42

производственной функцией Q = 20L0,5. Цена труда rL = 2, а цена продукции фирмы Р = 5.

Определите: а) выпуск фирмы; б) общие затраты на выпуск; в) средние затраты; г) предельные затраты; д) объем спроса фирмы на труд.

Тема 8. Использование линейного программирования в теории фирмы

Ключевые термины

Фирма в виде комбинации производственных способов; ломаная изокванта; задача рационального использования ресурсов; двойственная задача линейного программирования; оценка эффективности использования ресурсов.

Тесты

1.Линейное программирование в теории фирмы: а) используется довольно часто; б) может быть использовано; в) не используется вообще;

г) только усложняет анализ поведения фирмы.

2.Если переменные задачи линейного программирования предполагаются неотрицательными, а все ограничения являются ограничениями типа неравенств одного определенного знака, то говорят, что задача линейного программирования задана:

а) в стандартной форме; б) в форме множества неравенств;

в) в форме системы уравнений; г) в неопределенной форме.

3.Задача линейного программирования:

а) обязательно имеет решение; б) может не иметь решения; в) нет верного ответа; г) имеет только обоснование.

43

4.Если число переменных в задаче линейного программирования равно двум, то задачу можно решить:

а) геометрически; б) аналитически; в) верно а) и б);

г) нет верного ответа.

5.Ломаная изокоста может иметь место:

а) при изменении цен обоих ресурсов, но в разных пропорциях; б) при введении налогов на использование ресурсов разной величины; в) при изменении технологии производства; г) нет верного ответа.

6.Задача рационального использования ресурсов: а) может быть решена аналитически; б) имеет макроэкономический уровень решения;

в) решается с помощью линейного программирования; г) не имеет точного решения.

7.Оценка эффективности использования ресурсов:

а) дается на уровне отрасли; б) делается на уровне фирмы;

в) решается с помощью линейного программирования; г) не может быть осуществлена.

8.Двойственная задача линейного программирования: а) включает задачу максимизации прибыли; б) включает задачу минимизации затрат;

в) направлена на определение максимального дохода; г) не может иметь решения.

9.Критерии оптимальности использования ресурсов:

а) можно определить с помощью линейного программирования; б) нельзя определить, используя линейное программирование; в) важны на технологическом уровне; г) имеют экономическое значение.

44

10. Возможно ли геометрическое решение задач линейного программирования в случае трех переменных:

а) иногда возможно; б) невозможно; в) возможно всегда;

г) нет верного ответа.

Примеры решения задач

Пример 1

Покажите, что если векторы чистых выпусков ϵ Y, k = 1, …, М, то

Y, где технологическое множество Y удовлетворяет свойства выпук-

лости и постоянной отдачи от масштаба.

Решение

Если М = 1, то из Y следует Y.

Пусть М > 1. Рассмотрим , Y. По свойству выпуклости технологии для всех α [0,1] выполнено α + (1 – α) Y, а значит, и для α = : +

Y. По свойству постоянной отдачи от масштаба если γ ϵ Y, то λγ Y для всех λ ≥ 0. Отсюда следует, что по свойству постоянной отдачи от масштаба

2( + ) Y, т.е. + Y.

Аналогичным образом рассматриваются векторы чистых выпусков + и

, и т.д.

Таким образом, Y.

Пример 2

Покажите, что если технология обладает постоянной отдачей от масштаба, то либо решения задачи максимизации прибыли не существует, либо прибыль равна нулю.

Решение

Если технология обладает свойством постоянной отдачей от масштаба, то из γ Y следует λγ Y для всех λ ≥ 0. Предположим, при ценах p нашелся вектор чистых выпусков γ Y, который является решением задачи максимизации прибыли такой, что pγ > 0. Тогда производитель может выбрать λγ Y, λ > 1, при котором прибыль будет больше. При λ → ∞ не существует решения задачи мак-

45

симизации прибыли. Значит, если решение задачи максимизации прибыли при ценах p существует, то для всех γ Y и цен p выполнено pγ ≤ 0. Значит, и прибыль не больше нуля. Поскольку из γ Y следует λγ Y для всех λ ≥ 0, значит, и для λ = 0, следовательно, 0 Y. Тогда у фирмы, максимизирующей прибыль, есть возможность получить прибыль не ниже нуля. Следовательно, если технология обладает постоянной отдачей от масштаба и решение задачи максимизации прибыли существует, то прибыль равна нулю.

Задачи

1. На рисунке изображены кривые среднего и предельного продуктов труда.

В точке А первая единица затрат труда производит 10 единиц предельного продукта и 10 единиц среднего продукта. Вторая единица затрат труда создает 20 единиц предельного продукта. В точке С третья единица труда приносит МРL = 30. В точке D четвертая единица труда приносит МРL = 20. В этой же точке и АРL четырех единиц труда также равен 20 единицам. В точке Е средний продукт восьми единиц труда равен 14. В точке F предельный продукт восьмой единицы труда равен 0.

Каким точкам на графике соответствует наибольшее значение общего продукта? Какие три стадии производства можно выделить?

На основе данных в точках А, В, С, D, Е, F попытайтесь построить график общего продукта труда. Раскройте взаимосвязь между кривыми ТРL, АРL и МРL.

АР1, МР

С

30

20

Е

МР

А

F

Рисунок 4 – Взаимосвязь между кривыми ТРL, АРL и МРL

46

2. При неизменных затратах капитала каким образом изменится АРL по мере последующего наращивания переменного ресурса, если первоначально:

1)АРL = 15 ед.; МРL = 20 ед.;

2)АРL = 20 ед.; МРL = 20 ед.;

3)АРL = 20 ед.;

МРL = 15 ед.

3. Рассчитайте соответствующие значения АРL , если каждая последующая дополнительная единица труда приносит отраженные в таблице уровни МРL:

При каких затратах труда величина АРL принимает максимальное значение? 4. Хозяйственная деятельность какой-либо формы описывается производ-

ственной функцией:

Q = 3L1/2K1/2, где

Q – объем производства, L – затраты труда; К – используемый капитал. Каков ежедневный объем производства при функционировании 4 единиц труда и четырех единиц оборудования? Как изменится выпуск продукции при увеличении обоих факторов К = 25 и L = 9.

5.Имеется производственная функция Кобба-Дугласа Q = 10L0,5К0,5. Укажите координаты трех точек, через которые проходит изокванта Q = 50.

6.В таблице отражены 3 периода времени, в течение которых фирма привлекает дополнительные трудовые (L) и капитальные (К) ресурсы с целью наращивания производства продукции (Q). Определите эффект от увеличения масштаба производства в каждом случае.

7. На рисунке изображены 3 изокванты (Q1, Q2, Q3), отражающие различные уровни производства, и одна изокоста. В какой точке (А, В или С) фирма решает

47

задачу достижения большего объема производства при заданных ресурсах? Каким образом повлияет повышение или понижение цены на один из факторов производства при решении стоящей перед фирмой проблемы?

К

L

Рисунок 5 – Влияние цены на один из факторов производства

8. На рисунке изокванта отражает желательный для фирмы объем производства. Три изокосты характеризуют возможные варианты затрат при заданных неизменных ценах на факторы производства. В какой точке решается проблема минимизации затрат на предполагаемый объем производства?

К

А

В

С

L

Рисунок 6 – Решение проблемы минимизации затрат на предполагаемый объем производства