). Причем условие равенства Вп удобно заменить ус­ ловием равенства векторных потенциалов поля В на поверхностях раздела сред. Принимаем следу­ ющие допущения:

1) размеры наружной среды неограниченны, а внутренняя среда занимает всю центральную область;

2)размерами сечения проводника с током пренебрегаем, рассматривая его как нить неог­ раниченной длины;

3)влияние вихревых токов не учитываем. Аналитическое решение поставленной задачи

определения напряженности магнитного поля в каждой из соосно расположенных кольцевых сред при соблюдении всех граничных условий полу­ чим путем последовательного применения метода возмущенных потенциалов [4]. Для схемы с дву­ мя средами (рис. 2,Й) выражения векторных по­ тенциалов в точках внутренней (А0) и наружной (Ах) областей известны [2, 4].

Принимая во внимание многозначность век­ торных потенциалов, определяемых с точностью до аддитивной постоянной, представим эти вы­ ражения в виде.

и наружной сред; R0 — радиус кольцевой границы внутренней области; R — радиус размещения проводника с током.

Аналогичные выражения получены для схемы по рис. 2,6 [2], которые в наших обозначениях

С целью более полного решения задачи для случая трех сред, чем это сделано в [2], вос­ пользуемся формулами (5), (6), (8), (9) и найдем векторные потенциалы напряженности поля в каждой из трех сред (рис. 2,в). В соответствии с методом возмущенных потенциалов имеем:

ные) потенциалы напряженности поля, а доба­ вочные потенциалы, учитывающие взаимное вли­ яние сред, обозначены ДЛ, — с индексом, ука­ зывающим на принадлежность к соответствую­ щим средам.

Все слагаемые, входящие в (10), должны удов­ летворять уравнению Лапласа (3). JIpH этом Ау

ответствии с известным решением уравнения Лапласа (3), полученным методом разделения

где D["\ ф , С&>, D®, C$, D® должны оп­ ределяться из граничных условий:

Из (10) с учетом (13) и (14) окончательно имеем:

0«р^й2

fl\Al lp = «J _ /'n/ 1 01 \p=Rl '• f'2A2\p=R2~fl0A02\p

Решив систему алгебраических (12), находим:

уравнений

J R" f'l " / ' О

t'l-Po /"2~/'0 ^ f ' /<i +/'0 /'2 +/'0 Rf'

54 Загрядцкий В. И.,

Выражения (16—19) удовлетворяют всем гра­ ничным условиям, в чем нетрудно убедиться непосредственной проверкой.

Рассмотренная нами задача (рис. 2,в) в более простой постановке решалась в [2], где магнитные проницаемости статора и ротора принимались равными, а в качестве исходного (неискаженного) потенциала принималось выражение вида (2). В результате были найдены составляющие на­ пряженности магнитного поля только для воз­ душного зазора.

Заметим, что сопоставление выражений (17),

(18)с соответствующими им выражениями из

[2]для указанного частного случая показывает их полное совпадение.

Предложенная методика, на наш взгляд, яв­ ляется более гибкой, так как ее применение по­ зволяет решать аналогичные задачи при большем числе сред, в то время как использование из­ вестной методики [2] при числе сред, большем трех становится нерациональным из-за громозд­ ких выкладок, требующих значительных затрат времени.

Прежде чем перейти к решению поставленной задачи (рис. 1), рассмотрим решения двух вспо­ могательных задач (рис. 2,г и рис. 2,д), которые могут представлять и самостоятельный интерес. В случае трех сред при расположении проводника с током во внутренней области (рис. 2,г) при­ нимаем:

AQ=A0+AA0; АХ=АХ+ЬА^ А2=А~2+АА2, (20)

где А0, Ах определяются соответственно по вы­ ражениям (5), (6), а А2 — по (6) с заменой

Hi на ц2">

Постоянные, входящие в (21), определяются из граничных условий, аналогичных (12).

Опуская выкладки, приводим окончательный результат:

ружной (бесконечной) среде (рис. 2,д) входящие

«ЭЛЕКТРИЧЕСТВО» № 2/2000

2 >'l-"2 Rl"

*1=± t'i+t'l р' Т-Р

где

Решения двух последних задач используем при отыскании векторных потенциалов напря­ женности поля в каждой из пяти сред при рас­ положении проводника с током согласно рис. 1.

В соответствии с принятыми на рис. 1 обоз­ начениями принимаем:

jRi«p«i?2 ;

Выражения невозмущенных потенциалов, вхо­ дящих в (33), получим соответственно:

Я[, Я2, Я32 — из (31), (30), (28) заменой цг

При этом £„ определяется из (32), a пп — из (26) при соответствующих заменах, указанных выше.

Для добавочных потенциалов принимаем:

Д^! = J, pnC{") cos па;

«=1

^з.4 = 2 \рпcfsX + -пЩ\ cos»G;

п = 1

R3^p^R4;

2л «"P+Sl^A^r cos na

/i=i

R4t£pnoo (

где

^ 4 = 2 fc"С4П) + ^ Я Й cos m ;

л = 1

АА5 = J^-D^ cos па.

Входящие в (34) постоянные определяются из граничных условий, имеющих вид, анало­ гичный (12).

Определив искомые постоянные, после не­

При этом

При контроле правильности вычислений удоб­ но пользоваться зависимостями:

Приводим выражения радиальных и танген­ циальных составляющих напряженности магнит­ ного поля, полученные из (35) согласно (4):

Из (40)—(45) как частные случаи могут быть получены соответствующие выражения Я и Яй для рассмотренных выше задач при меньшем числе сред, например (16)—(19).

Воспользуемся первой формулой (42) для оп­ ределения радиальной составляющей напряжен­ ности магнитного поля в кольцевом зазоре между статором и ротором электрической машины, об­ разованной двумя концентрическими цилиндра­ ми из материала с бесконечной магнитной про­ ницаемостью [1], и подтвердим тем самым про­ стую формулу (1). В этом случае имеем:

где

г(0.5 - Е) (d/R3) 1 ~i

откуда следует, что в средних точках кольцевого за­ зора, т.е. при f = 0,5, значения Нр, найденные по (52) и (51), совпадают, что подтверждает справед­ ливость формулы (1) при малых d/R3.

Вместе с тем, формула (50) является более общей, так как дает закон распределения Н в кольцевом зазоре при любых 6/R3.

Вывод. Предложенная методика формирова­ ния аналитических выражений векторных потен­ циалов напряженности магнитного поля, создан­ ного проводником с током в линейных кон­ центрически ориентированных изотропных сре­ дах, достаточно универсальна и может быть рас­ пространена на число сред, большее пяти, а полу­ ченные расчетные зависимости для векторных потенциалов и компонент напряженности поля будут полезны в практических электротехниче­ ских расчетах.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.Геллер Б., Гамата В. Дополнительные поля, моменты

ипотери мощности в асинхронных машинах / Пер. с

чешек. Под ред. Ф.Н. Юферова. — М.; Л.: Энергия, 1964. 2. Милош Штафль. Электродинамические задачи в элек­

3.Нейман Л.Р., Калантаров ПЛ. Теоретические основы электротехники. Часть третья. — М.; Л.: Госэнергоиздат. 1954.

4.Брынский Е.А., Данилевич Я.Б., Яковлев В.И. Элек­ тромагнитные поля в электрических машинах. — Л.: Энергия. 1979.

[22.05.9Sj

Авторы: Загрядцкий Владимир Иванович

окончил электротехнический факультет Горьковского политехнического института в 1954 г.

ских машин (основы теории машин и устройств с вращающимся магнитным полем и разнопо­ люсными обмотками)» в Харьковском политех­ ническом институте. Заведующий кафедрой элек­ тротехнических дисциплин Орловского государ­ ственного технического университета.

Кобяков Евгений Тихонович окончил меха­ нический факультет Всесоюзного заочного ин­ ститута текстильной и легкой промышленности в 1965 г. В 1995 г. защитил кандидатскую диссертацию по теме «Анализ и синтез дина­ мических систем в задачах проектирования ис­ пытательных машин осевого циклического нагружения и роторов» в Орловском государственном техническом университете. Доцент кафедры тео­ ретической механики и сопротивления матери­ алов этого университета.