469374
.pdfМАТЕМАТИКА В ГУМАНИТАРНЫХ НАУКАХ: МЕСТО, РОЛЬ И ПРИМЕНЕНИЕ ©Дридгер К.А., 2011 (г. Оренбург)
§ 1. Современная наука: естественная и гуманитарная компоненты.
… Во всяком специальном учении о природе можно найти лишь столько собственно науки, сколько в нём можно найти математики.
И. Кант
Интеграция России в мировое сообщество означает вхождение системы образования в более широкое социокультурное поле, а, следовательно, требуется осмысление всей палитры современных образовательных тенденций (дифференциация, индивидуализация, демократизация, непрерывность, информатизация, компьютеризация, фундаментализация, гуманизация, гуманитаризация и пр.).
Ориентация современного образования в этих направлениях стала возможной в условиях смены технократической парадигмы, исчерпавшей свои возможности, на гуманистическую. Суть этой переориентации состоит в следующем - от человека как объекта образования, выступающего в роли пассивного приемника информации, к человеку как субъекту, способному к самообразованию. Другими словами, новая парадигма образования предполагает переход от прагматической целей образования, заключающейся в формировании профессиональной пригодности, т.е. в получении совокупности знаний, умений и навыков, к гуманистической цели – к личностному развитию субъекта [16].
Само понятие «гуманистической парадигмы образования» ассоциируется с двумя понятиями «гуманизация» и «гуманитаризация», требующими уточнения и осмысления в рамках исследования места, роли и применения математики в гуманитарных науках, поскольку часто первое подменяется вторым, что, с нашей точки зрения, некорректно и недопустимо в условиях перехода к новой образовательной парадигме.
Следуя В.И. Шубину, гуманизация понимается как социальнокультурная позиция, которая исходит из приоритета человека как высшей ценности, что предполагает перестройку всей культуры, а значит и системы образования в гомоцентрическом направлении. Гуманизация образования – это поворот к человеку (студенту и преподавателю) с целью развития личности в целом, а не только ее знаний, навыков, умений. Гуманитаризация – средство гуманизации, используемое для того, чтобы дополнить естественно-техническую культуру гуманитарной, причем не только с помощью чтения обязательных или факультативных гуманитарных предметов, но и за счет использования гуманитарного пласта в общенаучных дисциплинах. Гуманитаризация образования в
настоящее время ориентирована на расширение гуманитарных дисциплин, но и это совершенно необходимо, поскольку изучение философии, социологии, культурологии, религиоведения и других гуманитарных наук формирует личность [16].
Предметом острых дискуссий был и остается вопрос о статусе математики как науки в общеизвестном делении наук на точные и неточные, естественные и гуманитарные, и т.п. Не менее остро в научных кругах обсуждается вопрос, с одной стороны, о четком разделении науки на гуманитарные и негуманитарные отрасли, их разобщенности, и, с другой стороны, об отсутствии таковой четкой грани, о взаимообусловленности, взаимопроникновении и взаимосочетании естественнонаучной и гуманитарной компонент.
В поддержку позиции раздельного существования математических и гуманитарных дисциплин рядом исследователей приводятся определенные доводы.
Различие между гуманитарными и естественными (или тем более математическими) науками обусловливается, прежде всего, происхождением самого термина «наука», согласно которому во французском и английском языке его не принято было прилагать к таким дисциплинам, как литературоведение или история [17]. Математическое знание обладает свойством инвариантности относительно времени и места протекающих явлений. Гуманитарное знание, напротив, сосредоточено на специфических особенностях в конкретных условиях места и времени. Математическое знание и гуманитарные науки как бы дополняют друг друга, но о плодотворном взаимодействии между ними не может быть и речи в силу кардинального различия предмета и методов данных областей знания [8. – С. 370].
Если объектом естественных наук является природа, а целью – получение объективного знания, которое может быть материализовано посредством технических средств и технологий, то объектом гуманитарных наук является сам человек во всей его сложности, а целью
– созидание культурных ценностей, новых целей и смыслов человеческого существования. Другими словами, целью исследования естественных наук является познание фактов, в частности путем измерения, с целью понимания явления, а целью исследования гуманитарных наук – познание на основе постижения, прочувствования сущности феномена. Исследователь природы изучает природные явления как посторонний наблюдатель, извне, гуманитарий же изучает явления культуры изнутри, как соучастник этих явлений [16].
Однако гуманитарное знание ни в коем случае не означает его нестрогости или «фантастичности». Гуманитарное, значит, относящееся к человеку [6].
Впервые эта разобщённость отчётливо проявилась лишь во второй половине XIX в., а утвердилась в XX столетии, когда появились термины «гуманитарный» и «гуманистический» в их современном понимании. До этого слово «гуманитарный» употреблялось таким образом, что и наука, и образование, и культура в целом являлись гуманитарными.
Как известно, первая система образования – «пайдейа» (дословно «духовность, культура») – была создана в Древней Греции и предназначена для подготовки юных граждан к активному участию в жизни полиса. Как описано в «Государстве» Платона, этот курс, который греки называли «свободными искусствами», включал в себя арифметику, геометрию, астрономию, музыку, грамматику, риторику и логику [5]. Название «свободные искусства» обязано тому, как греки понимали свободу, а именно «свободного человека», у которого разум господствует над инстинктами. Сократ противопоставлял «рабу своих страстей», т.е. человеку, исполняющему любые свои желания. Поэтому «свободные искусства» не что иное, как занятия, делающие человека свободным, а значит, способным подчинять свои желания голосу разума [8. – С. 550]. Под названием «humanitas» (буквально «природа человека») заимствованная у греков «пайдейа» существовала и в Риме. Таким образом, образование с самого своего зарождения, по существу, отождествлялось с духовностью, культурой и природой человека и предназначалось для обретения человеком свободы, т. е. способности руководствоваться разумом в убеждениях и помыслах. В этом смысле всё образование было гуманитарным [8. – С. 550].
Рождение термина «гуманитарные науки» можно отнести к XV столетию в связи с появлением термина «человеческие учения», который использовали итальянские гуманисты, чтобы разделить учения существенно человеческие от «божественных». Согласно А.Х. Назиеву, в таком целостном виде с гуманитарным содержанием образование просуществовало примерно до середины XIX в., когда произошло разделение гуманитарного и негуманитарного знания, но не само собой, а усилиями представителей тех наук, которые теперь называются гуманитарными, под лозунгом их «самоопределения». Так, в конце XIX в. В. Дильтей определил гуманитарные науки как науки, области изучения которых лежат вне области изучения естественных наук, т. е. прямо противопоставив гуманитарные науки естественным. При этом изменилось не только значение слова «гуманитарный», но и отражаемая в нём сторона явления. Прежде, хотя и не было явного определения, в слове «гуманитарный» заключалось указание на характер воздействия дисциплины на обучаемого, теперь же внимание было переключено на объекты изучения. Это размежевание наук было воспринято и продолжено в XX столетии как разделение единой культуры на две — гуманитарную и не гуманитарную с последующим соответствующим
разделением образования: если изучаются гуманитарные науки — значит, образование гуманитарное; если изучаются не гуманитарные науки, то и образование не гуманитарное [8. – С. 551].
Приведем в противовес доводам о четкой грани между науками гуманитарными и не гуманитарными определенные аргументы исследователей, интересующихся этим вопросом, и конкретные факты, на которые они опираются.
С нашей точки зрения, по своему историческому происхождению и на протяжении своего исторического развития математика всегда находилась в тесной взаимосвязи с рядом других наук, например:
С философией.
Термин «математика», изобретенный Пифагором, как и «философия», происходит от слова «матема», означающего точно установленное определенным образом знание, сомневаться в котором не следует. Основываясь на мнении о том, что отдельным людям - «математикам» - точное знание самоочевидно, он разделил своих учеников на две группы – собственно «знатоков» («математиков») и «слушателей» («акусматиков»). Следуя Пифагору, математика - это состояние ума, при этом предмет приложения ума может быть совершенно произвольным.
С юриспруденцией.
Сама специфика математического знания, основанная на доказательстве, вытекает непосредственно из юридической области. Аристотель в своем труде под названием «Аналитика» обосновал «доказательство» посредством сформулированной им теории силлогизмов. Теория Аристотеля, впервые обстоятельно систематизировавшего логические формы и правила мышления, широко применялась в судебной практике, когда материалы предварительного следствия брались за истинные посылки. Применяя к этим посылкам процедуры порождения новых утверждений по правилам теории Аристотеля, судьи делали вывод о виновности или невиновности подсудимого.
С астрономией, астрологией и магией.
Со времён античности и до эпохи Нового времени астрология считалась научной дисциплиной, неразрывно связанной с астрономией. Кроме того, обе эти науки были тесно переплетены с математикой. Астрономия занималась наблюдением неба, математика - расчётами движения небесных тел и вычислением данных для гороскопов, а астрология - интерпретацией полученных данных. На протяжении почти двух тысячелетий термины «астроном», «астролог» и «математик» воспринимались почти как синонимичные. В этом плане показательно, что Птолемей назвал свой главный астрономический трактат, где изложена его система мира, «Математическим построением в 13 книгах».
Как заметил А.И. Герцен, «астрономия (как наука) стала существовать с тех пор, как она соединилась с математикой» [6].
Астрономия, астрология и математика были окончательно разграничены лишь в XVII в., когда астрология стала восприниматься как не научная система знаний. Однако ряд разделов математики обязан своим прогрессом нуждам астрологии - это в первую очередь относится к сферической геометрии, тригонометрии, теории логарифмов, а также статистике, поскольку статистическое подтверждение или опровержение астрологических утверждений стало одним из ведущих направлений в современной «науке о звёздах» [1].
С магией, изучающей «тайны тайн», у математики также существует определенная взаимосвязь. Древнейшее еврейское учение «Каббала», о котором неизвестно кто, когда и как его основал, является продуктом развития знаний многих веков и своеобразным религиозно-философским учением, которое рассматривает происхождение и строение Вселенной, место человека в ней и эволюцию души. «Каббала» использует буквы еврейского алфавита, которые рассматриваются как особые символы, каждой из которых приписывается особый атрибут Божества и соответствующее этому число. Эти знаки называются «тридцатью двумя чудесными путями мудрости», которые рассматриваются как условные символы для выражения человеческой мысли и как орудия, употребленные Творцом для создания мира: из них 22 букв еврейского алфавита и первых 10 чисел, из которых можно вывести новые числа, и ряд их будет бесконечен. Но эти десять чисел - не только числа, а нечто большее, так как все в мире может быть измерено числами, то числа становятся сущностью самих вещей. В этом смысле «Каббала» - «математика человеческой мысли, алгебра веры, которая решает задачи души, как уравнения, определяя неизвестные» [1].
С физикой.
«Слеп физик без математики ... Химия – правая рука физики, математика – ее глаз» - отметил М.В. Ломоносов [6]. Действительно, как в математике, так и в физике свод теоретических сведений базируется на доказательстве. Архимед, как первый теоретик механики, в книгах «О равновесии плоских фигур» и «О плавании тел» приводит соответственно доказательства закона рычага и закона Архимеда, которые представляют собой первые мысленные эксперименты в истории механики. Точные математические подсчеты Галилея в совокупности с серией физических экспериментов, лежащие в основе трактата «О движении», указали на ошибочность учения Аристотеля о падении тел, и на неправильность геоцентрической системы мира, выдвинутой Аристотелем и Птолемеем, согласно которой Земля неподвижна, а Солнце и планеты вращаются вокруг Земли.
С эстетикой и живописью.
Как сказал А.С. Пушкин, «вдохновение нужно в геометрии не меньше, чем в поэзии» [6]. Для математического трактата Евклида «Начала» можно ввести понятие «логической эстетики», поскольку в нем логическому изложению подвергаются предметы эстетического созерцания (точка, линия, прямая, площадь круга), так что евклидовское «определение точки» есть именно эстетика, а не математика как «наука о количественных отношениях» [6].
«В математике есть своя красота, как в живописи и поэзии» - писал Н.Е. Жуковский [6]. Действительно, на достижения математики, оптики и анатомии в своих работах опирались лучшие мастера изобразительного искусства эпохи Возрождения, в центре внимания которых учения о пропорциях и перспективах. К примеру, в работах Леонардо да Винчи учение о пропорциях сводится к поискам идеальной меры человеческого тела. Живопись он понимал как универсальный язык, подобный математике в сфере наук, который воплощает посредством пропорций и перспективы все многообразные проявления разумного начала, царящего в природе. В этот период возрождается интерес к «золотому сечению», пропорции которого во многих своих произведениях использовал да Винчи, в частности, во всемирно известных «Тайной вечере» и «Джоконде». Это математическое понятие было возведено в ранг главного художественного принципа как «Золотая Пропорция», которое под влиянием да Винчи входит в широкое употребление в сочинении математика Луки Пачоли «О божественной пропорции», для которого сам Леонардо сделал иллюстрации [11].
Суть учения о перспективах сводится к следующим положениям: художник должен быть неподвижным; художник должен смотреть одним глазом; ось всех возможных лучей зрения должна быть перпендикулярна картинной плоскости. Тогда человеческий глаз служит центром проектирования, а луч зрения, соединяющий его и изображаемую точку, служит для нахождения точки картинной плоскости, которая станет её изображением, в результате чего на плоскости получается реалистичная картинка объёмного мира [11]. Первым художником, воплотившим в своих работах представление о перспективе, был Джотто ди Бонде. До него изображений интерьера на картинах практически не было – действующие лица помещались на фоне строения, хотя подразумевалось, что действие на картине происходит внутри. Чтобы показать зрителю интерьер дома, он убирает ближайшую к зрителю стену строения. Так он показывает и само здание, что обеспечивает не только новаторство (изображение «внутренностей» дома), но и связь с традицией (показ внешнего вида строения). Джотто вынес точку зрения за пределы картины, создал независимое от зрителя пространство, которое перестаёт быть загадочным, ведь по величине предметов можно судить о размерах комнаты, в результате чего стала видна достоверная картина [11].
С графикой.
Математика всегда графична, она сама является частью математики и по своему виду может быть различной. Например, понятия «точка», «угол», «треугольник» могут графически выражаться точкой, углом, треугольником. Но если взять не «вещи», а «отношения», то графика приобретет иной характер. В теории множеств «круги Эйлера» выражают включение, пересечение, исключение, подчинение, соподчинение. Если взять понятие «функция», то ее графика стала возможной благодаря Декарту («декартова система координат»). Высшая алгебра, представленная теорией групп или тензорным исчислением, требует своей графики - графики таблиц, колонок и строк. Векторный анализ без графики просто невозможен, поскольку графика вектора (направление и величина) - это и есть его «математика» [6].
Заметим, что привычная классификация - гуманитарные науки и негуманитарные науки - не единственна. С точки зрения И.М. Яглома, среди всех наук выделяются: во-первых, естественные науки (физика, химия, астрономия, биология, медицина), которые изучают окружающий мир; во-вторых, гуманитарные науки (история, литература, филология, юриспруденция, социология), изучающие человеческое общество. И, в- третьих, отдельную нишу занимают науки математические, для которых свойственно то, что математика изучает саму себя.
Из вышесказанного можно заключить, что даже если математика дает удивительно полезные знания «о природе», то отсюда еще не следует, что математика только для того и существует, чтобы формулировать «законы природы» и производить «технические расчеты»; математика подобна искусству — и не потому, что она представляет собой «искусство вычислять» или «искусство доказывать», а потому, что математика, как и искусство, — это особый способ познания [6].
Существует мнение, что гуманитарная наука страдает дефицитом объективных оценок, а то и пренебрежением к символическому языку и современным технологиям, а естественно-научные науки низводят человека до объекта и пренебрегают его духовной культурой и мировоззрением. Однако гуманитарное не отрицает научное. Очевидно, что нормальное функционирование культуры общества требует гармоничного сочетания в ней объективного и субъективного, рационального и иррационального, однозначного и многозначного, т.е. единства гуманитарного и естественно-научного компонентов [16].
Более того, как считает И.М. Яглом, за последние годы граница между естественными и не естественными науками постепенно стирается, так что про ту или иную область знания в настоящее время зачастую оказывается вовсе не просто сказать, относится ли она к кругу естественных или гуманитарных наук. С одной стороны, подобное «сращивание» естественных наук с гуманитарными стимулируется
математизацией последних, использованием в них дедуктивных методов и математического моделирования, применением многих разделов математики — от элементарной алгебры до топологии. С другой стороны, сближение математики с гуманитарными дисциплинами объясняется гуманизацией математики, проникновением в нее подходов и точек зрения, характерных для наук гуманитарного цикла [17].
Действительно, соглашаясь с В.А. Успенским, никто не знает, сохранят ли грядущие века нынешнее деление наук на естественные и гуманитарные. Но, по мнению ученого, безоговорочное отнесение математики к естественным наукам вызывает серьезные возражения даже сегодня. Естественнонаучная, прежде всего физическая, составляющая математики очевидна, и нередко приходится слышать, что математика — это часть физики, поскольку она описывает свойства внешнего, физического мира. Но с тем же успехом ее можно считать частью психологии, поскольку изучаемые в ней абстракции есть явления нашего мышления и тем самым должны изучаться в психологии. Не менее очевидна и логическая, приближенная к философской, составляющая математики [13].
Принимая во внимание все вышесказанное о том, что много веков понятие «гуманитарный» употреблялось в том же смысле, что и современное понятие «гуманистический», нам, однако, необходимо исходить из современного их толкования, представленного в первом параграфе. Таким образом, мы придерживаемся той точки зрения, что, как и слова «гуманизация» и «гуманитаризация» однокоренные, но имеют разный смысл, так и математика наполнена гуманистическим содержанием, но не относится к циклу гуманитарных наук.
§ 2. Причины возрастания роли математики в гуманитарных науках.
Наука только тогда достигает совершенства, когда ей удается пользоваться математикой.
К. Маркс
Соглашаясь с Н. Винером, что «высшее назначение математики как раз и состоит в том, чтобы находить скрытый порядок в хаосе, который нас окружает» [2. - С. 27], отметим ряд положений, указывающих на возрастающее значение математики в гуманитарных науках на современном этапе развития общества и науки в целом.
1. Решение прикладных задач.
В условиях «информационного взрыва» и «компьютерной революции» важными характеристиками развития науки являются усиление и нарастание сложности и абстрактности научного знания, углубление и расширение процессов математизации и компьютеризации науки. Это обусловлено как успехами в развитии прикладной математики
и вычислительной техники, приведшими к радикальному расширению возможностей интеллектуальной деятельности человека, так и состоянием самой науки, перед которой в конце XX столетия возникли проблемы систематизации, хранения и использования все увеличивающегося объема накопленной информации и совершенствования методов ее выявления, обработки и анализа [3]. В связи с этим П.В. Грес считает, что математика и информатика играют роль связующего звена между естественными и гуманитарными науками.
Математика, став для многих отраслей знаний не только орудием количественного расчета, но также методом точного исследования и средством предельно четкой формулировки понятий и проблем, представляет собой основу фундаментальных исследований в естественных и гуманитарных науках. Без современной математики с ее развитым логическим и вычислительным аппаратом, считает Е.В. Шишкин, был бы невозможен прогресс в различных областях человеческой деятельности. Математические идеи и методы проникают в управление весьма сложными и большими системами разной природы: полетами космических кораблей, отраслями промышленности, работой обширных транспортных систем и других видов деятельности. В математике возникают новые теории в ответ на запросы практики и внутреннего развития самой математики. Приложения различных областей математики стали неотъемлемой частью науки, в том числе: физики, химии, геологии, биологии, медицины, лингвистики, экономики, социологии и др. [8. – С. 694].
На самом деле, сегодня не удивительно не только словосочетание «математическая экономика», но и «математическая лингвистика», «математическая биология», «математическое искусствоведение», «математическое литературоведение», «математическая психология», «математическое правоведение». Эти и другие «гуманитарноматематические гибриды», согласно И.М. Яглому, занимают достаточно большое место в научном багаже ученых-гуманитариев [17]. С точки зрения П.В. Греса, распространение математики вширь сопровождается ее проникновением вглубь, поэтому к наименованию любой дисциплины возможно присоединение эпитета «математический» [3].
2. Универсальный язык науки.
Универсальность математики как инструмента познания была осознана довольно давно и прослеживается до сегодняшнего дня. Если древнегреческим философом Платоном был поставлен вопрос: «Разве ты не заметил, что способный к математике изощрен во всех науках в природе?», то будто отвечал ему уже в эпоху Нового времени естествоиспытатель Г. Галилей: «Математика - это язык, на котором написана книга природы» [6]. В XIX в. литератор Д.И. Писарев признал, что «математика есть лучшее и даже единственное введение в изучение
природы». В XX столетии советский математик А.А. Дородницын отметил, что числа не только управляют миром, как говорили пифагорейцы, но и «дают возможность человеку управлять миром, и в этом нас убеждает весь ход развития науки и техники наших дней» [7].
Действительно, еще недавно ведущая роль математики как науки сводилась именно к вычислениям и обработке количественных данных при изучении того или иного изучаемого процесса. Но в условиях стремительного развития информационных технологий и вычислительной техники понятно, что при всей важности вычислительной функции математики все же не она является главной при попытке объяснить причины проникновения математики во все области современной науки.
Место математики в жизни и в науке определяется тем, что она по - зволяет перевести «общежитейские», интуитивные подходы к действительности, базирующиеся на чисто качественных (а значит, приблизительных) описаниях, на язык точных определений и формул, из которых возможны количественные выводы [3]. По мнению П.В. Греса, главная причина математизации современного мира состоит в том, что математика предлагает весьма общие и достаточно четкие логические модели для изучения окружающей действительности в отличие от менее общих и более расплывчатых моделей, предлагаемых другими науками, которые она на своем особом языке — языке чисел и символов.
Однако это не означает, что математический аппарат вытесняет реальное содержание изучаемых процессов, что математика сводит сущность рассматриваемых явлений к формулам, за которыми не стоит объективная действительность. «Многие полагают, что математику можно свести к правилам формальной логики … Это лишь обманчивая иллюзия» - подчеркивал А. Пуанкаре [7. - С. 390]. Его позицию разделял В. Гейзенберг, отметив, что «математика - это форма, в которой мы выражаем наше понимание природы, но не содержание», и «когда в современной науке переоценивают формальный элемент, совершают ошибку и притом очень важную» [7. - С. 391]. Так, А. Эйнштейн заметил, что «самая блестящая логическая математическая теория не дает сама по себе никакой гарантии истины и может не иметь никакого смысла, если она не проверена наиболее точными наблюдениями, возможными в науке о природе» [7. - С. 391]. Поэтому весьма важно, чтобы количественноматематические методы основывались на качественном, фактическом анализе изучаемого явления.
Таким образом, математика — не набор формул и вычислений, как часто полагают, а универсальный образец рационалистического анализа и построения концепций в любом знании; математика — образец видения предмета исследования, а формализация проблемы, представленная математическим опытом, — важная возможность полного и точного ее видения, часто являющаяся ключом к разрешению [8. – С. 439].