Составим вспомогательную функцию

,

найдем ее частные производные и приравняем к нулю

Для решения этой системы умножим первое уравнение на x, второе – на y, третье - на z и сложим их. Принимая во внимание четвертое уравнение, получим . Подставляя найденное значение , получим

Так как по смыслу задачи отличны от нуля, то из последних уравнений имеем

Из первых двух уравнений находим из последних двух . Но в таком случае . Тогда из последнего уравнения получим, что , то есть коробка должна быть кубом, ребро которого равно .

Задание 6. Решить задачи, используя теорию условного экстремума.

1. Объем правильной треугольной пирамиды равен V=16 (м³). Каковы должны быть ее размеры, чтобы ее полная поверхность была наименьшей?

2. Открытый чан имеет форму цилиндра объема V=27π (м³). Каковы должны быть радиус основания и высота чана, чтобы на его изготовление пошло наименьшее количество материала?

3. Найти наибольший объем цилиндра, у которого полная поверхность равна (м²).

4. Каковы должны быть размеры прямоугольника наибольшей площади, вписанного в круг радиуса 6 см?

5. Проволока длиной 40 см согнута в прямоугольник. Каковы должны быть размеры этого прямоугольника, чтобы площадь его была наибольшей?

6. Найти размеры конуса наибольшего объема, образующая которого равна (м).

7. Объем конуса равен V=16 (м³). Какова должны быть его размеры, чтобы его полная поверхность была наименьшей?

8. Найти стороны прямоугольного треугольника, имеющего при данной площади S наименьший периметр.

9. Найти стороны прямоугольного треугольника, имеющего при данном периметре P наибольшую площадь.

10. На изготовление открытого чана в форме цилиндра ушло 24 м² материала. Каковы должны быть радиус основания и высота чана, чтобы его объем был наибольшим?

11. Требуется изготовить коническую воронку с образующей, равной 20 см. Какова должна быть высота и радиус воронки, чтобы ее объем был наибольшим?

12. Найти правильную треугольную пирамиду заданного объема V, имеющую наименьшую сумму ребер.

13. Число 8 разбить на два слагаемых так, чтобы сумма их кубов была наименьшей.

14. Полная поверхность правильной треугольной пирамиды равна S=16 (м²). Каковы должны быть ее размеры, чтобы ее объем был наибольшим?

15. Требуется огородить забором прямоугольный участок земли площадью 294 м² и затем разделить этот участок забором на две части с площадями 1:2. При каких линейных размерах участка длина всего забора будет наименьшей?

16. Огород прямоугольной формы имеет два участка, площади которых относятся как 1:2 и каждый огорожен изгородью. Общая длина изгороди составляет 72 м. Каковы должны быть размеры участков, чтобы площадь огорода была максимальной?

17. Деталь листового железа имеет форму равнобедренного треугольника с периметром 10 м. Каким должно быть основание и высота треугольника, чтобы его площадь была наибольшей?

18. Требуется изготовить шатер, имеющий форму кругового конуса заданной вместимости (м³). Каковы должны быть размеры конуса, чтобы на шатер ушло наименьшее количество материала?

19. Требуется изготовить коническую воронку объемом (м³). Каковы должны быть размеры воронки, чтобы на ее облицовку пошло наименьшее количество материала?

20. Цистерна имеет форму прямого кругового цилиндра, завершенного с одной стороны полушаром. Вместимость цистерны V=40π/3 м³. Найти размеры цистерны, при которых на ее изготовление пойдет наименьшее количество материала.

21. Из круглого бревна радиуса требуется вырезать балку прямоугольного сечения с основанием x и высотой y. Прочность балки пропорциональна . При каких значениях x и y прочность балки будет наибольшей?

22. Требуется изготовить открытый сверху цилиндрический сосуд максимальной вместимости. Каковы должны быть размеры сосуда (радиус и высота), если на его изготовление имеется материала?

23. Требуется изготовить открытый сверху цилиндрический сосуд вместимости (м³). Каковы должны быть размеры сосуда (радиус и высота), чтобы на его изготовление пошло наименьшее количество материала?

24. Требуется поставить палатку в форме правильной четырехугольной пирамиды заданной вместимости (м³). Каковы должны быть ее размеры, чтобы на изготовление пошло наименьшее количество материала?

25. Требуется поставить палатку в форме правильной четырехугольной пирамиды из материала S=24(м²). Каковы должны быть ее размеры, чтобы изготовить палатку наибольшей вместимости?

26. Из всех прямоугольных параллелепипедов, имеющих сумму ребер, равную 48 м, найти тот, объем которого наибольший.

27. Из всех прямоугольных параллелепипедов, имеющих объем, равный 64 м³, найти тот, сумма ребер которого наименьшая

28. Требуется изготовить ящик с двумя отсеками, объемы которых равны 24 и 48 (м³). Каковы должны быть размеры этого ящика, чтобы полная поверхность была наименьшей?