8. Абсолютный экстремум функции
Абсолютным экстремумом функции в некоторой области D называют наименьшее или наибольшее значение функции в этой области. Для нахождения абсолютного экстремума используется правило: нужно найти все максимумы или минимумы, достигаемые внутри области D, а также наибольшее или наименьшее значение функции на границе области.
Задание 7. Найти наименьшее и наибольшее значения функции z=f(x,y) в замкнутой области D, заданной системой неравенств. Сделать рисунок области.
№ |
Функция z=f(x,y) |
Область D |
1 |
z=x2+3y2+x - y |
x ≥ 1, y ≥ -1, x + y ≤ 1 |
2 |
z=5x2-3xy+y2 +4 |
x ≥ - 1, y ≥ -1, x + y ≤ 1 |
3 |
z=2xy– x2+10 |
0 ≤ y ≤ 4 - x2 |
4 |
z=x2+2xy - y2+4x |
x ≤ 0, y ≤ 0, x + y +2 ≥ 0 |
5 |
z=x2+xy–2 |
4x2- 4 ≤ y ≤ 0 |
6 |
z=x2+ xy |
-1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 3 |
7 |
z=x2+2xy+2y2 |
-1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2 |
8 |
z=3-2x2–xy – y2 |
x ≤ 1, y ≥ 0, y ≤ x |
9 |
z=x2+2y2+1 |
x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 3 |
10 |
z=x2-9xy+y2+27 |
0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 3 |
11 |
z=x2+3y2+x - y |
x ≥ 1, y ≥ -1, x + y ≤ 1 |
12 |
z=5x2-3xy+y2 +4 |
x ≥ - 1, y ≥ -1, x + y ≤ 1 |
13 |
z=2xy– x2+10 |
0 ≤ y ≤ 4 - x2 |
14 |
z=x2+2xy - y2+4x |
x ≤ 0, y ≤ 0, x + y +2 ≥ 0 |
15 |
z=x2+xy–2 |
4x2- 4 ≤ y ≤ 0 |
16 |
z=x2+ xy |
-1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 3 |
17 |
z=x2+2xy+2y2 |
-1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2 |
18 |
z=3-2x2–xy – y2 |
x ≤ 1, y ≥ 0, y ≤ x |
19 |
z=x2+2y2+1 |
x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 3 |
20 |
z=x2-9xy+y2+27 |
0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 3 |
21 |
z=x2+3y2+x - y |
x ≥ 1, y ≥ -1, x + y ≤ 1 |
22 |
z=5x2-3xy+y2 +4 |
x ≥ - 1, y ≥ -1, x + y ≤ 1 |
23 |
z=2xy– x2+10 |
0 ≤ y ≤ 4 - x2 |
24 |
z=x2+2xy - y2+4x |
x ≤ 0, y ≤ 0, x + y +2 ≥ 0 |
25 |
z=x2+xy–2 |
4x2- 4 ≤ y ≤ 0 |
26 |
z=x2+ xy |
-1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 3 |
27 |
z=x2+2xy+2y2 |
-1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2 |
28 |
z=3-2x2–xy – y2 |
x ≤ 1, y ≥ 0, y ≤ x |
29 |
z=x2+2y2+1 |
x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 3 |
30 |
z=x2-9xy+y2+27 |
0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 3 |
Типовой пример. Найти наименьшее и наибольшее значения функции z=xy в замкнутой области D, заданной системой неравенств x ≥ 0, y ≥ 0, x +2 y ≤ 2 (см. рис. 12).
y
B(1,0)
O A(2,1)
x
Рис.12
Решение.
Находим частные производные функции
,
и
приравниваем их к нулю. Отсюда находим
критическую точку O(0,0).
Значение функции в этой точке и на
отрезках OA
и OB
равно нулю.
Изучим поведение функции z на отрезке AB. Здесь y=1-0,5x, поэтому функция z=x(1-0,5x). Исследуем эту функцию одной переменной. Для нее z′=1-x=0. Отсюда x=1 а, следовательно, y=0,5. Значение функции в точке (1; 0,5) равно 0,5.
Итак, наименьшее значение функции в области D равно нулю, а наибольшее равно 0,5.