10. Метод наименьших квадратов
Метод наименьших квадратов является одним из способов получения эмпирических формул на основании опыта и наблюдения. Изложим идею этого способа, ограничиваясь, случаем линейной зависимости двух величин.
Задача. По n опытным данным
-
x
x1
x2
x3
…
xn
y
y1
y2
y3
…
yn
найти зависимость y=kx+b так, чтобы сумма квадратов отклонений опытных значений yi от расчетных значений kxi+b была наименьшей.
Решение. Фактически нужно найти параметры k и b так, чтобы выражение
(y1-kx1-b)2+(y2-kx2-b)2+…+(yn-kxn-b)2=S(k,b),
как функция двух переменных, принимало наименьшее значение. Используя общую теорию экстремума функций нескольких переменных, находим частные производные функции двух переменных S(k,b) и приравниваем их к нулю. После упрощения получаем систему уравнений
,
откуда находим неизвестные k и b.
Типовой пример. С помощью метода наименьших квадратов подобрать параметры k и b линейной функции y=kx+b, приближенно описывающей приведенные в таблице
-
1
3
5
4
6
7
8
10
3
4
6
6
8
8
10
11
опытные данные. Полученную прямую вместе с опытными данными изобразить в системе координат Oxy и визуально оценить качество найденной модели.
Решение. Составим систему уравнений относительно неизвестных k и b. Для этого предварительно проведем вычисления в таблице
i |
xi |
yi |
xi²
|
xiyi |
y1(xi) |
1 |
1 |
3 |
1 |
3 |
2,732 |
2 |
3 |
4 |
9 |
12 |
4,628 |
3 |
5 |
6 |
25 |
30 |
6,524 |
4 |
4 |
6 |
16 |
24 |
5,576 |
5 |
6 |
8 |
36 |
48 |
7,472 |
6 |
7 |
8 |
49 |
56 |
8,420 |
7 |
8 |
10 |
64 |
80 |
9,368 |
8 |
10 |
11 |
100 |
110 |
11,264 |
∑ |
44 |
56 |
300 |
363 |
55,984 |
Следовательно, система уравнений имеет вид
.
Решая эти уравнения, получим b=1,784, k=0,948. Следовательно, y1(x)=0,948∙x+1,784. Вычислим расчетные значения y1(xi) (см. последний столбец таблицы) и на их основе построим полученную прямую вместе с опытными данными в системе координат Oxy (см. рис. 13).
Рис. 13
Из рисунка видно, что опытные точки достаточно близко находятся от найденной прямой. Можно считать, что найденная модель y=kx+b достаточно хорошо описывает опытные данные.
Задание 9. С помощью метода наименьших квадратов подобрать параметры k и b линейной функции y=kx+b, приближенно описывающей приведенные в таблице опытные данные. Полученную прямую вместе с опытными данными изобразить в системе координат Oxy и оценить качество найденной модели.
№ |
Опытные данные |
||||||||||||||||||
1
|
|
||||||||||||||||||
2
|
|
||||||||||||||||||
3
|
|
||||||||||||||||||
4
|
|
||||||||||||||||||
5
|
|
||||||||||||||||||
6
|
|
||||||||||||||||||
7
|
|
||||||||||||||||||
8
|
|
||||||||||||||||||
9
|
|
||||||||||||||||||
10
|
|
||||||||||||||||||
11
|
|
||||||||||||||||||
12
|
|
||||||||||||||||||
13
|
|
||||||||||||||||||
14
|
|
||||||||||||||||||
15
|
|
||||||||||||||||||
16
|
|
||||||||||||||||||
17
|
|
||||||||||||||||||
18
|
|
||||||||||||||||||
19
|
|
||||||||||||||||||
20
|
|
||||||||||||||||||
21
|
|
||||||||||||||||||
22
|
|
||||||||||||||||||
23
|
|
||||||||||||||||||
24
|
|
||||||||||||||||||
25
|
|
||||||||||||||||||
26
|
|
||||||||||||||||||
27
|
|
||||||||||||||||||
28
|
|
||||||||||||||||||
29
|
|
||||||||||||||||||
30
|
|