Обучение младших школьников методу перебора методические рекомендации

стиугольник, черный круг, белый треугольник или белый треугольник, черный круг, белый шестиугольник, черный треугольник, белый круг.

Действия детей здесь также можно упорядочить. Поскольку белый шестиугольник – непарная фигура и увеличивает число белых фигур, то его помещаем в центр комбинации, по разные стороны от него – черные фигуры (круг и треугольник), а по краям – белые (треугольник и круг соответственно).

То обстоятельство, что при решении предлагаемых задач учащиеся могут работать с бумагой и ножницами и рисовать карандашами, развивая мелкую моторикурук, очень важно в обучении младших школьников.

Задача 10. Нарисуй, какие различные колечки можно сделать из 5 одинаковых маленьких бусинок и 2 одинаковых больших бусинок.

При решении этой задачи надо обратить внимание учащихся на то, что искать разные варианты в расположении бус легче, если начинать с тех бус, которых меньше. Это две большие бусины. Они в колечке могут находиться рядом, через одну маленькую бусинку, через две маленькие бусинки (в этом случае по другую сторону от больших бусин находятся три маленькие бусинки). Других вариантов нет. Учащиеся изображают эти комбинации на бумаге.

Задача 11. В парке 4 пруда. Было решено засыпать песком дорожки между ними так, чтобы можно было пройти от одного парка к другому кратчайшим путем, т.е. не нужно идти в обход. Покажи, какие дорожки будут сделаны.

Чтобы упорядочить действия детей, сделать их рациональными, следует вспомнить с ними вывод, который они сделали вместе с учителем, составляя комбинации: каждый объект соединяется с каждым, т.е. сначала они проводят все дорожки от одного выбранного пруда ко всем остальным, а потом действия продолжали таким же образом. Решение таково: от одного пруда дорожки прочерчивают к каждому из оставшихся трех, от второго – к каждому из оставшихся двух (третьему и четвертому), от третьего – к оставшемуся четвертому. Всего 6 дорожек.

9

Задача 12. Начерти прямоугольники с периметром 20 см. Найди их площадь. Начерти все известные тебе случаи.

Сначала учащимся надо вспомнить геометрический материал. Понятие периметра поможет найти им полупериметр, равный 10 см. Дальнейшее решение этой задачи связано с понятием состава числа. Все случаи целесообразно представить в виде таблицы.

Далее учащиеся вспоминают, как находится площадь прямоугольника и вычисляют ее величину в каждом случае. Учащиеся изображают в тетради все возможные прямоугольники. Проанализировав результаты, школьники могут сделать полезный вывод о том, что наибольшую площадь из всех прямоугольников с одним и тем же периметром 20 см имеет квадрат.

Задача 13. Число 25 представьте в виде суммы пяти различных нечетных слагаемых. Сколько надо взять слагаемых, чтобы представить аналогичным образом число 81?

Прежде всего, учащиеся вспоминают понятие нечетного числа. Учащиеся начинают с начала последовательности нечетных чисел: 1, 3, 5, 7, 9, 11, … Последовательным сложением они находят, что

25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9.

При ответе на второй вопрос задачи учитель обращает внимание детей на то, что слагаемых не может быть два, так как сумма двух нечетных чисел есть число четное, а 81 – нечетное число. Значит, три нечетных числа. Берем 41 и добавляем 40 в виде суммы двух нечетных чисел, что согласуется с нашим выводом. А 40 можно представить как

1 + 39, 3 + 37, 5 + 35, 7 + 33, 9 + 31, 11 + 29, 13 + 27, 15 + 25, 17 + 23, 19 + 21. Тогда: 1 + 39 +41, 3 + 37 + 41, 3 + 37 + 41, 5 + 35 + 41, 7 + 33 + 41, 9 + 31 + 41, 11 + 29 + 41, 13 + 27 + 41, 15 + 25 + 41, 17 + 23 + 41, 19 + 21+ 41.

Представить одно из нечетных слагаемых в виде суммы двух нечетных слагаемых невозможно согласно сделанному выше выводу. Значит, можно представить число 81 в виде суммы трех нечетных чисел.

А пяти? Можно, например: 1 + 39 + 41 = 1 + 3 + 7 + 29 + 41, т.е. пред-

ставляя каждое из нечетных чисел каждой записи из трех нечетных слагаемых в виде суммы снова трех нечетных слагаемых. Тогда получим 5 нечетных слагаемых числа 81. Далее учащиеся приводят свои примеры.

Задача 14. Найди все пары чисел (a, b), для которых верно неравен-

ство: 0 < a · b < 5.

Эта задача представляет собой усложнение предыдущих ситуаций. Однако она вполне доступна младшим школьникам. Для получения ре-

10

зультата следует рассмотреть всевозможные произведения чисел от 1 до 4, так как по условию даны строгие неравенства. Учитель предлагает учащимся упорядочить их перебор пар: сначала 1 умножить на возможные натуральные числа, чтобы произведение было заключено в заданных границах (это пары: (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4)), затем аналогично поступить с числом 2 (пары (2, 1) (2, 2)), и наконец, с числами 3 и 4, получив пары

(3, 1) (4, 1). Задача решена. Получен ответ: (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4), (2, 1) (2, 2), (3, 1) (4, 1).

Следующая задача благодаря своему сюжету несет элемент занимательности.

Задача 15. В комнате 12 живых существ – людей, собак и мух.

Уних вместе 46 ног (у мухи 6 ног). Как это могло получиться? Найди все варианты.

Один из рациональных способов решения состоит в следующем.

Учеловека – 2 ноги, у собаки – 4 ноги, у мухи – 6 ног. Начинаем рассуждения с наблюдения, что у трех разных cуществ (человек, собака, муха) 12 = 2 + 4 + 6 ног. По условию в комнате 46 ног. Близкое число к 46 – это 48, если будет в комнате по 4 особи каждого вида. Но 48 – 46 = 2 (ноги) лишние, значит, надо вместо одной собаки поместить в комнату человека, или вместо мухи – одну собаку. Получаем два решения: 4 человека, 5 собак, 3 мухи или 5 человек, 3 собаки, 4 мухи. Учащиеся де-

лают проверку: 4 · 2 + 5 · 4 + 3 · 6 = 46, 5 · 2 + 3 · 4 + 4 · 6 = 46. Ищем другие решения. Для этого анализируем полученные результаты. Запишем их в виде таблицы.

Видим, что добавив одну муху во второй строке, т. е. 6 ног, мы должны убрать одно существо из оставшихся. Если уберем собаку, то уберем лишь 4 ноги, а если уберем человека, то количество ног уменьшится на 2. Убрать собаку и человека (4 + 2 = 6 ног) нельзя, так как останется только 11 живых существ, тогда как их должно оставаться 12. Значит, надо убрать 2 собаки (8 ног) и добавить 1 человека (2 ноги), т. е. уберем 6 ног. Будем менять число мух. Добавив 1 муху (6 ног), убираем 2 собаки и добавляем 1 человека (согласно только что проведенным рас-

суждениям: 6 = 4 · 2 – 2 · 1).

Поскольку число собак уменьшать на 2 больше нельзя (их просто нет), то попробуем уменьшить число мух на одну и обратить наши рас-

11

суждения. Уменьшив число мух на одну, мы должны увеличить число собак на 2, и уменьшить число человек на 1.

К каждому варианту ответа делается проверка (подсчитываются число живых существ (12) и число ног (46)

Можно начать рассуждения с числа людей (с наименьшим числом ног у человека из рассматриваемых живых существ).

Задача 16. Шура нарисовала рисунок, описывающий необходимое время на различные пути. От дома до моря Шура шла 80 минут. По какому пути она могла бы пройти? Закрась эту тропинку цветным карандашом. Подпиши время и сложи.

При решении этой задачи, как и предыдущих, у школьников развивается вариативность мышления. По сути, учащимся нужно составить комбинации из чисел 40, 30, 10, 10, 25, 10, 20, 15, 15, 40, 5 так, чтобы сумма их была равна 80. При этом они должны следить за тем, чтобы выбранные числа определяли отрезки, прокладывающие путь от дома до моря. Так, варианты 40 + 30 + 10, 15 + 25 + 40, 40 + 10 + 10 + 20 отвечают условию задачи и включаются в ее ответ, а вариант 40 + 15 + 5 + 10 + 10 не образует пути от дома до моря, хотя и составляет число 80.

12

Задача 17. Используя числа 3 и 7, запиши четыре трехзначных числа в порядке убывания.

Анализируя эту задачу, учащиеся приходят к выводу, что самое большое число будет начинаться с цифры 7 – это 777. Затем вводим в

запись цифру 3, получаем две записи: 773, 737. Следующее число с учетом требования убывания начнется с цифры 3, а на второе место следует поставить одну из имеющихся цифр, а именно ту, которая определяет большее однозначное число, это 7. Тогда учащиеся получают, например, число 373. Итак, ответ на требование задачи: 777, 773, 737, 373, и он неоднозначен. Например, можно на последнем месте поместить ближайшее число 377, но в задаче нет такого требования (можно поместить и 337, и 333).

Задача 18. 1. Напишите наименьшее двузначное число. Напишите наименьшее двузначное число, в котором цифры будут различны.

2.Напишите наименьшее трехзначное число. Напишите наименьшее трехзначное число, в котором цифры будут различны.

3.Напишите наименьшее четырехзначное число. Напишите наименьшее четырехзначное число, в котором цифры будут различны.

4.Напишите наименьшее пятизначное число. Напишите наименьшее пятизначное число, в котором цифры будут различны.

5.Напишите наименьшее шестизначное число. Напишите наименьшее шестизначное число, в котором цифры будут различны.

6.С помощью цифр 3, 6, 2, 4 записать наименьшее четырехзначное

число.

По аналогии с рассуждениями, примененными при решении предыдущей задачи, младшие школьники записывают наименьшее двузначное число: 10 – это и наименьшее двузначное число, в записи которого использованы разные цифры.

Наименьшее трехзначное число должно начинаться с 1 (с нуля числа не начинаются) – это 100. Здесь две цифры одинаковые. Чтобы написать трехзначное число с разными цифрами, надо использовать цифры 0 и 2, причем в более старшем разряде поставить 0, получено число 102.

Аналогично рассуждая, дети получают четырехзначные числа 1000

и1023, пятизначные – 10000 и 10234, шестизначные – 100000 и 102345.

После этих упражнений школьники без труда отвечают на послед-

ний вопрос задачи: 2346, так как знают, что для записи наименьшего числа цифры должны идти в порядке возрастания однозначных чисел, которые они определяют. Этот вывод получен учащимися опытным путем, затем обобщен на случай чисел с любым количеством знаков (цифр) в записи числа и подкреплен при этом обоснованием: разряды уменьшается в направлении слева направо в записи чисел (…, разряд

13

тысяч, разряд сотен, разряд десятков, разряд единиц), поэтому более старшие разряды числа должны содержать меньшее количество единиц, чтобы это число было наименьшим из всех чисел с заданным количеством цифр в его записи.

4. СОВОКУПНОСТИ ЗАДАЧ ДЛЯ ОВЛАДЕНИЯ УЧАЩИМИСЯ

МЕТОДОМ ПЕРЕБОРА

Для закрепления умений рационального осуществления метода перебора при решении задач учащимся следует решить некоторый объем задач подобного приведенным выше типа. Не обязательно решать такие задачи сразу в большом количестве. Лучше распределить их во времени

ипредлагать учащимся на последующих занятиях. Это подтверждается

ипсихологическими исследованиями. Психологи говорят, что знания становятся более прочными, если к ним возвращаться время от времени.

Приведем серию задач на использование метода перебора с целью овладения учащимися рациональными вариантами составления требуемых комбинаций. Задачи ниже имеют арифметическое или геометрическое содержание, близкие школьникам бытовые и практикоориентированные сюжеты.

1.Лена купила 6 ручек и карандашей. Сколько ручек и сколько карандашей может быть у Лены? Напиши все случаи.

2.Брату и сестре вместе 12 лет. Сколько может быть брату и сколько сестре? Сколько лет может быть брату, если брат старше сестры?

3.Используя цифры 1 и 5, напишите пятизначные числа, в которых цифра 5 будет встречаться два раза, а цифра 1 – три раза.

4.У Толи 2 книги, у Саши – 1 книга, а у Лены – 3 книги. Сколько книг у каждой пары учеников? Сколько таких пар? Сколько всего книг у трех детей?

5.Магазину надо было получить со склада 185 кг конфет в закрытых ящиках. На складе имеются ящики с конфетами по 16 кг, 17 кг, 21 кг. Каких ящиков и сколько мог получить магазин?

6.На ветке сидело 3 воробья и 2 синицы. Через некоторое время 3 птицы улетели. Какие это могут быть птицы? Сколько птиц осталось на ветке и какие птицы это могут быть?

7.Буханка черного хлеба стоит 14 руб. Вы расплатились за буханку четырьмя монетами без сдачи. Какие монеты вы смогли дать?

8.Сколько разных произведений, кратных 10, можно образовать из чисел 2, 3, 5, 7, 9?

9.Федя играет в игральные кости. Он бросает три кубика и набирает 11 баллов. Найди все варианты.

14

14.Сколько существует чисел, меньших 100, цифры которых идут

ввозрастающем порядке?

15.Сколько существует двузначных чисел, у которых цифра десятков больше цифры единиц?

16.Найди такое двузначное число, чтобы при делении этого числа на сумму его цифр получилось число, равное делителю. (Ответ: 81)

17.Набрать 56 руб. семью монетами. Набрать 56 руб. более чем девятью монетами, но не более чем 20 монетами. Сколько вариантов ты найдешь?

18.В комнате 10 живых существ – людей, собак и мух. У них вместе 40 ног (умухи 6 ног). Как это могло получиться? Найди все варианты.

Ответ:

16

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Рассмотренные задачи представляют класс важных для обучения поиску их решения задач. Данные задачи учат школьников таким необходимым при поиске пути решения задачи методам исследования, как наблюдение, проведение опыта, развивают такие мыслительные операции, как анализ, сравнение (сопоставление и противопоставление), обобщение, формируют такие умения, как выделение общих и отличительных свойств объектов, их существенных и несущественных свойств, нахождение разных способов решения задачи, формулирование выводов, и в целом способствуют развитию нелинейного мышления учащихся. Овладение школьниками рациональными методами перебора, составления комбинаций станет основой успешного освоения комбинаторных понятий в следующих классах, т.е. служит и пропедевтической цели. В силу разнообразия и практической направленности задачных сюжетов работа с учащимися над серией задач, решаемых методом перебора, вызывает у них интерес к учебе, в том числе и к занятиям математикой.

17

ЛИТЕРАТУРА

1.Аммосова Н. В. Методико-математическая подготовка будущих учителей математики: монография / Н. В. Аммосова. – Саарбрюккен,

Германия, LAP LAMBERT Academic Publishing GmbH & Co, 2012. – 364 с.

2.Аммосова Н. В. Формирование творческой личности младшего школьника средствами математики: учебное пособие / Н. В. Аммосова. – Астрахань : Астраханский гос. пед. ун-т, 1998. – 166 с.

3.Аммосова Н. В. Формирование у студентов умений подбирать совокупности задач с целью формирования у школьников умственных действий, пропедевтики математических понятий, обучения методам решения задач / Н. В. Аммосова // Математика. Компьютер. Образование : сб. науч. тр. – М. : Прогресс-Традиция, 2001. – Вып. 8, ч. 1. –

С. 49–56.

18