2. Дробный факторный эксперимент

Во многих практических задачах взаимодействия второго и высшего порядков отсутствуют или пренебрежимо малы. Кроме того, на первых этапах исследований бывает нужно получить некоторую, не очень точную, информацию о процессе при минимальных затратах на проведение эксперимента. Использование дробных реплик от полного факторного эксперимента позволяет уменьшить число опытов. Дробные реплики задаются генерирующими соотношениями

Для обозначения дробных реплик, в которых p линейных эффектов приравнены к эффектам взаимо­действия, удобно пользоваться условным обозначением 2^k-p. Так, полуреплика от 2³ запишется в виде 2^3-1. Планирование 2^3-1 может быть представлено двумя генерирующими соотношениями:

x₃=x₁x₂, x₃=-x₁x₂. (10)

Определяющим контрастом называется соотношение, задающее элементы первого столбца матрицы планирования для фиктивной переменной х₀. Умножая генерирующее соотношение (10) на х₃ получаем:

1=х₁х₂х₃=-х₁х₂х₃, х₃²=1. (11)

Контраст помогает определять сме­шанные эффекты. Для того чтобы определить, какой эффект смешан с данным, нужно помножить обе части определяющего контраста на столбец, соответствующий данному эффекту. Так, если , то для x₁ имеем:

,

так как всегда . Для x₂ находим:

,

для x₃:

.

Это значит, что коэффициенты линейного уравнения будут оценками:

,

,

.

Соотношение, показывающее, с каким из эффектов смешан данный эффект, называется генерирующим соотношением.

Полуреплики, в которых основные эффекты смешаны с двухфакторными взаимодействиями, носят название планов с разрешающей способностью III (по наибольшему числу факторов в определяющем контрасте).

Разрешающая способность полуреплик определяется генерирующим соотношением и тем она выше, чем более высок порядок взаимодействий. Она возрастает с ростом числа независимых переменных. При отсутствии априорной информации об эффектах взаимодействия экспериментатор стремится выбрать реплику с наибольшей разрешающей способностью, так как тройные взаимодействия обычно менее важны, чем парные. Если существует информация об эффектах взаимо­действия, то она должна использоваться при выборе реплики.

При исследовании влияния пяти факторов можно поставить не 16 опытов, а только 8, т. е. воспользоваться четвертьрепликой 2^5-2. При этом возможны двенадцать решений, если х₄ приравнять парному взаимодействию, а х₅ – тройному. Допустим, выбран вариант  и . Тогда определяющими контрастами являются  и .

Если перемножить эти определяющие контрасты, то получится третье соотношение, задающее элементы столбца . Для характеристики разрешающей способности реплики, необходимо записать обобщающий определяющий контраст.

.

Система смешивания определяется умножением обобщающего определяющего контраста последовательно на х₁, х₂, х₃ и т.д.

,

,

,

,

,

,

.

Получается сложная система смешивания линейных эффектов с эффектами взаимодействия первого, второго, третьего и четвертого порядков. Если, коэффициенты  и  будут отличаются от нуля, то возникают сомнения, можно ли пренебрегать другими парными взаимодействиями, с которыми смешаны линейные эффекты. В этом случае следует поставить вторую серию опытов, выбрав нужным образом другую 1/4-реплику.

При этом можно воспользоваться методом «перевала». Смысл его заключается в том, что вторая чет­верть-реплика получается из первой путем изменения всех знаков матрицы на обратные. Тогда в обобщающем определяющем контрасте тройные произведения будут иметь знак, противоположный их знаку в первой четверть-репли­ке. Тройные произведения определяют парные взаимодей­ствия в совместных оценках для линейных эффектов. Усредняя результаты обеих четверть - реплик, можно полу­чить линейные эффекты, не смешанные с парными взаимо­действиями.

С ростом числа факторных переменных увеличивается дробность реплик и усложняется система смешивания. Предельное число факторов для восьми опытов – семь. В этом случае оценивается восемь коэффициентов линейного уравнения

 и число степе­ней свободы равно нулю.

План с предельным числом факторов для данного числа опытов и заданной модели называется насыщенным. В этом случае число опытов равно числу оцениваемых коэф­фициентов. При насыщенном планировании остаточная дисперсия модели s_ост² должна равняться нулю, она определяется для проверки правильности вычислений коэффициентов уравнения регрессии.