Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Владимирский государственный университет им. Столетовых

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ИздательствоВоронежский государственный университетГод2016Страниц25Уровень образованияБакалавриат, Специалитет. Теория упругости

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

375.69 Кб

Скачать

☆

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ

Учебно-методическое пособие

Составители: Ю.В. Малыгина, А.В. Ковалев, Т.Д. Семыкина

Воронеж Издательский дом ВГУ

2016

Утверждено научно-методическим советом факультета прикладной математики, информатики и механики 15 марта 2016 г., протокол № 7

Рецензент — д-р физ.-мат. наук, проф. А.И. Шашкин

Учебно-методическое пособие подготовлено на кафедре механики и компьютерного моделирования факультета прикладной математики, информатики и механики Воронежского государственного университета.

Рекомендуется для студентов факультета прикладной математики, информатики и механики.

Для направлений: 01.03.03 – Механика и математическое моделирование, 01.05.01 – Фундаментальная математика и механика

Содержание
Введение...............................................................................................................	4
1. Основные понятия упругости........................................................................	5
1.1. Модель упругих сред (закон Гука)..........................................................	5
1.2. Упругий потенциал...................................................................................	7
1.3. Обобщенный закон Гука..........................................................................	7
1.4. Закон Гука для однородного (изотропного) тела..................................	8
1.5. Смысл параметров Ламе...........................................................................	8
2. Постановка задач упругости..........................................................................	9
2.1. Основная система уравнений упругости................................................	9
2.2. Основные задачи статики.......................................................................	10
2.3. Уравнения равновесия упругого тела в перемещениях
(уравнение Ламе)............................................................................................	10
2.4. Основные уравнения в напряжениях
(уравнения Бельтрами-Митчелла)................................................................	11
2.5. Общие теоремы упругости.....................................................................	12
2.5.1. Теорема Клапейрона.........................................................................	12
2.5.2. Теорема о единственности решения...............................................	13
2.5.3. Теорема Бетти....................................................................................	15
3. Основные приближенные методы решения задач.....................................	16
3.1. Полуобратный метод Сен-Венана.........................................................	16
3.2. Принцип Сен-Венана..............................................................................	17
3.3. Метод суперпозиции...............................................................................	18
4. Примеры решения задач...............................................................................	19
4.1 Растяжение изотропного бруса силой P.
Полуобратный метод и метод смягчения граничных условий .................	19
4.2. Растяжение бруса с цилиндрической анизотропией...........................	20
4.3. Упражнения для самостоятельной работы...........................................	22
Бибилиографический список ...........................................................................	24

Введение

Вучебно-методическом пособии рассматриваются постановка классической задачи упругости, формулировка основных теорем и методов решения [4], [6]. Применение основных методов решения задач проводится на примере растяжения изотропного и анизотропного бруса.

Вэтой задаче первоначально решение определяется для напряжений,

аметодом Сен-Венана показано, что для различных материалов (изотропные и анизотропные) получается разный характер деформаций, что свидетельствует о том, что не всегда кинематические гипотезы могут дать правильное решение.

Главные элементы в машиностроении основаны на применении упругости материалов, свойства которых позволяют неоднократную нагрузку

иразгрузку тела, без приобретения остаточных напряжений или деформаций. В силу этих свойств в каждый момент времени соотношение между напряжениями и деформациями в классической теории упругости однозначно и может быть записано в виде закона Гука:

где		=	,
где	– тензор напряжений,	– тензор упругих констант,		– тензор

деформаций. Закон Гука для анизотропного тела содержит 36 компонент. Для изотропного тела остаются 2 константы, которые описываются либо параметрами Ламе и ( – модуль упругости, – модуль сдвига), либо механическими константами и ( – модуль Юнга, – коэффициент Пуассона).

1.ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ УПРУГОСТИ 1.1. Модель упругих сред (закон Гука)

Упругость — это свойство тела изменять форму и размеры под действием внешних нагрузок и восстанавливать исходную конфигурацию при снятии нагрузок. Математически свойство упругости выражается в установлении взаимно однозначной функциональной зависимости между компонентами тензора напряжений и тензора деформаций. Свойство упругости отражает не только свойства материалов, но и условия нагружения. Для большинства конструкционных материалов свойство упругости проявляется при умеренных значениях внешних сил, приводящих к малым деформациям, и при малых скоростях нагружения, когда потери энергии за счет температурных эффектов пренебрежимо малы. Материал называется линейно-упругим, если компоненты тензора напряжений и тензора деформаций связаны линейными соотношениями.

При высоких уровнях нагружения, когда в теле возникают значительные деформации, материал частично теряет упругие свойства: при разгрузке его первоначальные размеры и форма полностью не восстанавливаются, а при полном снятии внешних нагрузок фиксируются остаточные деформации. В этом случае зависимость между напряжениями и деформациями перестает быть однозначной. Это свойство материала называется пластичностью. Накапливаемые в процессе пластического деформирования остаточные деформации называются пластическими.

Высокий уровень нагружения может вызвать разрушение, т.е. разделение тела на части. Твердые тела, выполненные из различных материалов, разрушаются при разной величине деформации. Разрушение носит хрупкий характер при малых деформациях и происходит, как правило, без заметных пластических деформаций. Такое разрушение характерно для чугуна, легированных сталей, бетона, стекла, керамики и некоторых других конструкционных материалов. Для малоуглеродистых сталей, цветных металлов, пластмасс характерен пластический тип разрушения при наличии значительных остаточных деформаций. Однако подразделение материалов по характеру разрушения на хрупкие и пластичные весьма условно, оно обычно относится к некоторым стандартным условиям эксплуатации. Один и тот же материал может вести себя в зависимости от условий (температура, характер нагружения, технология изготовления и др.) как хрупкий или как пластичный. Например, пластичные при нормальной температуре материалы разрушаются как хрупкие при низких температурах. Поэтому правильнее говорить не о хрупких и пластичных материалах, а о хрупком или пластическом состоянии материала.

Запишем первый закон термодинамики:

		процессе изменение тепловой энергии отсутст-
вует:	При изотермическом+ =		+ .
	= 0	.

Изменение кинетической энергии

Рассмотрим тело, находящееся под действием массовых сил (сил, приложенных в каждой точке тела) и поверхностных сил (приложенных по поверхности тела).

Виртуальная работа этих сил
=	+	.	(1.1.1)

Напряжения должны удовлетворять уравнениям равновесия во всём объеме тела

, + = ,

атакже граничным условиям на поверхности тела

Используя теорему Остроградского-Гаусса, преобразуем второй ин-

теграл в (1.1.1):

			=					=	(	),	,	.
После этого работа может быть записана в виде										,
	=		(	,	+	)		+		,
−	=		(	,	+	)		+	+	,	,	, .
−	=		(	,	+	−		)	+			, .
Выражение для			,	представим суммой симметричной и кососим-
метричной частей	1		,			1
,	=	2	,	+	,	+	2	, −	, =	+	.	= 0	. Следова-
Из симметрии тензора напряжений следует, что
тельно, приращение работы деформаций примет вид
			−		=				.

	Если происходит статическое деформирование, то					и в этом
случае изменение внутренней энергии тела определяется				формулой
случае изменение внутренней энергии тела определяется					= 0
	=	=	,			(1.1.2)
		=	,
где		– приращение удельной работы деформации.
		1.2. Упругий потенциал
	Твердое тело называется идеально упругим, если напряженное со-

стояние в любой его точке в произвольный момент деформирования зависит только от деформации в этой точке.

Для таких тел существует однозначная зависимость между действующими силами и вызываемыми ими упругими деформациями. Из (1.1.2) следует, что удельная работа внутренних сил определяется начальными и конечными деформациями и не зависит от конкретного перехода из од-

ного состояния в другое, то есть		является полным дифференциалом и от-
Следовательно, функция		= 0.
сюда вытекает
=	,	=	,	(1.2.1)

где – удельный упругий потенциал.

Равенство (1.2.1) называется формулой Грина.

1.3. Обобщенный закон Гука

Считая деформации малыми, разложим удельный потенциал в ряд Тейлора:

| +

+ .

Подставляя в (1.2.1), получим

ке

| ке.

ке

Так как нулевым деформациям соответствуют нулевые напряжения, то первое слагаемое для идеально упругого тела равно нулю, поэтому удельный упругий потенциал является квадратичной функцией деформаций. Введем обозначения:

| = ,

== = .

Первоначально этих констант 3 = 81, но с учетом симметрии тензоров напряжений и деформаций остается 21 константа для самых общих упругих сред.

Пусть упругая среда обладает плоскостью симметрии свойств отно-

сительно оси		. Заменим			на противоположное направление
Значит,	′ =′	, ′	=	′	, ′ = − ,′	′ = , =′	, ′ = − ,
Значит,		= −	,		= − ,	= − ,	= − .
	константы, которые содержат индекс «3» один раз должны быть

равны нулю, количество констант сокращается до 13. Далее рассмотрим изотропное тело.

1.4. Закон Гука для однородного (изотропного) тела

Для изотропного тела удельная работа деформаций не зависит от направления координатных осей, следовательно, она должна зависеть от ин-

вариантов тензора деформаций. Учитывая, что величина

≥ 0

и яв-

ляется квадратичной функцией деформаций, запишем ее в виде

где

параметры Ламе.

– положительные=константы,

Докажем

положительность параметров Ламе. Действительно, пусть

деформации

такие, что = 0. Тогда остается только второе слагаемое,

но

> 0

> 0 =>

> 0.

С другой стороны,

> 0

при любом деформированном состоянии,

следовательно,

Формула

Грина для изотропного тела имеет вид

> 0

=+2 .

1.5.Смысл параметров Ламе

Выясним физический смысл параметров Ламе. По определению

== – объемная деформация:

( ) =

= 3 +2 = (3 +2 ) .

Здесь

– среднее давление, тогда

3 +2

= ,

где

= +

> 0

–

;

модуль объемного сжатия.

Рассмотрим тензор напряжения чистого сдвига в плоскости (

В этом случае все компоненты напряжений равны нулю за исключением,

, а это дает единственное соотношение

=Упругую постоянную

называют модулем

сдвига и обозначают G,

= 2

то есть

Рассмотрим другой частный случай одноосного растяжения призма-

тического бруса. Ось

совместим с осью бруса, тогда только

> 0

, а

остальные

= 0

. Тогда

На основании закона Гука можно записать

= −

2 (3

)

+2 )

Заметим,

что при

одноосном напряженном состоянии тензор дефор-

= 0

маций не является одноосным.

Введем обозначения:

+2 )

)

где – модуль

продольной упругости или модуль Юнга, – коэффициент

поперечной деформации или коэффициент Пуассона.

Поскольку было показано, что параметры Ламе положительны, то

> 0, > 0	.
> 0, > 0
Можно получить обратные выражения:
	=	=	2(1+ )				(1+ )(1 − 2 )		(1.5.1)
			2(1+ )				(1+ )(1 − 2 )
Поскольку				, то из	равенства (1.5.1) следует, что
Поскольку				, то из		, =		,
	> 0,	> 0
Отсюда определяются			пределы коэффициента Пуассона:
Отсюда определяются				(1+		) ≥ 0,(1 − 2 ) ≥ 0.
					−1 ≤		≤ 0,5.

2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ УПРУГОСТИ 2.1. Основная система уравнений упругости

Полная система задачи статики упругого тела состоит из следующих соотношений:

– соотношения Коши:

=	1		+		,	(2.1.1)
=	2		+		,

при этом условием сохранения соотношений между перемещениями и деформациями в виде (2.1.1) являются условия совместности Сен-Венана

, + , − , − , = 0;

– уравнения равновесия:

+ = 0,

– закон Гука:

= +2 ,

–граничные условия в напряжениях:

=на ,

(2.1.2)

(2.1.3)

–граничные условия в перемещениях:

=( ) на .

2.2. Основные задачи статики

Задачи определения напряженно-деформированного состояния упругого тела делятся на три типа.

1.	Основная задача I типа. На всей поверхности тела заданы усилия,
случае
в этом2.	Основная=задача.	II типа. На всей поверхности тела заданы пере-
мещения, в этом случае		III типа (смешанная). На одной части поверхно-
3.	Основная задача	= .

сти заданы усилия, на остальной части – перемещения = + .

2.3. Уравнения равновесия упругого тела в перемещениях (уравнение Ламе)

Очевидно, в задачах I и II типов в качестве основных неизвестных нерационально выбирать напряжения, так как в этом случае граничные условия принимали бы интегральный вид. Кроме того, задача упругости в общем виде статически неопределима: имеются три дифференциальных уравнения относительно шести компонент напряжений. Уравнений равновесия достаточно, если в качестве основных переменных принять перемещения.

Выпишем уравнения равновесия (2.1.2) в перемещениях, заменив по закону Гука (2.1.3) напряжения деформациями, а деформации перемещениями, согласно соотношениям Коши (2.1.1):

+ =

= (

+ )

(2.3.1)

Уравнения

+ (

+ )

= 0.

(2.3.1) являются уравнениями равновесия, записанными в

перемещениях. Они называются уравнениями Ламе.

Пусть массовые силы равны нулю. Продифференцируем (2.3.1) по :

+ (

+ )

= 0,

Следовательно,

+ ( + )

= 0.

(2.3.2)

= 0.

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]