ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие………..……………………………………………….…………..4

1.Прямая линия на плоскости…………………………………………..….....5

2.Кривые второго порядка………………………………………….………. 10

3.Последовательности в экономических задачах…………..………..….… 17

4.Производная. Предельный анализ………………………………..……… 21

5.Определённый интеграл в экономике…………………………….………45

6.Дифференциальные уравнения………………..…………..…………...….52

7.Линейная алгебра……………………………………………………....…..60

8.Задачи линейного программирования……………………………..……..80

9.Библиографический список………………………………………………..95

3

ПРЕДИСЛОВИЕ

Современное экономическое образование предполагает формирование у студентов экономического мышления, обеспечивающего понимание сущности происходящих экономических процессов. Математика как основа экономической теории и методов принятия решений широко применяется для управления, планирования, прогнозирования, контроля экономическими объектами и процессами.

Одним из важных средств воспитания экономической грамотности на занятиях по математике являются задачи, фабулы которых связаны с производственной и другими видами экономической деятельности.

Использование математического аппарата во взаимосвязи с конкретными экономическими проблемами, а также использование знаний организации информационных процессов обработки экономической информации позволяет: повысить восприятие студентами информационного содержания экономических понятий; сформировать навыки, умения решений экономических задач; развить элементы экономического мышления на основе математического аппарата и информационных технологий обработки экономической информации.

Решению этих задач и способствует данное пособие, которое содержит краткие пояснения к изучению теоретического материала, примеры решения задач, задачи для самостоятельной работы. В каждом разделе представлены решения задач с экономическим содержанием; приведена обширная подборка упражнений для практических занятий. Коллектив авторов систематизировал экономические задачи, иллюстрирующие математические разделы. Ряд задач имеют оригинальное авторское содержание.

Учебное пособие соответствует федеральному государственному образовательному стандарту высшего профессионального образования третьего поколения для экономических направлений и специальностей. Рассчитано на широкую экономическую аудиторию — студентов, аспирантов, преподавателей, научных сотрудников. Может быть использовано в различных формах обучения по программам высшего экономического образования: очной, заочной и дистанционной.

4

1.ПРЯМАЯ ЛИНИЯ НА ПЛОСКОСТИ

1.1.Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Уравнение прямой y=kx+b и её график могут быть использованы для описания экономических зависимостей в том случае, когда между переменными имеет место отношение пропорциональности.

Пример 1. Определить линейную зависимость y = kx + b между полными издержками производства предприятия, изготавливающего однородную продукцию, и объёмом производства, если:

- постоянные издержки (например, затраты на содержание административных

-переменные издержки (например, материальные затраты) пропорциональны

скоэффициентом k объёму х изготавливаемой продукции.

Записать эту функцию для b = 4 (млн руб.) и k = 0,5 (млн руб. на одну единицу продукции).

Решение. В данном случае между полными издержками y некоторого производства и количеством x произведённой продукции имеет место линейная зависимость вида: y = kx + b , где k – удельные переменные издержки (издержки на одну условную единицу продукции) , а b – постоянные издержки производства.

В случае b = 4 (млн руб.) и k = 0,5 (млн на одну условную единицу продукции) имеем уравнение y = 0,5 x + 4.

1.2. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении

Уравнение прямой y – y0 = k (x – x0) применяется для описания такой экономической зависимости между переменными x и y, когда в некоторый момент х0 переменная y принимает значение y0, а в последующие (предыдущие) моменты она изменяется равномерно с заданной скоростью, определяемой угловым коэффициентом k.

Пример 2. Весь объём основных фондов предприятия в 2001 году вырос на 6% по сравнению с объёмом 2000 года. Начиная с 2002 года в течение последующих пяти лет прирост основных фондов составлял 7% ежегодно. Записать формулу роста основных фондов в течение пятилетки.

5

Подставив в найденную формулу y = 0,7x + 2 значение х = 7, подсчитаем издержки : у = 0,7 7 + 2 = 6,9 (млн руб.) по производству 7 условных единиц продукции.

1.4. Точка пересечения двух прямых. Пусть две прямые заданы уравнениями l1 : y = k1 x + b1 и l2 : y = k2x + b2. Тогда точка пересечения А(x0; y0) этих прямых находится из решения системы уравнений

Пример 4. Полные издержки по производству х единиц продукции на двух

4

2

Рисунок 1.2 Графики прямых l1 : y = 0,7x + 2 и l2 : y = 0,5x + 4

Найдём координаты точки их пересечения, решив следующую систему

7

Следовательно, точка А пересечения прямых имеет координаты х =10 и у = 9. Это значит, что полные издержки производства продукции объёма х = 10 усл.ед. на обоих предприятиях одинаковы и составляют 9 млн руб.

Из чертежа видно, что при объёме х > 10 усл.ед. более экономичным

1.5. Расстояние от точки до прямой. Как правило, такого рода задачи используются для нахождения наикратчайшего расстояния между объектами, что связано с минимизацией транспортных расходов. Расстояние от точки

Пример 5. Между пунктами А (5,5) и В (8,4) (на плане местности размеры даны в километрах) проложен прямолинейно провод телефонной связи. Необходимо подключить к этому проводу пункт С (2,1) по кратчайшему расстоянию. Найти точку подключения (D) и длину необходимого для этого провода.

Решение. Наикратчайшим расстоянием от пункта С (2,1) до прямой АВ является длина перпендикуляра СD, опущенного на АВ из точки С. Следовательно, необходимо найти уравнение прямой СD, перпендикулярной АВ и установить длину искомого отрезка. Составим уравнение прямой АВ.

прямой CD kCD = 3.

CD: 3 (х – 2) = (у – 1); 3х – у – 5 = 0.

Найдём координаты точки D.

телефонному проводу будет иметь координаты (3,5; 5,5) на плане местности, а длина требующегося провода составит 4,7 км.

ЗА Д А Ч И

1.По определению, рентабельность (R) основных средств предприятия есть отношение прибыли (у) данного предприятия к средней стоимости основных

средств (х) R xy . Составить аналитические зависимости между прибылью и

средней стоимостью основных средств предприятия при фиксированных значениях коэффициентов рентабельности R1 = 0,05; R2 = 0,1; R3= 0,15 и построить их графики.

2.Начальная урожайность некоторого сорта зерна составляет 12 ц с гектара. Применение интенсивной технологии (в ближайшие годы) предполагает ежегодное повышение урожайности на 2 ц с гектара. Записать формулу роста урожайности. Вычислить урожайность для пятого года применения этой технологии.

3.Полные издержки по производству 100 штук некоторого товара составляют 300 тыс. рублей, а 500 штук – 600 тыс. рублей. Составить функцию издержек производства, считая её линейной. Определить издержки по производству 400 штук товара.

4.Для некоторого вида транспорта полные расходы по перевозке груза на расстояние 10 км составляют 500 рублей, а на расстояние 30 км – 1 000 рублей. Составить функцию полных расходов по перевозке груза, считая её линейной. Определить расходы по перевозке на расстояние 20 км.

5.Здание магазина было введено в эксплуатацию 15 лет тому назад. В данное время стоимость здания магазина оценивается в 280 млн рублей. Составить уравнение изменения стоимости здания, если известно, что ежегодный его износ составлял 4 млн рублей. Построить график.

6.Месячный запас горючего – 180 т, ежедневный расход – 5 т. Составить формулу для определения запаса горючего по дням и построить график. Как

9

изменятся формула и график, если в первую декаду расходуют по 3 т в день, во вторую декаду – по 6 т, в третью декаду – по 5 т в день.

7. Полные расходы по перевозке груза двумя видами транспорта выражаются

Найти значение расстояния, при котором более экономичным становится второй вид транспорта.

8.На некотором предприятии постоянные издержки (не зависящие от объёма производства: амортизация здания, отопление, охрана и т.п.) а0 = 4 млн руб; переменные издержки (пропорциональные объёму производства: сырьё, сдельная зарплата и т.п.) а1 = 0,005 млн руб на одну единицу продукции. Для второго предприятия, выпускающего ту же продукцию: а0 = 3 млн руб и а1 = 0,007 млн руб. Какие заказы (количества продукции) выгоднее размещать на первом, какие – на втором предприятии?

9.Нужно восстановить границы квадратного участка земли по трём сохранившимся столбам: одному – в центре участка и по одному на противоположных границах. На плане положение столбов определено координатами: среднего – М (1,6), и двух граничных – А(5,9) и В (3,0). Составить уравнения прямых, изображающих искомые границы.

10.Зная, что объём производства у связан с производительностью труда х

линейной зависимостью, определить эту зависимость, если известно, что при

х= 3, у = 185; при х = 5, у = 305. Определить объём производства при х = 20.

11.Пусть имеется запас некоторого сырья, составляющий В т, которого должно хватить на А дней. Расход должен быть равномерным, т.е. ежедневно расходуется одинаковое количество сырья. Составить уравнение, выражающее зависимость израсходованного сырья у от количества прошедших дней х.

Построить график при А = 10; В = 5. Определить, каков остаток сырья через три дня, если А = 5; В = 15.

2. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА

2.1. Окружность. Каноническое уравнение окружности имеет вид: (х – х0)2 + (у – у0)2 = R2, где А (х0, у0) – центр окружности, R – радиус.

10

Пример 1. Два предприятия А и В, расстояние между которыми равно 200 км, производят некоторое изделие, заводская цена р которого одна и та же для обоих предприятий. Транспортные расходы на перевозку единицы изделия от предприятия А до потребителя Р составляют 9 руб./км, а от предприятия В – 3 руб./км. Как следует разделить рынок сбыта, чтобы расходы потребителей были одинаковыми. Какому потребителю, изделия какого предприятия выгоднее покупать?

Решение. Выберем прямоугольную систему координат, поместив начало координат в середине отрезка АВ и направив оси координат по лучу АВ и перпендикуляру к нему (рисунок 2.1). Определим геометрическое место точек, в которых расходы потребителей на приобретение продукции предприятий А и В будут одинаковыми. Пусть потребитель находится в точке Р (х,у). Обозначим расстояния: |АР | = S1 (км), | ВР | = S2 (км).

y

Преобразуем это уравнение, разделив сначала обе части его на число 8 и

Для потребителей, находящихся на этой окружности, 3S1 = S2, следовательно, р + 9S1 = p + 3S2, поэтому расходы на приобретение изделия как одного, так и другого предприятия, одинаковы. Для потребителей, находящихся

находящихся вне этого круга, ниже расходы на приобретение изделий предприятия В.

Следовательно, рынок сбыта можно выгодно (экономично) поделить так: а) потребителям, находящимся на окружности, безразлично, изделия какого предприятия (А или В) покупать; б) потребители, находящиеся внутри указанного круга, покупают изделия предприятия А; в) потребители, находящиеся вне круга, покупают изделия предприятия В.

Каноническое уравнение дробно-линейной функции

m y y0 x x0

задаёт равнобочную гиперболу, с асимптотами х = х0 и у = у0.

Пример 2. Зависимость уровня потребления у некоторого вида товаров от уровня дохода семьи х выражается формулой у = 6 ‒ x1449 . Построить график

этой зависимости, произвести экономический анализ, вычислить уровень потребления при х=158.

12

В “новой” системе координат X/O/Y/, начало которой есть точка O/(-9;6), построим равнобочную гиперболу. Ее асимптотами служат оси О/X/ и O/Y/. Т.к. m = ‒ 144<0, ветви гиперболы расположены во втором и четвертом квадрантах.

Вершинами гиперболы в “новой” системе координат будут точки A(- m; m)

A/( m;m) .

квадрантах, а их вершинами будут точки ( m; m ) и (- m;m) в “новой” системе координат.

При построении гиперболы полезно знать точки пересечения с осями ОХ и ОУ. Найдем их: х=0, у=‒ 10; х=15, у=0. Следовательно, искомая линия пересекает старые оси координат в точках В (0; ‒ 10), С (15; 0).

Уровень потребления обращается в 0 при некотором критическом уровне

которая удовлетворяет условию х>15.

По графику (рисунок 2.2 ) видим, что при росте дохода предельное потребление будет стремиться к значению у=6, т.е. с ростом дохода уровень потребления стабилизируется.

Найдем уровень потребления при х=158, у≈5,13.

13

15 Х

-10

Пример 4. Пусть в момент t = 0 началось производство определённого типа машин, которые раньше не производились. Допустим, что выпуск машин происходит равномерно, стоимость годового объёма выпуска их составляет 5 млн рублей, а срок эксплуатации машин равен 10 годам. Определить стоимость всех машин этого типа на конец t-го года. Подсчитать эту стоимость на конец 4-го года.

14

Решение. Стоимость всех машин указанного типа в t-м году без учёта износа составляет 5 · 106 · t (руб.). Однако вследствие износа фактическая стоимость их будет значительно меньше. Среди всех действующих к моменту t машин имеются такие, которые поступили в начале интервала времени (0, t), а также такие, которые поступили только что.

Поскольку поступление машин происходило равномерно, то средний возраст

действующую машину накапливается равномерно. Ввиду 10-летнего срока эксплуатации в данном примере ежегодное накопление составляет 10% (одну десятую часть) стоимости машины.

Ежегодные амортизационные накопления на все машины, действующие к

Вычитая эту сумму из стоимости без учета износа, получим фактическую стоимость всех машин на конец t – го года, т.е. искомая стоимость составляет: y = 5 · 106 · t - 25 · 104 · t2 (руб.). Это целая рациональная функция

ЗА Д А Ч И

1.Два предприятия, отстоящие одно от другого на 100 км, производят некоторое изделие, причём заводская цена изделия на обоих предприятиях одинакова и равняется р (руб.). Пусть транспортные расходы на перевозку единицы изделия от предприятия А до потребителя составляют 9 руб./км, а от предприятия В – 3 руб/км. Как будет разделён рынок сбыта, если расходы потребителей должны быть одинаковыми? Какому потребителю изделия какого предприятия выгоднее покупать?

15

2.Торфоразработки А и В, расстояние между которыми 300 км, отпускают торф по одинаковой цене. Транспортные расходы на 1 км из А в два раза больше, чем из В. Определить границу района, в котором более выгодно получать торф из А.

3.В семье один работник и х иждивенцев. Средний размер заработной платы

работника составляет А (усл.ед. в месяц). Записать формулу у = у (х) для определения месячного дохода на одного члена этой семьи. Указать область определения и построить график функции у = у (х), считая А = 5 условных единиц.

4. В условиях задачи 3 записать формулу у = у (х) для определения среднего дохода на одного члена этой семьи с учётом среднего дохода на душу населения по другим видам выплат и выдач (бесплатное обучение и медицинское обслуживание, льготные путевки, выплаты соцстраха и т.д.), которые составляют В руб. в месяц на душу населения. Указать область определения и построить график функции у = у (х), считая А = 5 (ден.ед.) и

В = 0,5 (ден.ед.).

5. Расстояние между двумя угольными бассейнами равно 200 км. Себестоимость одной тонны угля в бассейне А равна 100 000 руб., в В – 92 000. Транспортные расходы одной тонны угля на 1 км для обоих бассейнов одинаковы и равны 100 руб. Определить границу районов, в которых снабжение углём каждого из этих бассейнов будет более экономичным.

6. Пусть в момент t = 0 началось производство определённого типа машин, которые раньше не производились. Допустим, что выпуск машин происходит равномерно, стоимость годового объёма продукции – 1 млн руб., а срок эксплуатации машин равен 10 годам. Определить стоимость машинного парка на конец t-го года. Подсчитать эту стоимость на конец 4-го года.

7. Решить задачу 6, считая стоимость годового объёма продукции равной

10млн руб.

8.Продолжительность выполнения работы у (мин) при повторяемых операциях есть величина обратно пропорциональная числу х (штук) этих

16