Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Хабаровский государственный университет экономики и права

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

5667.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.11.2022

Размер:

2.92 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 82 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

то этот ряд мажорируется сходящимся числовым рядом n 1 n3 и, следова-

тельно, равномерно сходится (см. теорему 5) на всей числовой оси к своей сумме S x . При почленном дифференцировании исходного ряда получит-

ся ряд	n	cos nx		cos nx	, который равномерно сходится на всей чис-
		n3	n 1 n2
n 1

ловой оси (см. пример 14). Таким образом, почленное дифференцирование

исходного ряда на	,	законно, причём
S	x	d	sin nx		cos nx	.

		dx n 1	n3	n 1	n2

Замечание 19. Условие равномерной сходимости ряда (22) в теореме 8 является достаточным условием почленного дифференцирования функционального ряда (8), но не представляет собой необходимое условие.

2.Упражнения и вопросы для самопроверки

1.Найти предельные функции следующих функциональных последовательностей на указанном промежутке X :

	fn	x	1				x			n		X	,	;
1.1)										,
1.1)							n			,
							n
1.2)	fn	x			1					,		X	,	;

			1		x2n
			1		x2n
1.3)	fn	x		x		,						X	0,	;
1.3)	fn	x		enx		,						X	0,	;
				enx
1.4)	fn	x			x				,			X	,	;

				en	2 x 2
				en	2 x 2
1.5)	fn	x	1					,				X	0,1 ;

			1		nx
			1		nx
1.6)	fn	x	10			xe				n2 x 2	,	X	,	.
1.6)	fn	x	10			xe					,

2. Выяснить, равномерно или неравномерно сходятся на указанных промежутках следующие последовательности:

2.1)

fn x xn

на X

;

2.2)

на X

0,1 ;

n2 x

2.3)

на X

;

enx

2.4)

а) на X

; б) на X

;

2.5)

а) на X

0,1 ; б) на X

;

3. Найти области сходимости (абсолютной и условной) следующих функциональных рядов:

3.1)

;

3.2)

;

1 2n

3.3)

;

3.4)

;

3.5)

;

3.6)

n 1 2n xn

n 1 n 1 4x 1

4. Найти области сходимости и суммы функциональных рядов:

			xn	4.2)			1	n 1	x	2n	2	;
4.1)	n	1 2n ;			n	1

4.3)			xn xn 1 ;	4.4)					1				.

	n	1			n	1	x	n	x		n 1

5. На основании определения равномерной сходимости ряда выяснить характер сходимости следующих функциональных рядов на указанных промежутках:

5.1)

а) на

2, 2

; б) на

0,1 ;

1 2n

5.2)

а) на

1,1 ;

б) на

;

5.3)

на 0,

n x

Указание: выяснить характер сходимости частичных сумм к сумме соответствующего ряда или остатков соответствующих рядов к нулю (область сходимости и сумму соответствующего ряда требовалось найти в предыдущем задании).

6. Используя признак Вейерштрасса, доказать равномерную сходимость в указанных промежутках следующих функциональных рядов:

6.1)		xn			на	1,1 ;
6.1)	1 n2				на	1,1 ;
n	1 n2
6.2)		xn			на	1,1 ;
6.2)	1 2n				на	1,1 ;
n	1 2n
6.3)		sin nx			на	,	;

		n2
n	1	n2
6.4)		x2			на	0,	;
6.4)	1 enx				на	0,	;
n	1 enx
6.5)		cos nx			на	,	;

		n3
n	1	n3
6.6)		4		cos x	на	,	;

	1 2n			enx
n	1 2n			enx
6.7)			1		на	,	;

	1 x2			n2
n	1 x2			n2
6.8)				x	на	0,	.

	11		n4 x2
n	11		n4 x2

7. Доказать непрерывность следующих функций в указанных промежутках:

7.1)	S x		sin nx		на	,	;

			n2
	n	1	n2
7.2)	S x		cos nx		на	,	;

			n4
	n	1	n4
7.3)	S x		1		на	,	;

		1 x2		n2
	n	1 x2		n2
7.4)	S x		xn		на	1,1 .
7.4)	S x	1 n3			на	1,1 .
	n	1 n3

8. Найти сумму и область сходимости функционального ряда

x	x2			x3		x4			x5		,

	2	2	4		3	8	4	16		5

исходя из геометрического ряда

	x		x2		x3		x4
1								.
1	2	4		8		16		.
	2	4		8		16

9. Найти сумму и область сходимости функционального ряда

1 2x 3x2

n 1 xn

исходя из геометрического ряда

1 x x2 xn .

10. На каком множестве можно рассматривать функциональную последовательность, каждый член fn x которой имеет свою область опре-

деления X n ?

11.Что означает выражение «функциональная последовательность сходится поточечно на некотором множестве»?

12.Какая функция называется предельной функцией функциональной последовательности?

13.На каком множестве определена предельная функция функциональной последовательности?

14.Может ли предельная функция некоторой функциональной последовательности быть постоянной на некотором промежутке?

15.Может ли предельная функция некоторой функциональной последовательности быть разрывной, если члены этой функциональной последовательности являются непрерывными функциями?

16.Какая функциональная последовательность называется равномерно сходящейся?

17.В чём состоит различие между сходимостью функциональной последовательности и её равномерной сходимостью?

18.Является ли сходящаяся на некотором промежутке функциональная последовательность равномерно сходящейся на этом промежутке?

19.Если последовательность равномерно сходится на некотором промежутке, то сходится ли она поточечно на этом промежутке?

20.Если функциональная последовательность сходится равномерно на некотором промежутке, то сходится ли она равномерно на любой части этого промежутка?

21.Если функциональная последовательность равномерно сходится на некотором промежутке, то будет ли она сходиться равномерно на любом промежутке, его включающем?

22.Если равномерной сходимости на некотором промежутке нет, то будет ли она на каком-нибудь промежутке, его содержащем?

23.Если равномерной сходимости на некотором промежутке нет, то может ли она быть на какой-нибудь части этого промежутка?

24.Может ли предельная функция равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций быть разрывной функцией в области сходимости?

25.Является ли условие равномерной сходимости последовательности необходимым условием непрерывности предельной функции?

26.Может ли предельная функция неравномерно сходящейся последовательности непрерывных функций быть непрерывной функцией?

27.Что можно сказать о характере сходимости функциональной последовательности, если её предельная функция разрывна в области сходимости?

28.В чём состоит достаточное условие интегрируемости на некотором отрезке предельной функции функциональной последовательности?

29.Может ли быть интегрируемой на некотором отрезке предельная функция неравномерно сходящейся последовательности непрерывных на этом отрезке функций?

30.В чём состоит достаточное условие дифференцируемости предельной функции функциональной последовательности?

31.Что называется функциональным рядом?

32.На каком множестве можно рассматривать функциональный ряд?

33.Что называется областью сходимости функционального ряда?

34.Какие выражения называются частичными суммами функционального ряда?

35.Что называется суммой функционального ряда?

36.Каким предельным равенством определяется сумма функционального ряда?

37.С помощью каких признаков можно исследовать функциональный ряд на абсолютную сходимость?

38.Может ли сумма функционального ряда быть разрывной в области его сходимости, если члены этого ряда являются непрерывными функциями?

39.Какой функциональный ряд называется равномерно сходящимся на некотором промежутке?

40.Как связаны между собой понятия равномерной сходимости функциональной последовательности и равномерной сходимости функционального ряда?

41.В чём различие между поточечной сходимостью функционального ряда и его равномерной сходимостью на некотором промежутке?

42.Как сформулировать понятие равномерной сходимости функционального ряда с помощью понятия «остаток ряда»?

43.В чём состоит критерий равномерной сходимости функциональной последовательности (функционального ряда)?

44.Что утверждает для функциональных рядов признак Вейерштрасса?

45.К каким из признаков (необходимый, достаточный, необходимый

идостаточный) относится признак Вейерштрасса?

46.Какой функциональный ряд называется мажорируемым на некотором промежутке?

47.Какой числовой ряд называется мажорирующим (мажорантным) для функционального ряда?

48.Является ли мажорируемый функциональный ряд на некотором промежутке равномерно сходящимся на этом промежутке?

49.Будет ли мажорируемый функциональный ряд абсолютно сходящимся?

50.Является ли равномерно сходящийся на некотором промежутке функциональный ряд абсолютно сходящимся на этом промежутке?

51.Существуют ли немажорируемые равномерно сходящиеся ряды?

52.Будет ли непрерывной сумма равномерно сходящегося на некотором промежутке ряда?

53.Может ли быть непрерывной сумма неравномерно сходящегося

ряда?

54.Что можно сказать о характере сходимости функционального ряда, сумма которого разрывна на некотором промежутке?

55.Является ли непрерывной сумма ряда, мажорируемого на некотором промежутке?

56.Какие функциональные ряды можно почленно интегрировать?

57.Существуют ли неравномерно сходящиеся интегрируемые ряды?

58.Для каких рядов возможно их почленное дифференцирование?

59.Если ряд, составленный из производных членов исходного ряда, сходится неравномерно, то законно ли дифференцирование исходного ряда?

60.Если ряд с дифференцируемыми членами сходится равномерно, то можно ли его почленно дифференцировать?

<<< < Предыдущая 12 / 82 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
13.11.20222.72 Mб15662.pdf
#
13.11.20222.81 Mб25663.pdf
#
13.11.20222.82 Mб65664.pdf
#
13.11.20222.86 Mб85665.pdf
#
13.11.20222.89 Mб15666.pdf
#
13.11.20222.92 Mб25667.pdf
#
13.11.20222.96 Mб45668.pdf
#
13.11.20222.96 Mб25669.pdf
#
13.11.20223.01 Mб15670.pdf
#
13.11.20223.01 Mб15671.pdf
#
13.11.20223.03 Mб35672.pdf