а)

27. Предполагая, что между переменными х и у существует квадратическая зависимость у = а0 + а1х +а2х2, найти параметры этой зависимости, используя метод наименьших квадратов, по следующим опытным данным:

а)

б)

28. Данные о среднесуточной переработке свёклы у ( тыс.ц) в зависимости от основных производственных фондов х ( тыс.руб.) приведены в таблице:

Предполагая, что между этими переменными существует линейная зависимость у=ах+b, найти параметры а и b , используя метод наименьших квадратов. Вычислить для х = 225 отклонение табличного значения у от соответствующего значения функции.

29. Рост продукции (млн руб.) некоторого завода по годам характеризуется следующими данными:

Предполагая, что рост производительности труда следует линейному закону, определить параметры уравнения а и b, используя метод наименьших квадратов.

31. В таблице приведены значения выработки валовой продукции у (руб.) и производственной нагрузки на одного среднегодового работника х (усл.ед.)

32.Себестоимость у (руб.) одного экземпляра книги в зависимости от тиража

х(тыс. экз.) приведены в таблице:

Установить вид связи между рассматриваемыми показателями, найти уравнение связи, используя метод наименьших квадратов.

33. Выпуск продукции на предприятии характеризуется следующими данными:

Необходимо: а) установить вид зависимости выпуска продукции от времени и соответствующее уравнение по методу наименьших квадратов; б) пользуясь найденным уравнением, найти выпуск продукции в 2009 г.

34. В таблице приведены данные о выработке одним рабочим за смену изделий в зависимости от стажа его работы:

Необходимо: установить вид зависимости выработки рабочего за смену от его стажа и найти параметры этой зависимости, используя метод наименьших квадратов.

35. Фактические данные о затратах на рекламу х и спросе на продукцию у приведены в таблице:

найти параметры этой зависимости, пользуясь методом наименьших квадратов.

44

5. ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ В ЭКОНОМИКЕ

5.1. Экономический смысл определённого интеграла. Пусть функция z = f(t) описывает изменение производительности некоторого производства с течением времени. Найдём объём продукции U, произведённой за промежуток времени [0; Т]. Если производительность не изменяется с

есть объём выпускаемой продукции за промежуток [0, T].

Величина и объём продукции, произведённой за промежуток [0, T], численно равны площади под графиком функции Z = f(t), описывающей изменение производительности труда с течением времени, на промежутке [0, T].

Пример 1. Известно, что численность населения определяется формулой y y0ekt , где y0 – число жителей в начальный момент времени. Известно также,

что потребление населением в единицу времени некоторого продукта пропорционально числу жителей. Пусть коэффициент пропорциональности равен q, тогда функция потребления Р(t) будет иметь вид: Р=q y=q∙ y0ekt . Найти объём продукта, необходимого для потребления на промежуток времени [t1, t2].

Решение. В малый промежуток времени dt (dt= t) количество жителей будем считать постоянным, следовательно, за этот элементарный промежуток времени

45

потребляется количество продукта dS = pdt = q· y0ekt dt. Интегрируя это равенство, получим количество S продукта, необходимое для населения на весь промежуток времени от t1 до t2 :

5.2. Восстановление функций экономического анализа по их предельным характеристикам. В зависимости от конкретного смысла функции f(x) (физического, геометрического, экономического) при интегрировании f(x) мы получаем выражение для соответствующего закона, описывающего данный объект. Так, по скорости (t) прямолинейного движения можно восстановить зависимость пути от времени t; по скорости распада радия можно найти закон распада радия и т.д. Характеристики экономических закономерностей также можно восстановить, если известна скорость (интенсивность, плотность) или темп роста (относительная скорость) соответствующего экономического процесса.

Зная предельные издержки производства y = f(x), можно найти издержки производства y = f(x) dx + c (здесь х – объём однородной продукции). Зная

характеризующая изменение производительности труда; х – время, отсчитываемое от начала рабочего дня. Определить объём продукции, произведенной за весь рабочий день.

Решение. Объём произведённой продукции можно рассматривать как сумму объёмов продукции, произведённой за 4 часа работы до обеденного перерыва и за оставшиеся 3 часа работы:

46

Если в функции Кобба – Дугласа считать, что затраты труда есть линейная

Пример 3. Найти объём продукции, произведенной за 4 года, если функция Кобба – Дугласа имеет вид q(t) = 10 (1+t) e3t.

Решение. Применяя формулу интегрирования по частям, получим

Пусть известна функция t = t(x), описывающая изменение затрат времени t на изготовление изделия в зависимости от степени освоения производства, где х – порядковый номер изделия в партии. Тогда среднее время tср, затраченное на изготовление одного изделия в период освоения от х1 до х2 изделий, вычисляется по теореме о среднем:

Функция изменения затрат времени на изготовление изделий t = t (x) обычно имеет вид t = ax-b, где a – затраты времени на первое изделие; b – показатель производственного процесса.

Пример 4. Найти среднее время, затраченное на освоение одного изделия в период освоения от х1 = 100 до х2 = 121 изделий, полагая а = 600 (мин), b = 0,5.

5.3. Определённый интеграл в финансовом анализе

Определение начальной суммы по её конечной величине, полученной через время t (лет) при годовом проценте (процентной ставке) р, называется

47

(начальная) сумма, которую в финансовом анализе называют также современной

Пусть поступающий ежегодно доход изменяется во времени и описывается функцией f(t) при удельной норме процента, равной i, процент начисляется непрерывно. Можно показать, что в этом случае дисконтированный доход К за время Т вычисляется по формуле

Пример 5. Определить дисконтированный доход за три года при процентной ставке 8%, если первоначальные капиталовложения составили 10 млрд руб. и намечается ежегодно увеличивать капиталовложения на 1 млрд руб.

Интегрируя, получим К = 30,5 млрд руб. Это означает, что для получения одинаковой наращенной суммы через три года ежегодные капиталовложения от 10 до 13 млрд руб. равносильны одновременным первоначальным вложениям 30,5 млрд. руб. при той же начисляемой непрерывно процентной ставке.

Рассмотрим задачу нахождения капитала (основных фондов) по известным чистым инвестициям. Чистые инвестиции (капиталовложения) – это общие инвестиции, производимые в экономике в течение определённого промежутка времени (чаще всего – года), за вычетом инвестиций на возмещение выходящих из строя основных фондов (капитала). Таким образом, за единицу времени капитал увеличивается на величину чистых инвестиций.

48

Если капитал обозначить как функцию времени K(t), а чистые инвестиции –

Часто требуется найти приращение капитала за период с момента времени t1 до t2, т.е. величину K = K(t2) – K(t1). Замечая, что K(t) является первообразной для функции I(t) можно сразу записать:

производительность труда рабочего в любой момент времени t, отсчитываемый от начала рабочего дня в часах. Функция f(t) измеряется количеством продукции за час работы. Определить выработку рабочего за третий час работы.

2. Пусть f(t) – нагрузка в киловаттах на трансформаторную подстанцию в любой момент времени t, отсчитываемый в часах от начала суток. Найти расход электроэнергии потребителями за промежуток времени от 0 до 24 часов, если f(t) является непрерывной на этом промежутке.

3. Численность населения в любой момент времени t задаётся функцией y = f(t). Потребление некоторого продукта пропорционально численности населения с коэффициентом пропорциональности k. Считая f(t) непрерывной на рассматриваемом промежутке, найти объём потребления рассматриваемого продукта за первое полугодие второго года с момента начала отсчёта.

4. Пусть f(x)=‒ x2+9x – функция, характеризующая изменение производительности труда; х – отрезок времени, отсчитываемый от начала рабочего дня (0 х 8). Определить объём продукции, производимой во второй час рабочего дня.

магазина, х – время, отсчитываемое от начала суток (0 х 24). Подсчитать, какое количество товара поступает на склад с 12 до 15 часов.

49

6. Определить объём продукции, произведённой рабочим за пятый час рабочего дня, если производительность труда характеризуется функцией

3

f (t) 5. 3t 2

остаётся постоянной. Сколько волокна даёт аппарат в первые сутки после запуска?

9.Подсчитать выпуск продукции за 5 лет, если функция Кобба – Дугласа имеет вид q(t) = e t (t+1) (100-3t).

10.Пусть f(x) = 2x + 7 – количество стиральных машин, поступающих с завода в магазин за время х (в месяцах), отсчитываемое от начала поступления стиральных машин в магазин. Подсчитать среднее количество машин, поступивших в магазин за 4 месяца.

11.Найти среднее значение издержек К(х) = 3х2 + 4х + 2, выраженных в денежных единицах, если объём продукции х меняется от 0 до 3 единиц. Указать объём продукции, при котором издержки принимают среднее значение.

b = 0,2 и номера изделий осваиваемой партии изменяются от х1 = 5 до х2 = 10.

13. В 2002 году в некотором городе проживало 380 000 жителей, а в 2007 году – 402 000. Найти среднюю численность населения в этом городе,

50

ST – численность населения к концу периода.

14.Вычислить дисконтированный доход за 5 лет при условии, что годовой доход – f(t) = 400 000 руб., а удельный процент i = 4%.

15.Найти дисконтированный доход за бесконечный промежуток времени при условии, что f(t) = 50 000, i =5%.

16. Вычислить начальный вклад К, если выплаты должны составлять 100 усл. ед. в течение 4 лет, а процентная ставка равна 7.

17. По заданным чистым инвестициях I(t)=7000 t . Определить приращение капитала за три года.

18. Через сколько лет приращение капитала составит 80 000, если чистые инвестиции равны I(t) = 6 000 t .

потребителями за время от 0 до 24 часов. Провести расчёт при следующих числовых данных: а = 25 тыс.кВт, b = 15 тыс. кВт.

20. Определить объём финансирования на данный момент времени t работ по бурению нефтескважины, если затраты y на бурение каждого метра возрастают с глубиной скважины х по закону y=y0+аx, а скорость проходки скважины убывает со временем по закону - t, где а, и некоторые положительные константы и t – время в днях. Рассчитать необходимые средства финансирования в период с t1 до t2, время, необходимое для проходки скважины глубиной в 1 000 метров, и необходимый для этого объём финансирования работ при y0=150 000,

а=5, =10 и =0,02.

51

21. При строительстве дома затраты труда на возведение каждого следующего метра по сравнению с предыдущим возрастают на 2%. Определить суммарные затраты труда на возведение дома высотой в 60 м, если затраты на возведение первого метра дома составляют 1 000 ед. труда. Найти, за какой период может быть закончено строительство, если в течение дня может быть использовано 1 000 ед. труда.

которых заключена между х и х+1. Определить общую сумму вкладов в сберкассе и среднюю величину вклада, если а=100 и общее число вкладчиков составляет N0 =1 000 человек.

23. Распределение данного числа N0 человек по величине месячного дохода

а =100 руб. Определить среднюю величину месячного дохода.

6. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Дифференциальные уравнения имеют многочисленные приложения в экономике, в изучении закономерностей общественных процессов. Основная сложность их применения состоит в составлении уравнений. Исчерпывающих правил для составления дифференциальных уравнений нет. Рассмотрим некоторые рекомендации.

Составление дифференциального уравнения по условию конкретной задачи включает обычно следующие основные этапы:

а) рассматриваем изучаемый процесс на достаточно малом промежутке его изменения (отрезок времени ∆t, приращение ∆х фактора, определяющего течение процесса) и предполагаем, что на этом промежутке течение процесса подчиняется достаточно простым закономерностям (линейной зависимости, пропорциональности, постоянстве некоторых факторов);

52

б) на выбранном промежутке составляем математическое описание процесса, связывая приращение искомой функции, характеризующей процесс, с другими переменными и постоянными в соответствии с условиями задачи;

в) переходим к пределу, заменяя приращения дифференциалами соответствующих переменных. В результате получаем описание процесса в форме дифференциального уравнения.

6.1. Дифференциальные уравнения в социологических исследованиях.

Предположим, что некоторое сообщение распространяется среди множества N человек. Предполагая, что число встреч для передачи информации за время ∆t пропорционально количеству людей, уже владеющих этой информацией, количеству людей, не владеющих информацией, и промежутку времени ∆t, определить закон распространения сообщения во времени.

Обозначим число людей, владеющих информацией через ∆у. Тогда, согласно условию задачи, число встреч для передачи информации (число людей

График этой кривой экономисты называют логистической. Коэффициент k характеризует скорость передачи информации.

Широкое распространение в социологии имеет также модель процесса непрерывного роста (убывания). Пусть из статистических материалов известно, что число новорождённых за год пропорционально численности населения с коэффициентом пропорциональности k1, а число умерших за год также пропорционально численности населения с коэффициентом пропорциональности k2. Найти формулу, определяющую численность населения

53

в любой момент времени t, если известна численность населения у0 в момент t=0. Предполагается, что не имеет места эмиграция и иммиграция.

Обозначим численность населения в момент времени t через у, тогда по условию задачи число родившихся за единицу времени равно k1у, а число умерших – k2у. Прирост населения за единицу времени выражается разностью k1y – k2y = (k1 – k2) ydt, а за малый промежуток времени dt: dy = (k1 – k2) ydt.

Число k1 – k2 = k называют коэффициентом естественного прироста. Проинтегрировав уравнение, получим:

у = С е k t.

Используя начальное условие у(0) = у0, находим С = у0. Поэтому искомая формула принимает вид: у = у0 е k t. При k > 0 получаем рост численности населения, при k< 0 – убывание, при k = 0 численность населения сохраняется стабильной во времени.

В ряде задач две переменные величины х и время t, участвующие в них, обладают тем общим свойством, что скорость изменения одной из них (х) по отношению к другой (t) пропорциональна наличному количеству величины х в

Решением является показательная функция. Условие задачи должно содержать данные:

1)для определения произвольной постоянной, т.е. значение х0 величины х в момент времени t = t0: x (t0) = x0;

2)для определения коэффициента пропорциональности k.

Уравнение описывает процесс непрерывного роста (при k >0) или непрерывного убывания (при k <0).

6.2. Модель естественного роста выпуска. Будем полагать, что некоторая продукция продаётся по фиксированной цене Р. Обозначим через Q (t) количество продукции, реализованной на момент времени t; тогда на этот момент времени получен доход, равный P∙Q(t). Пусть часть указанного дохода расходуется на инвестиции в производство реализуемой продукции, т.е.

54

где m – норма инвестиции, постоянное число, причём 0< m < 1.

Если исходить из предположения о ненасыщаемости рынка (или о полной реализации производимой продукции), то в результате расширения производства будет получен прирост дохода, часть которого опять будет использована для расширения выпуска продукции. Это приведёт к росту скорости выпуска (акселерации), причём скорость выпуска пропорциональна увеличению инвестиций, т.е.

первого порядка с разделяющимися переменными. Общее решение этого

уравнения (6.3) – решение задачи Коши для этого уравнения:

Данную модель называют моделью естественного роста выпуска.

Усложним условия модели и рассмотрим рост выпуска в условиях конкуренции. Будем полагать, что рынок не насыщается. Пусть P = P (Q) – убывающая функция, т.е. с увеличением объёма продукции на рынке цена на неё падает: dP/dQ < 0. Теперь из формул (6.1) – (6.3) мы получаем нелинейное дифференциальное уравнение первого порядка относительно Q с

где α = m.

Поскольку все сомножители в правой части этого уравнения положительны,

Это равенство можно преобразовать, введя эластичность спроса

Q> 0 и график функции Q(t) имеет направление выпуклости вниз, что означает прогрессирующий рост; при неэластичном спросе, когда Е < 1, Q< 0 – направление выпуклости функции Q(t) вверх, что означает замедленный рост

Q

a

b

E 1

a

2b

E 1

Рисунок 6.1– график логистической кривой

Приведённый на рисунке 6.1 график функции (одной из интегральных кривых дифференциального уравнения) носит название логистической кривой.

56

Аналогичные кривые характеризуют и другие процессы, например размножение бактерий в органической среде обитания, динамику эпидемий внутри ограниченной общности биологических организмов и др.

Пример 1. Пусть изучается некоторый показатель экономического процесса y = f(t) в зависимости от времени. Функция f(t) дифференцируема, требуется

вывести темп изменения функции в данный момент времени Т = yy.

Решение. Данное соотношение является дифференциальным уравнением. При заданном законе изменения темпа во времени, т.е. при T = y(t), оно

Пример 2. Ежедневный уровень выпуска продукции у возрастает со средним темпом роста Т0 = 0,1%. Определить закон изменения уровня выпуска продукции во времени и суммарный выпуск продукции за 1 месяц (25 рабочих дней), если уровень выпуска в начале месяца составляет 200 единиц в день.

Решение. Определим уровень выпуска из соотношения: y = 200 e0,001 t. Тогда объём выпуска продукции за месяц получим, вычислив интеграл:

Пример 3. Пусть эластичность производственной функции y = f(x) относительно переменной х характеризуется соотношением:

x 2x2

Ех(y) = 1 x x2 .

Определить саму функцию, если её график проходит через точку М(1, 2).

Решая данное дифференциальное уравнение, получим: y = с (1 + х – х2). Найдём частное решение:

2 = с (1 + 1 – 1), с = 2;

57

иу = 2 (1 + х – х2).

6.3.Модель рынка с прогнозируемыми ценами. В простых моделях рынка обычно полагают, что спрос и предложение зависят только от текущей цены на товар. Однако в реальных ситуациях они зависят ещё и от тенденции ценообразования, и от темпов изменения цены. В моделях с непрерывными и дифференцируемыми по времени t функциями эти характеристики описываются соответственно первой и второй производными функции цены P(t).

Пусть функции спроса D и предложения S имеют следующие зависимости от цены P и её производных:

Принятые в (6.10) зависимости вполне реалистичны: поясним слагаемые с производными функции цены.

1. Спрос подогревается темпом изменения цены: если темп растёт (P> 0), рынок увеличивает интерес к товару, и наоборот. Быстрый рост цены отпугивает покупателя, поэтому слагаемое с первой производной функции цены входит со знаком минус .

2. Предложение в ещё большей мере усиливается темпом изменения цены, поэтому коэффициент при Р в функции S(t) больше, чем в D(t). Рост цены также увеличивает предложение, поэтому слагаемое, содержащее P , входит в выражение для S(t) со знаком “плюс”.

Требуется установить зависимость цены от времени. Поскольку равновесное состояние рынка характеризуется равенством D = S, приравняем правые части

Соотношение (6.11) представляет линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка относительно функции P(t). Общее решение такого уравнения состоит из суммы какого-либо его частного решения и общего

неоднородного уравнения (6.11) возьмём решение P = Pst – постоянную величину как установившуюся цену. Подстановка в уравнение (6.11) даёт значение Pst = 3.

Таким образом, общее решение уравнения (6.11) имеет вид

означает, что все цены стремятся к установлению с колебаниями около установившейся цены Pst, причём амплитуда этих колебаний затухает со временем.

ЗА Д А Ч И

1.Скорость обесценивания оборудования вследствие его износа пропорциональна его фактической стоимости. Начальная стоимость А0. Какова будет стоимость оборудования по истечении t лет?

2.Производительность труда рабочего в течение смены является функцией времени t. Скорость изменения производительности труда подчиняется закону

y′ = 2at + b, где а и b – заданные постоянные. Найти закон изменения производительности труда во времени, если в момент времени t = 0 она равна у0.

3. Пусть некоторое сообщение распространяется среди 200 студентов, проживающих в общежитии. Предположим, что за 10 минут один студент сообщает информацию пяти студентам. Определить время, за которое: а) половина студентов; б) все студенты будут проинформированы.

график проходит через точку (4; 3).

59

5. Численность населения города на 1 января 2008 г. составляла 600 тыс. человек. Найти численность населения: 1) на 1 января 2010 года, считая, что коэффициент k = 0,002 и не имеет места эмиграция и иммиграция; 2) на 1 января 2010 г., если коэффициент k = -0,001 и в течение каждого года эмигрирует 2% населения.

6. Пусть первоначальная численность некоторой популяции N0. Предположим, что в популяции численности N за малый промежуток времени dt происходит α∙N∙dt рождений и β∙ N∙dt смертей, где α и β – постоянные коэффициенты, характеризующие рождаемость и смертность данной популяции. Составить дифференциальное уравнение процесса. Найдите форму популяционной кривой. Определите, когда популяция вымирает, когда она сохраняет постоянную численность и когда она возрастает.

7. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Линейная алгебра – один из разделов математической науки – имеет очень важное значение для экономистов, значительная часть математических моделей экономических процессов записывается в матричной форме.

Используя матричную запись условия экономической задачи, можно найти её решение с помощью правил всевозможных действий над матрицами (сложение, вычитание, умножение матрицы на число, обращение матрицы, умножение матриц и т.д.).

Приведём пример таких задач, предварительно ознакомившись с некоторыми теоретическими сведениями о матрицах.

7.1. Основные сведения о матрицах. Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Обозначаются матрицы буквами латинского алфавита : A; B; C; K; E. Например

60

7.2. Виды матриц. Матрица, состоящая из одной строки, называется

матрицей строкой:

A = a11 a12 a1n .

1 n

Матрица, состоящая из одного столбца, называется матрицей столбцом:

k11

k 21

K = k31 m 1

.....

k m1 .

Матрица называется квадратной m-го порядка, если число строк этой матрицы равно числу ее столбцов и равно m. Например,

элементы b11, b22, b33, – называются диагональными.

Если все недиагональные элементы квадратной матрицы равны нулю, то матрица называется диагональной.

Если у диагональной матрицы m-го порядка все диагональные элементы равны единице, то матрица называется единичной матрицей m-го порядка. Обозначается единичная матрица буквой Е.

1 0 0 0

Матрица любого размера называется нулевой, если все её элементы равны нулю.

Две матрицы К и В одной размерности, называют равными, если равны их соответствующие элементы, т.е. kij = bij, для любых i=1,2,..,m; j=1,2,..;n.

62

Следствие: общий множитель всех элементов можно вывести за знак матриц. Произведение матрицы А на число нуль есть нулевая матрица, т.е. 0 А=0 (нуль матрица).

2. Сложение матриц

Суммой двух матриц К и В одинакового размера (m n), называется матрица С=К+В, элементы которой cij=кij+bij, где i=1, m ; j=1, n .

Пример 2. Данные о совокупных продажах (в тыс. руб.) некоторого торга в 1-м и 2-м кварталах определённого года, записаны соответственно матрицами

Требуется записать в виде матрицы данные о совокупных продажах (в тыс. руб.) на 1-е полугодие рассматриваемого года.

Решение. Очевидно, искомая матрица Х является суммой двух данных матриц А и В, т.е.

3. Вычитание матриц

Разность двух матриц одинакового размера определяется через операцию сложения матриц и умножения матрицы на число: К-В=К+(-1) В

4. Умножение матриц

Матрицу К можно умножить на матрицу В только в том случае, когда число столбцов матрицы К равно числу строк матрицы В.

63

Пример 4. Предположим, что указанный в предыдущем примере магазин, кроме розничных, осуществляет также продажи оптовые на ярмарке и по линии посылторга. Данные о продажах за 1 день каждого вида товара записаны в таблице.

Требуется подсчитать дневную выручку от продаж (розничной, оптовой, посылторговской) каждого вида по отдельности. Выполнять эти вычисления с помощью матричной алгебры.

Решение. Данные о продажах (в штуках) некоторого магазина за один день запишем в виде матрицы:

45 30 50 А = 38 25 40 ,

20 15 20

где в строках указаны количества (в шт.) товара по видам продаж (розничная, оптовая и посылторговская), а в столбцах – количество (в шт.) по видам товаров (костюм, пальто, платье).

1

Данные о ценах (в тыс. руб.) записаны матрицей-столбцом Р= 2 ,

0,5

элементы которой являются ценами соответственно первого, второго и третьего (костюма, пальто, платья) видов товаров.

Искомые дневные выручки U1, U2, U3 продажи каждого из трёх видов товара можно записать в виде матрицы-столбца U и определить эту матрицу как произведение матриц А и Р следующим образом:

Дневные выручки от продажи первого, второго и третьего видов товара составляют соответственно:130, 108 и 60 (тыс. руб.).

65

Пример 5. Имеется 4 предприятия, выпускающие 3 вида изделий ɣ и использующие при производстве 2 вида сырья. В таблице приведены данные о дневной производительности предприятий по каждому изделию, о затратах сырья на ед. изделия , о числе дней работы каждого предприятия и стоимости ед. сырья каждого вида.

Требуется определить:

1)cуммарную производительность (за весь рабочий период) каждого предприятия по каждому из изделий.

2)количество каждого вида сырья, необходимого на каждом предприятии и для всех четырех предприятий.

3)размеры кредитов, которые необходимо предоставить всем предприятиям на закупку сырья.

Решение. Запишем условие задачи в матричном виде. Пусть матрица А – матрица производительности, В – матрица затрат сырья , матрица С – матрица цен на сырье, Т – матрица времени работы каждого из предприятий

1. Суммарная производительность (за весь рабочий период) каждого предприятия по каждому из изделий будет равна:

66

2. Расход сырья на каждом предприятии найдем из выражения:

Суммарное количество I и II видов сырья по всем предприятиям можно получить, умножив матрицу – строку L = (1 1 1 1) на матрицу D