9. Пример применения в задачах экономики

В экономике часто ставится задача о нахождении наибольшей прибыли от производства разных видов продукции. Пусть - количество производимых n разновидностей продукции, а их цены - соответственно . Затраты на производство этих видов продукции задаются функцией издержек С=S( ). Тогда функция прибыли имеет вид

П= - S( ).

Для нахождения максимума функции прибыли приравняем к нулю ее частные производные. Эти условия приводят к системе алгебраических уравнений

= , i= 1, 2, … , n.

Эта система уравнений реализует известное правило экономики: предельная стоимость продукции равна предельным издержкам на производство этой продукции.

Типовой пример. Фирма выпускает два типа товара А и В. Цены на эти товары равны Р₁ = 9 и Р₂= 8 соответственно, а функция затрат S(х, y) = х³ + y² + 6хy, где х – количество товара А, y - количество товара В. Найти максимальную прибыль фирмы.

Решение. Функцию прибыли определяем как разность между стоимостью произведенных товаров и стоимостью затрат, т.е.

P = P₁ x + P₂ y – S(x, y).

Таким образом, имеем задачу определения экстремума максимума) функции Р = 9 x + 8 y - х³ - y² - 6хy с ограничениями х  0 и y  0.

а) Сначала находим локальный максимум. Вычисляем частные производные

, .

Приравниваем их к нулю, получаем систему

Решением этой системы будут точки М₁(1, 1) и М₂(5, -11), из которых только точка М₁(1, 1) является допустимой (точку М₂(5, -11) исключаем в силу отрицательности y). Исследуем первую точку на максимум. Находим частные производные 2-го порядка

.

Далее вычисляем их в точке М₁. Получаем

,

откуда определитель

-24.

Так как ∆ < 0, то точка М₁ не является точкой экстремума (максимума). Таким образом, функция прибыли не имеет локального максимума, а достигает максимум (условный максимум) на границе х = 0 или y = 0.

б) Исследуем функцию прибыли на условный экстремум. Сначала берем границу х = 0 и подставляем в функцию прибыли значение х = 0. Получим Р = 8 y - y² . Исследуя полученную функцию одной переменной на экстремум, получаем y = 4 и Р⁽¹⁾ _max =16.

Теперь берем вторую границу y = 0 и снова получаем функцию одной переменной Р = 9 x - х³. Исследуя эту функцию на экстремум, получаем х = и Р⁽¹⁾ _max = 6 .

Из полученных Р⁽ⁱ⁾ _max выберем наибольшее, т.е.

Р_max = max { Р⁽¹⁾ _max , Р⁽²⁾ _max} = max{16, 6 } = 16.

Максимальная прибыль фирмы равна 16.

Задание 8. Фирма выпускает два типа товара А и В. Цены на эти товары равны Р₁ и Р₂ соответственно, а функция затрат S(x, y), где х – количество товара А, y - количество товара В. Найти максимальную прибыль фирмы.

№	Цены товаров		Функция затрат S(x, y)	№	Цены товаров		Функция затрат S(x, y)
	Р1	Р2			Р1	Р2
1	153	24	х2 + y3 + 24хy	16	12	9	х3 + y2 + 6хy
2	12	27	х2 + y3	17	7	6	х2 + y3 + 6хy
3	27	24	3/2х2 + y3 + 12хy	18	81	90	3х3 + 3y2+12
4	70	48	21/2х2 + y3 + 21хy	19	24	153	х3 + y2 + 24хy
5	72	52	х3 + y2 + 12хy	20	27	12	х3 + y2+3y+7
6	64	24	5х2 + y3 + 30xy	21	24	27	х3 +3/2 y2 + 2хy
7	9	12	х2 + y3 + 6хy	22	48	70	х3 +10 y2 + 2хy
8	24	153	х3 + y2 + 24хy	23	52	72	х2 + y3 + 12хy
9	153	24	х2 + y3 + 24хy	24	24	64	х3 + 5y2 + 30хy
10	6	7	х3 + y2 + 6хy	25	24	27	х3 +3/2 y2 + 2хy
11	90	81	3х2 + 3y3+14	26	12	9	х3 + y2 + 6хy+6
12	24	27	х3 +3/2 y2 + 12хy	27	7	6	х2 + y3 + 6хy+4
13	48	70	х3 +21/2 y2 + 21хy	28	81	90	3х3 + 3y2+10
14	52	72	х2 + y3 + 12хy	29	24	153	х3 + y2 + 4хy+2
15	24	64	х3 + 5y2 + 30хy	30	27	12	х3 + y2+4