3 Оценка адекватности и точности трендовых моделей прогноза

Для анализа рядов динамики и их прогнозирования в простейшем случае можно использовать офисные информационные технологии, реализованные в электронной таблице EXCEL. В более сложных случаях используются модели на нечетких множествах, нейронных сетях и др.

Трендовая модель временного ряда считается адекватной, если она правильно отражает систематические компоненты временного ряда. Это эквивалентно требованию, чтобы остаточная компонента:

ξ_t = y_t - у_пр , t = 1, 2, ..,n

удовлетворяла свойствам случайной компоненты временного ряда: случайность колебаний, нормальность закона распределения, независимость уровней случайной компоненты.

Исследование остатков ξ_t полезно начинать с изучения их графика. 0н может показать наличие какой-то зависимости, не учтенной в модели. График остатков может показать необходимость перехода к нелинейной модели (квадратичной, полиномиальной, экспоненциальной) или включения в модель периодических компонент.

График остатков показывает и резко отклоня­ющиеся от модели наблюдения - выбросы. Подобным аномальным наблюдениям надо уделять особо пристальное внимание, так как их присутствие мо­жет грубо искажать значения оценок. Устранение эффектов вы­бросов может проводиться либо с помощью удаления этих точек из анализируемых данных, (эта процедура называется цензурированием), либо с помощью применения методов оценивания параметров, устойчи­вых к подобным грубым отклонениям.

Независимость остатков можно проверить расчетом первого коэффициента автокорреляции:

.

Для принятия решения о наличии или отсутствии автокорреляции в исследуемом ряду фактическое значение коэффициента автокорреляции r(1) сопоставляется с табличным (критическим) значением для 5%-ного уровня значимости (вероятность допустить ошибку при принятии нулевой гипотезы о независимости уровней ряда). Если фактическое значение коэффициента автокорреляции меньше табличного, то гипотеза об отсутствии автокорреляции в ряду может быть принята, а если фактическое значение больше табличного – делают вывод о наличии автокорреляции в ряду динамики, т.е. зависимости остатков.

Для обнаружения гетероскедастич­ности обычно используют три теста, в которых делаются различные предположения о зависимости между дисперсией случайного члена и объясняющей переменной: тест ранговой корреляции Спирмена, тест Голдфельда-Квандта и тест Глейзера [Доугерти].

При малом объеме выборки для оценки гетероскедастичности может использоваться метод Голдфельда - Квандта. Данный тест используется для проверки такого типа гетероскедастичности, когда дисперсия остатков возрастает пропорционально квадрату фактора. При этом делается предположение, что, случайная составляющая ξ_t распределена нормально. Оценка нарушения гомоскедастичности по тесту Голдфельда-Квандта описывалась ранее в лекции 6.

Нормальность закона распределения остатков приближенно может быть оценена проверкой статистической значимости расчетных коэффициентов асимметрии А_с и эксцесса Э_с остатков, которые рассчитываются по формулам:

, ,

где - стандартная ошибка вычисления коэффициента асимметрии;

,

где - стандартная ошибка вычисления коэффициента эксцесса.

При одновременном выполнении неравенств:

| Ас| < 1,5 , | Эс +6/(n+1)| < 1,5 ,

гипотеза о нормальности закона распределения ξ_t принимается. При соотношении неравенств (>= 2σ) гипотеза нормальности распределения остатков отвергается.

Адекватность модели прогноза оценивается по значению коэффициента детерминации с использованием критерия Фишера. Рассчитывается значение коэффициента детерминации по формуле:

где - фактическое значение уровня временного ряда;

- значение уровня временного ряда, рассчитанное по модели;

- среднее арифметическое значение временного ряда.

Значимость коэффициента детерминации проверяется сравнением расчетного значения критерия Фишера с критическим значением:

,

где k – количество факторных переменных в функции тренда;

α – уровень значимости, принимается равным 0,05;

n – количество уровней в анализируемом временном ряду;

- табличное значение критерия Фишера.

При выполнении неравенства F > F_T коэффициент детерминации принимается значимым, модель адекватно описывает анализируемый временной ряд.

Точность прогнозирования модели временного ряда оценивается с использованием ретроспективных данных, не использованных при построении модели временного ряда. Средняя квадратичная ошибка прогнозирования вычисляется по формуле:

где - ошибка прогнозирования в точках t=1, 2, …, m;

k – число параметров в модели прогноза, при временном аргументе t значение k=1.