Обучение младших школьников методу перебора методические рекомендации

Н.В. Аммосова, А.М. Черкасова

ОБУЧЕНИЕ

МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ

МЕТОДУ ПЕРЕБОРА

Астрахань – 2017

ВВЕДЕНИЕ

В жизни часто приходится составлять всевозможные совокупности объектов разной природы, причем с таким видом работы встречаются не только взрослые, но и дети. Например, когда формируют столовые или чайные наборы из разных предметов (тарелок, вилок, ложек, ножей, салфеток или чашек, блюдец, ложек), костюмы из разных деталей одежды (юбки, кофты, накидки; сарафана, кофты, косынки; платья, пояса, украшения; брюк, рубашки, жилета, пиджака; куртки, головного убора и др.), библиотечки из книг и в других ситуациях. Часто такие переборы предметов осуществляются хаотически, без какого-либо порядка. При этом случается, что некий набор называется дважды, а какой-то бывает упущен. Между тем, в жизни (в том числе, при решении различных задач) бывает необходимо получить все совокупности, не повторившись и не пропустив ни одной. Поэтому уже с начальной школы следует обучать грамотному применению метода перебора.

Целесообразно показать учащимся необходимость наличия у них такого умения. С этой целью можно подготовить их выступления с примерами из понятных жизненных ситуаций, в которых нужно получить всевозможные комбинации из конечного (небольшого) количества объектов. Выступления одноклассников лучше воспринимаются школьниками, чем рассказ учителя. Далее предложить учащимся две-три задачи, решаемые методом перебора вариантов. Учащиеся наперебой будут давать ответы, а учитель будет их записывать на доске. Когда на доске появится достаточное количество ответов, учитель предложит их проанализировать. И вот тут школьники увидят, что некоторые варианты повторяются, а каких-то, возможно, не будет вовсе, и учитель на это обратит внимание учащихся. Так проблема окажется поставленной. Учителю нужно лишь ее сформулировать. Перед учащимися стоит вполне понятная задача: научиться так составлять все варианты из данных объектов, чтобы не было ни одного пропущенного и ни один бы не повторился, т.е. рационально. Этому и посвящается дальнейшая работа в этом направлении.

3

1.МЕТОД ПЕРЕБОРА И ЕГО РОЛЬ

ВОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ И ЖИЗНИ

Составление совокупностей – часто встречающаяся задача во всех областях человеческой деятельности. Получить весь набор совокупностей, не пропустив ни одной и не повторившись, не всегда является легкой задачей. Нередко на искомые совокупности накладываются разные условия, и тогда первоначальная задача усложняется. Теоретическое обоснование этой задачи рассматривается в разделе математики, называемом комбинаторикой.

Комбинаторика возникла в XVI веке. В то время широкое распространение в обществе получили азартные игры и лотереи. Поэтому первоначальные задачи комбинаторики касались именно этих сторон жизни людей, как правило, состоятельных. Нередко игроки нанимали математиков, чтобы те составили задачи на игровые сюжеты и решили их математическими методами, а потом рассказали бы, как игроку следует поступить, чтобы выиграть в лотерее или в азартной игре (например, в карты или лото).

Комбинаторика играет значительную роль и в чисто математических вопросах (теории групп, оснований геометрии, теорией графов, теорией вероятностей, неассоциативных алгебр, теорией чисел и др.), и в прикладных (транспортные задачи, составление и декодирование шифров, задачи статистики и т.д.).

Учащихся целесообразно познакомить с историей развития комбинаторных знаний, с именами математиков, внесших вклад в развитие комбинаторики, и сделать это тоже лучше посредством выступлений школьников. Это может быть и неплохой исследовательской работой учащихся. Имена итальянцев Джероламо Кардано, Николо Тартальи, французов Блеза Паскаля и Пьера Ферма (математически решивших проблему знатного друга Б. Паскаля шевалье де Мере – азартного игрока), швейцарца Якоба Бернулли, немца Готфрида Лейбница, швейцарского, немецкого и российского математика Леонарда Эйлера, американцев Монти Холла, Джона Риордана, советских и российских ученых-математиков (Б.В. Гнеденко, А.Я. Хинчина, А.Н. Колмогорова, известного российского математика и замечательного популяризатора Н.Я. Виленкина и др.) убедят детей в интернациональном характере науки. Знакомство с жизнью математиков приблизит в сознании учащихся абстрактную науку к жизни. Школьникам интересно узнать о некоторых событиях в жизни этих людей, и самое главное – они поймут, что математику создают живые люди со своими достоинствами и человеческими слабостями. Кстати, термин «комбинаторика» был введён в математический обиход Г. Лейбницем, который в 1666 году опубликовал свой труд «Рассуждения о комбинаторном искусстве». Знаменательно, что математики называли комбинаторикуискусством.

4

2.ТРЕБОВАНИЯ К СИСТЕМАМ УПРАЖНЕНИЙ

Совокупность упражнений, задач, заданий, направленная на достижение определенной цели, должна удовлетворять некоторым требованиям, связанным с учетом возрастных особенностей обучающихся, с одной стороны, и со спецификой изучаемого материала, с другой. Кроме того, нецелесообразно отказываться и от устоявшихся требований к системам задач.

Вкачестве особенностей возраста младших школьников выделим доминирование интуитивно-образного мышления, что определяет необходимость развития у них абстрактно-логического мышления, их постепенного введения в мир логики и абстракций. Особенностями предлагаемого материала являются возможность конечного представления и целостного обозрения содержания и решения задачи. Следует учесть и то обстоятельство, что окружающий мир един, а человечество разделило его описание на количественные отношения и пространственные формы, поэтому следует как-то сгладить это разделение.

Всоответствии со всем сказанным, выделяем следующие требования к системам задач на усвоение учащимися метода перебора:

1. Среди первоначальных задач представлены задачи с ясным для школьников сюжетом, взятым из повседневной жизни.

2. Первоначальные задачи должны иметь немного вариантов результата (ответа на вопрос задачи).

3. Включены задачи не только с арифметико-алгебраическим, но и с геометрическим сюжетом.

4.Постепенное усложнение задач должно определяться наложением дополнительных условий на объекты задачи, от одного простого

вначале до нескольких и посложнее в конце.

5.При решении задач использовать имеющиеся у школьников математические знания (состав числа, признаки геометрических фигур и др.).

Приведем примеры систем задач в соответствии с приведенными требованиями с целью обучения младших школьников рациональному применению метода перебора и опишем методику работы с учащимися.

3.МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ ПРИМЕНЕНИЮ МЕТОДА ПЕРЕБОРА

Начать знакомство учащихся с методом перебора целесообразно с задачи, подобной приведенной ниже. Она доступна и первокласснику.

Задача 1. Сколько различных костюмов можно составить из брюк и двух рубашек, если костюм должен состоять из брюк и одной рубашки?

При ее решении можно использовать изготовленные из цветной бумаги плоские проекции одних брюк и двух рубашек, например, красной и синей. Не испытывая затруднений, школьники составляют костюм

5

из брюк и красной рубашки, а затем – из брюк и синей рубашки, и отвечают на вопрос задачи, что можно составить два костюма. Важно подвести учащихся к выводу, что они объединяют в костюм имеющиеся единственные брюки с каждой из данных рубашек.

Задача 2. На столе три блюдца и две чашки. Сколько комплектов «блюдце – чашка» можно из них составить?

При решении этой задачи можно также использовать наглядность. Уже при решении этой задачи учащиеся составляют комплекты хаотически: первое блюдце со второй чашкой, второе с третьей чашкой и т.д., т.е. в выборе комплектов не прослеживается никакого порядка. В результате они начинают повторяться, а какие-то комбинации не называют. Учитель все их решения записывает на доске, и когда учащиеся исчерпали свои возможности, начинает с ними анализировать полученные записи. Он подчеркивает то, что встречается несколько раз, и приводит комплект, который никто из детей не назвал (если такой имеется). Предлагает им подумать, как организовать свою работу по составлению комбинаций, чтобы избежать таких «промахов». Совместными усилиями вырабатывается алгоритм: взять первое блюдце и скомбинировать с каждой из чашек, затем второе блюдце и с ним проделать то же самое, а затем то же сделать с третьим блюдцем. В результате уча-

щиеся получают, что общее число комбинаций: 2 + 2 + 2 = 6.

Учитель спрашивает, можно ли решить иначе, т.е. иначе выстраивать комбинации. Школьники отвечают утвердительно: можно выбирать чашку, а затем каждую выбранную чашку комбинировать с каждым из блюдец.

Далее учитель предлагает сделать вывод-обобщение: чтобы получить все комбинации, нужно каждый объект из первой совокупности скомбинировать с каждым объектом второй совокупности.

Задача 3. На гору ведут три дороги. Сколькими способами можно подняться на гору и спуститься с нее?

В этой задаче учащиеся сталкиваются с тем, что имеют две одинаковые совокупности, которые они сначала воспринимают как одну. Учитель предлагает пронумеровать дороги, и тогда школьники записы-

вают комбинации: 1–1, 1–2, 1–3, 2–1, 2–2, 2–3, 3–1, 3–2, 3–3. Всего 9.

Учитель спрашивает: можно ли узнать число комбинаций, не составляя их? Учащиеся, подумав, высказывают предположение: надо число объектов первого типа умножить на число объектов второго типа. Учитель предлагает проверить предположение, обратившись к рассмотренным задачам: 1 · 2 = 2 в первой, 3 · 2 = 6 во второй, 3 · 3 = 9. Догадка учащихся подтвердилась, а учитель говорит учащимся, что этот факт дей-

6

ствительно верен, он доказан учеными-математиками. (По сути, учащиеся «открыли» правило произведения комбинаторики.)

Учитель несколько изменяет задачу 3. Он дополняет условие тем, что подъем и спуск происходят по разным дорогам, и получает задачу 4.

Задача 4. На гору ведут три дороги. Сколькими способами можно подняться на гору и спуститься с нее, если подъем и спуск происходят по разным дорогам?

При решении этой задачи учащиеся идут двумя путями. Некоторые дети из результата задачи 3 исключают неудовлетворяющие условию новой задачи три варианта и получают: 9 – 3 = 6 (комбинаций). Другие дети исходят из того, что в первом множестве объектов их 3, а во втором – 2, и тогда согласно сделанному выводу: 3 · 2 = 6 (комбинаций).

Задача 5. В сборочный цех поступило 50 ведер и 60 ручек к ним. Сколько готовых ведер можно из них сделать?

В этой задаче учащиеся усваивают, что каждому ведру нужна 1 ручка, и потому только 50 готовых ведер можно сделать. Здесь же происходит пропедевтика понятия взаимно однозначного соответствия. Из 60 ручек используются только 50 (по числу ведер), остальные 10 ручек останутся без применения.

Задача 6. Расплатившись за купленную книгу, Юра получил сдачу 6 руб. Укажите все возможные наборы монет, которые могполучить Юра.

Эта задача с жизненной ситуацией, в какой могут находиться и школьники. Поэтому задача их заинтересовывает. Кроме того, они узнают или вспоминают (т.е. происходит актуализация знаний), какого достоинства монеты имеют хождение. Существуют монеты достоинством в 1 руб., 2 руб., 5 руб. Поэтому

6 = 1 + 5 = 1 + 1+ 2 + 2 = 1 + 1 + 1 + 1 + 2 = 1+ 1 + 1 + 1 + 1 + 1,

т.е. Юра мог получить рублевую и пятирублевую монеты, две рублевых и две двухрублевых монеты, четыре рублевых и одну двухрублевую монеты, шесть рублевых монет.

Предлагаются школьникам задачи и с геометрическим содержанием. Задача 7. Мальчик вырезал 6 кругов и треугольников. Сколько кругов и сколько треугольников мог вырезать мальчик? Нарисуй все случаи. Учащиеся начинают хаотически называть и рисовать какие-то варианты. Учитель предлагает им организовать этот процесс. Самое маленькое количество треугольников, которое мог вырезать мальчик, это один треугольник. Тогда легко найти количество вырезанных мальчиком кругов. Увеличивая на единицу число треугольников, будем получать все комбинации треугольников и кругов, без повторений и пропусков, при

этом дети получают и красивый рисунок.

7