Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Хабаровский государственный университет экономики и права

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

5667.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.11.2022

Размер:

2.92 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 86 7 8 > Следующая >>>

sin x5

х14

х24

n х10n 4

( 1)

при x

(2n 1)!

Пример 35. Разложим в ряд Маклорена функцию

x2 ln(1

)

f (x)

и найдём область сходимости полученного ряда. Воспользуемся разложением (48). Так как

		ln(1		x) x				х2			х3		( 1)	n 1	хn			,		х	1, 1 ,
		ln(1		x) x			2		3				( 1)			n		,		х	1, 1 ,
							2		3							n
						2						3						n
					x	2				x		3	1 n 1				x	n
																				1		х 1, т.е.
то ln 1	x		x																,

				2					3								n
				2					3								n

х0, 1 . Следовательно,

											х2			2	х2			3		n 1 хn			n
	2						2						х				х					х
х	2	ln 1		х		х	2			х			х				х		( 1)			х
х		ln 1		х		х				х		2				3			( 1)		n
												2				3					n
					2			n
					2		2
		( 1)	n	1		х	2		при х			0, 1 .
			n	1		х
						n
	n	0				n
	n	0

6.Упражнения и вопросы для самоконтроля

1.Разложить следующие функции в ряд Тейлора по степеням двучлена x x0 при указанном x0 и найти области сходимости полученных

рядов:

1.1)

5x4

3x2

, x

2 ; 1.2)

4x4 9,

, x

1.3)

cos x ,

;

1.4)

1.5)

ln 5x

3 , x0

1.6)

2 ;

1.7)

e5x , x

1.8)

, x0

5 x

1.9)

f x

2 ;

1.10) f x

, x0

1 2

2x 3

2. Разложить следующие функции в ряд Маклорена и найти область сходимости полученных рядов.

2.1)

x 2

2.2)

;

2.3)

sin2 x ;

2.4)

cos x2 ;

2.6)

;

2.5)

ln x

2 ;

2.7)

5 1

x ;

2.8)

;

2.9)

cos x ;

2.10)

f x

sin

3.Когда говорят, что функция разлагается в степенной ряд?

4.Если функция f x , разлагаясь в степенной ряд в некотором про-

межутке	R, R , имеет вид f x a	a x	a	2	x2	a x3	a	n	xn	,
	0	1		2		3		n

то как выглядят коэффициенты an ? Единственно ли подобное разложение?

5.	Если функция f x , разлагаясь в степенной ряд в некотором про-
межутке	x0 R, x0	R , имеет вид
	f x a0	a1 x x0 a2 x x0 2	an x x0 n

то как выглядят коэффициенты an ? Единственно ли подобное разложение?

6.Какой ряд называется рядом Маклорена?

7.Для каких функций можно образовать ряд Маклорена?

8.Как выглядят коэффициенты Маклорена?

9.К какому типу степенных рядов относится ряд Маклорена?

10.Какой ряд называется рядом Тейлора?

11.Как выглядят коэффициенты Тейлора?

12.К какому типу степенных рядов относится ряд Тейлора?

13.Изменится ли название рядов Маклорена и Тейлора, если функция, задающая коэффициенты для этих рядов, не будет являться их суммой?

14.При каких x0 ряд Тейлора преобразуется в ряд Маклорена?

15.Сходится ли ряд Тейлора где-нибудь помимо точки x0 ?

16.Если ряд Тейлора сходится на некотором промежутке, то будет ли функция f x , с помощью которой вычислены коэффициенты ряда, его

суммой?

17.Как выглядит формула Тейлора?

18.Для каких функций справедлива формула Тейлора?

19.Запишите остаточный член формулы Тейлора в форме Лагранжа.

20.Что представляет собой многочлен (полином) Тейлора?

21.Как можно записать формулу Тейлора с помощью n 1 -й ча-

стичной суммы Sn 1 xряда Тейлора?

22. Остаточный член rn* xв формуле Тейлора для функции f xи остаток ряда Тейлора этой функции – это одно и то же?

23.Следует ли из сходимости ряда Тейлора, составленного по функции f x , его сходимость именно к этой функции?

24.Когда ряд Тейлора, составленный по функции f x , сходится на

промежутке x0 R, x0 Rи имеет своей суммой эту функцию?

25.Как формулируется достаточный признак сходимости ряда Тейлора к своей функции?

26.Как выглядит формула разложения в ряд Маклорена функции

ex ?

27.Как выглядит формула разложения в ряд Маклорена функции

sin x ?

28.Как выглядит формула разложения в ряд Маклорена функции

cos x ?

29.Как выглядит формула разложения в ряд Маклорена функции

ln 1 x ?

30.Как выглядит формула разложения в ряд Маклорена функции

arcsin x ?

31.Как выглядит формула разложения в ряд Маклорена функции

arctgx ?

32.Как выглядит формула разложения в ряд Маклорена функции

1x ?

33.Как будет выглядеть разложение функции 1 xв ряд Макло-

рена при	1	?

3 34. Как называется ряд, получающийся при разложении в ряд Мак-

лорена функции 1 x ? Почему?

35.Как выглядит формула разложения в ряд Маклорена функции

11 x ?

7.Применение степенных рядов в приближённых вычислениях

Представление функции степенным рядом полезно не только в теоретическом плане для изучения её различных свойств, но и в приближённых вычислениях. С помощью рядов составлены известные читателю таблицы логарифмов и значений тригонометрических функций. В дальнейшем читатель познакомится и с таблицей значений некоторых функций, применяемых в теории вероятностей. Однако теория рядов не исчерпывается вычислениями значений функций. При помощи рядов вычисляются определённые интегралы, а также находятся решения дифференциальных уравнений. В этом пункте на некоторых примерах будет показано, как это делается.

Остановимся сначала на приближённом вычислении значений функ-

ции. Если степенной ряд an xn в некотором промежутке имеет своей

n 0

суммой функцию f x , то для любого числа x из этого промежутка имеется точное представление

f x a	a x	a	2	x2	a x3	a	n	xn	,	(53)
0	1		2		3		n

причём это будет ряд Маклорена этой функции ( см. параграф 5). Для приближённого значения f x1 в точке x1 этого промежутка естественно пользоваться приближённой формулой

Sn 1 x1 ,

(54)

где S

a x

a x3

– n

1 -я частичная сум-

ма ряда (53). В силу равенства (53) при вычислении по формуле (54) может быть достигнута любая степень точности. Равенство (54) тем точнее, чем

больше n .	Если вычисление надо провести с заданной точностью	0, то
при малом	возможно, что потребуется брать частичную сумму с очень

большим номером n . Из-за большого числа слагаемых формула (54) станет мало удобной. Следует помнить также о том, что общая погрешность вычислений будет накапливаться ещё и за счёт того, что часто придётся вычислять приближённо члены самой частичной суммы Sn 1 x1 .

Возникает вопрос, как оценить погрешность формулы (54). Абсолютная погрешность приближённого равенства (54) равна модулю остатка ряда:

rn 1 x1

f x1

Sn 1 x1

где r

xn 1

. Таким образом, ошибку можно

n 1

найти, оценив остаток ряда. Это просто сделать для знакочередующегося ряда. В этом случае ошибка по абсолютной величине меньше модуля первого отброшенного члена (см. [7], параграф 8). В общем случае приходится подыскивать мажорантный ряд для остатка, причём такой, чтобы его сумма легко вычислялась.

Согласно (41) имеем, что

где в случае формулы Маклорена

r* x

f n

Θx

1, 0

Θ 1.

(55)

1 !

Пример 36. Требуется вычислить число

Эйлера e с точностью

0,001. Для этого воспользуемся рядом Маклорена (45) для ex . Поло-

жив в нём x 1, получим

1 1

(56)

или

rn 1

1 .

По условию задачи надо выбрать такое n , чтобы выполнялось неравенство

r		1		0,001 или							r* 1						0,001. Воспользуемся вторым неравенством.
n 1											n
			Так как f			n			1			x			ex , то согласно (55) при x																			1 имеем
																r		*		1				eΘ			, 0			Θ		1.
																r				1							, 0			Θ		1.
																	n						n		1 !
																							n		1 !
Поскольку					1	1	,			1			1				,		1			1			, … ,				1			1	, … , то из формулы (56)
Поскольку					2! 2		,		3!			22					,	4!				23			, … ,				n!		2n 1		, … , то из формулы (56)
					2! 2				3!			22						4!				23							n!		2n 1
имеем следующую оценку для e :
																						1								1
														e		2						1				2				2			3 .
																														2
																					n	1 2			n			1		1
																									n					1
																																2
																																2
Таким образом,						r* 1										3					.


							n							n				1 !
														n				1 !
			Потребуем выполнения неравенства																													3		0,001. Отсюда и полу-

																														n		1 !
																														n		1 !
чим			нужный			номер n .														Нетрудно								проверить,						что		если n 6 ,		то
r	* 1		3		1			0,001. Следовательно,


6			7!	1680
			7!	1680
	e		2	1	1		1					1				1				2		1			1			1				1		1	2	517	2,718	,

				2!	3!		4!					5!				6!						2			6			24		120				720		720
				2!	3!		4!					5!				6!						2			6			24		120				720		720
т.е. e			2,718.

Пример 37. Вычислим приближённо cos18 . Так как 18 в радиан-


ной мере равно числу				, то из формулы (47) разложения функции cos x в
ной мере равно числу		10		, то из формулы (47) разложения функции cos x в
ряд Маклорена при x					имеем
ряд Маклорена при x			10		имеем
				1		2	1	4	1		6
cos		1		1			1		1		.

	10			2!		10	4!	10	6!	10

Выясним, с какой точностью будет найдено значение cos18 , если в частичной сумме последнего ряда сохраним только три члена. Так как этот ряд является числовым рядом лейбницевского типа, то остаток по абсолютной величине будет меньше модуля четвёртого члена, т.е.

													rn						1						6
																									6
																								.
														1
														1		10				6!		10
Если взять					3,141593 с точностью 0,000 001,																						то получим, что ошибка
будет меньше 0,000 001. Таким образом, с точностью																												0,000 001
						cos18							1				2	1							4
									1				1					1							0,951058.

													2!	10				4!			10
													2!	10				4!			10
			Пример 38. Вычислим 3															с точностью									0,0001. Сначала пре-
			Пример 38. Вычислим 3												130			с точностью									0,0001. Сначала пре-
образуем это число следующим образом:

																					1						0,04 13 .
					3				3 53								3 1
							130						5			5									5 1
							130						5			5					25				5 1
																					25
Для нахождения величины													1		0,04 13 воспользуемся формулой (51) раз-
ложения функции								1 x			в биномиальный ряд. Положив в ней x																			0,04 и
		1	, получим
			, получим
	3
	0,04 13				1				1					1			1								1		2	5
												3		3			1		0,04 2							3	3.	3	0,04 3
1				1				0,04				3		3												3	3.	3			;
1				1				0,04																							;
					3									2!													3!
тогда 5 1				0,04 13				5		1		0,2				1	0,008						5		0,000 32			. Ряд,		стоящий
тогда 5 1				0,04 13				5	3			0,2				9	0,008				81				0,000 32			. Ряд,		стоящий
									3							9					81

справа в последнем равенстве, является рядом Лейбница. Его четвёртый

член меньше числа 0,000 02 , которое меньше 0,0001; поэтому и остаток

этого ряда меньше заданного				0,0001. Следовательно,
3			1		1		5,065 7 .
	130	5		0,2		0,008
			3		9

В разобранных примерах встретившиеся числовые ряды сходились достаточно быстро. Могут получиться ситуации, когда применяемые ряды сходятся медленно к своей сумме. Рассмотрим два таких случая, поставив задачи приближённо вычислить числа ln2 и .

Для вычисления ln2 попытаемся воспользоваться равенством (48).

Ряд, участвующий в нём, сходится на полуотрезке					0,1 . Положив в этом
равенстве x 1, получим формулу
ln 2 1	1	1	1	,	(57)

	2	3	4
	2	3	4

которая для фактического вычисления числа ln2 мало удобна ввиду очень медленной сходимости участвующего в ней ряда. Действительно, потребу-

ем, чтобы число ln2 было вычислено с точностью

0,0001. Так как ряд

(57) есть ряд Лейбница, то

rn 1 1

. Если потребовать, чтобы выпол-

нялось неравенство

0,0001, то получится требуемая точность . Из

n 1

последнего неравенства следует, что номер n должен удовлетворять неравенству n 9 999 . Это означает, что для вычисления ln2 с такой точностью надо взять частичную сумму ряда (57), состоящую из 9 999 слагаемых, что неразумно. Надо учитывать и то, что члены этих слагаемых надо будет округлять.

Теперь обратимся к приближённому вычислению числа . Воспользуемся формулой (50) разложения функции arctgx в ряд Маклорена, спра-

ведливой на отрезке 1,1 .	Так как arctg1						, то из этой формулы при
ведливой на отрезке 1,1 .	Так как arctg1					4	, то из этой формулы при
x 1 получим равенство
	1	1	1	1	1	,

4		3	5	7	9
4		3	5	7	9

которое для вычисления снова непригодно из-за очень медленной сходимости числового знакочередующегося ряда, стоящего в его правой части.

Проведённые рассуждения показывают, что в случае сходящегося ряда (53) приближённое вычисление его суммы f xтребует существенной вычислительной работы. Поэтому надо стараться найти другие, более

быстро сходящиеся ряды, с той же суммой												f x	. Поясним сказанное, снова
постараясь найти приближённо ln2 и .
Сначала обратимся к вычислению числа													. Если в формуле (50) по-
ложим x	1		arctg		1			, то получим равенство
							6
	3				3
	3				3
		1		1	1	1	1		1	1	1	1	1	1	1

	6				3	3	5		32	7	33	9	34	11	35
	6	3			3	3	5		32	7	33	9	34	11	35

со знакочередующимся рядом лейбницевского типа, стоящим в скобках. Этот ряд, очевидно, сходится более быстро, чем ранее полученный ряд для

4 . Оставив в этом ряде шесть членов, получим

		5 7	9 11 33	7	9 11 33			5 9 11 32		5 7 11 3	5 7	9
2	3 1	5 7	9 11 33	7	9 11 33			5 9 11 32		5 7 11 3	5 7	9
2	3 1					5	7	9 11 35
						5	7	9 11 35
						78 459
			2	3 1		78 459			3,14132


						841995

( 3 1,732 05 с точностью 0,000 001). Точность приближённого равенства

3,14132 достаточно хорошая, ибо						3,14159..., т.е. ошибка при таком
вычислении менее 0,000 3.
Перейдём теперь к вычислению ln2 ,								применив более быстро сходя-
щийся ряд. Заменив в (48) аргумент x на								x , получим равенство
				x2		x3				x4
ln 1		x	x								,
ln 1		x	x	2		3		4			,
				2		3		4
верное на интервале 1,1 . Вычитая его из (48), получим формулу
ln	1	x	2 x		x3		x5
									.
	1	x		3				5	.
	1	x		3				5

Возьмём в этом равенстве				x	1			, где N		– натуральное число. Так как

					2N	1
					1	1
		1		x						N 1
							2N		1			,
							2N		1

		1		x	1		1			N
		1		x			1			N
							2N		1
							2N		1
то придём к равенству
ln	N 1	2		1		1						1	.
ln	N	2	2N 1			3 2N 1 3					5 2N 1 5		.
	N		2N 1			3 2N 1 3					5 2N 1 5

Выписанный здесь ряд сходится довольно быстро. Последнее равенство запишем в виде

ln N 1 ln N	2	2				2	,	(58)

	2N 1	3 2N 1 3			5 2N 1 5
	2N 1	3 2N 1 3			5 2N 1 5
который позволяет находить при любом натуральном N число ln N								1 ,
зная ln N .
В частности, при N 1 получим ln 2			2	2		2	2	.

			3	81		1 215	15 309
			3	81		1 215	15 309
Ограничимся приближением к ln2 частичной суммой S4							и ведя округле-

ние слагаемых до 0,000 01. Отбросив последний знак как сомнительный, получим ln2 0,6931. Можно было бы дать и оценку величины ln2 S4 , мажорируя остаток некоторым геометрическим рядом.

Полагая в (58) N 2 , N 3 и т.д., с учётом предыдущих вычисленных значений по этой рекуррентной формуле можно найти последующие значения логарифмов чисел N . Например, при N 2 получим равенство

ln3 ln 2	2	2	2	,

	5	375	15 625

из которого следует, что ln3	1,098 5. Так можно было бы найти ln4 через
значение ln3. Для вычисления ln4 поступим проще:
ln 4 ln 22	2ln 2	2	0,693 1 1,386 2 .

Далее по значению ln4 найдётся согласно (58) число ln5: ln5 1,609 3. Теперь перейдём к приложению степенных рядов к вычислению

определённых интегралов. Возможность интегрирования обосновывается

теоремой 13. Интегрирование ряда по некоторому отрезку a, bпровести очень просто, так как слагаемые состоят из степенных функций 1, x , x2 ,

x3 , … с коэффициентами при них.

Такое интегрирование оказывается особенно полезным, если первообразная подинтегральной функции не выражается в конечном виде через элементарные функции и, следовательно, формула Ньютона – Лейбница

неприменима. К

таким функциям

относятся e x 2 ,

sin x

cos x

e x

x n

n 1, 2, ... , sin x2

, cos x2

и др.

a sin x

dx . Воспользовавшись фор-

Пример 39. Вычислим интеграл

мулой (46) разложения функции sin x в ряд Маклорена, получим

sin x

при этом выписанный ряд сходится на всей числовой оси. Проинтегрируем последнее равенство почленно:

a sin x				x3		x5		x7		a	a3		a5		a7
										a

		dx	x							a						.
0	x	dx	x	3	3!	5	5!	7	7!	a	18	600		35 280		.
	x			3	3!	5	5!	7	7!	0	18	600		35 280

Сумма последнего ряда при любом a может быть вычислена с любой степенью точности.

Например, при a 1 имеем

1 sin x		dx 1	1	1	0,94611.

0	x		18	600

Погрешность будет меньше модуля первого отброшенного члена ряда, т.е.

меньше	1	0,000 028.
	35 280

Приведём ещё один пример на интегрирование с помощью ряда, связанный с вычислением значений функции Лапласа (интеграла

вероятностей)

	1		x	t 2
			x	2 dt ,	(59)
x			e


	2
	2	0
		0

имеющей большое значение в теории вероятностей и математической статистике.

Пример 40. Требуется вычислить интеграл (59) на любом отрезке

										t 2
0, x . Для этого разложим подинтегральную функцию e 2											в ряд,	заменяя
в разложении функции ex (см. формулу (45)) переменную											x на		t 2
														.
												2		.
												2
Тогда получим
	t 2		t 2	1	t 2	2	1	t 2	3
e 2		1	t 2	1	t 2		1	t 2	;

			2	2!	2		3!	2
			2	2!	2		3!	2

при этом выписанный ряд равномерно сходится на любом отрезке 0, xи его почленное интегрирование законно. В результате имеем следующее:

t 2

1 x

t 2

t 4

t 6

t 2n

2 dt

2! 22

3! 23

n! 2n

t 7

1 n

t 2n 1

2 3

2! 22 5 3! 23 7

n! 2n 2n 1

1 n

x2n 1

2 3

2! 22 5 3! 23 7

n! 2n 2n 1

С помощью этого равенства функцию Лапласа (59) можно приближённо

вычислить при любом x		0 с любой степенью точности.
Например,	1	1		1	1	1	1	1	. Ограничив-

					6	40	336	3 456
		2
		2
шись в приближении суммой S4 , будем иметь,								что абсолютная погреш-
ность будет меньше числа			1		0,000 289 . Итак, при				3,14159

		3 456
		3 456

1	1	1	1	1	1	1	287,4	0,3412 .

			6	40	336		336
	2					2

Теория рядов находит применение и при решении дифференциальных уравнений. Особенно это важно, когда интегрирование дифференциального уравнения не сводится к квадратурам. При этом в некоторых случаях можно получить в явном виде общее решение дифференциального уравнения. Здесь на конкретном примере покажем, как найти решение задачи Коши для линейного дифференциального уравнения второго порядка с переменными коэффициентами. Из этого примера будет понятно, как действовать в общей ситуации.

Пример 41. Требуется найти решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка

y 2xy	x2 y	e2x x2	4x 4 ,	(60)
удовлетворяющего начальным условиям
y 0	1,	y 0	2 .	(61)

Напомним, что задачу (60), (61) называют задачей Коши или зада-

чей с начальными условиями для уравнения (60).

В теории обыкновенных дифференциальных уравнений рассматриваются методы решения таких задач. Самой простой ситуацией является следующая: коэффициенты при неизвестной функции y y xи её производных являются постоянными, а правая часть уравнения имеет специальный вид.

В данном случае уравнение (60) имеет переменные коэффициенты и тогда его можно решать с помощью рядов.

Будем искать решение задачи Коши в виде степенного ряда

y a		a x	a		2	x2	a x3		a		4		x4	a x5		a	n	xn	,	(62)
0		1			2			3			4			5			n
коэффициенты которого надо найти.
Первое из начальных условий (61) даёт, что a0																1. Теперь функцию
(62) и её производные
y a 2a			2	x 3a x2					4a	4		x3		5a x4	6a x5				,
		1	2				3			4				5		6
y 2a	2	6a x 12a					4	x2	20a x3					30a x4		42a x5
	2	3					4					5		6			7

подставим в уравнение. Заметим,			что из вида производной y и второго из
условий (61) имеем,	что a 2 .		Кроме того,				подставим функцию e2x ,
		1
представленную в виде ряда
e2x 1		2x 2		2x 3		2x 4		2x 5
	2x								,
	2x	2!	3!		4!		5!		,
		2!	3!		4!		5!

вправую часть уравнения (60).

Врезультате получим следующее равенство:

2a		2	6a x 12a					4	x2		20a x3					30a x4	42a x5											2x 2 2a						2	x 3a x2
		2	3					4				5				6				7														2			3
			4a	4	x	3	5a x			4				x	2	1 2x 2x		2		4	x		3		2	x	4		4		x	5				.
			4a		x		5a x							x		1 2x 2x					x					x					x					.
								5												3					3				15
																				3					3				15
В этом равенстве сгруппируем члены слева и справа при соответствующих
степенях:
2a	2		6a 4 x 12a								4	4a		2		1 x2 20a 6a a x3														30a 8a						4	a	2	x4
	2		3								4			2			5					3			1								6			4		2
			42a 10a a x										5			4 4x x			2	2		x		3	2	x		4	4		x		5		.
			42a 10a a x													4 4x x						x				x					x				.
						7			5			3								3					3				15
																				3					3				15

Теперь применим так называемый метод неопределённых коэффициен-

тов, т.е. приравняем коэффициенты при одинаковых степенях переменной x . Получим следующие равенства:

			2a		4, 6a 4 4 , 12a 4a 1 1, 20a 6a a																													2	,
			2a	2	4, 6a 4 4 , 12a 4a 1 1, 20a 6a a																														,
				2			3								4					2					5		3				1			3
																																		3
						30a		8a			a					2		, 42a 10a a											4
						30a	6	8a		4	a		2					, 42a 10a a
							6			4			2		3					7				5		3			15
															3														15
и так далее.					Из этих равенств имеем:																a			2 ,	a		4	,		a		2	, a				4	,
																						2				3	3				4	3		5		15
																											3					3				15
a		4	, a		8		и так далее.
a	6		, a				и так далее.
	6	45		7	315
		45			315
		Подставив найденные коэффициенты в разложение (62), получим
решение
			y 1 2x 2x						2		4	x		3	2		x		4	4	x		5	4	x	6	8			x	7
			y 1 2x 2x									x					x				x				x					x
											3				3					15				45			315

задачи Коши (60), (61) в виде степенного ряда. Нетрудно заметить, что этот последний ряд есть ряд Маклорена функции e2x . Легко проверить,

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 86 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
13.11.20222.72 Mб15662.pdf
#
13.11.20222.81 Mб25663.pdf
#
13.11.20222.82 Mб65664.pdf
#
13.11.20222.86 Mб85665.pdf
#
13.11.20222.89 Mб15666.pdf
#
13.11.20222.92 Mб25667.pdf
#
13.11.20222.96 Mб45668.pdf
#
13.11.20222.96 Mб25669.pdf
#
13.11.20223.01 Mб15670.pdf
#
13.11.20223.01 Mб15671.pdf
#
13.11.20223.03 Mб35672.pdf