5575

11

Основные характеристики нечётких отношений

Пусть Q={<х1, х2,…,xk >, μQ<х1, х2,…,xk >} произвольное нечёткое k-аpнoe отношение с кортежами из декартова произведения соответствующих универсумов и функцией принадлежности μQ(<х1, х2,…,xk >).

Величина hQ= sup{μQ(< х1, х2,…,xk >) }, где супремум берётся по всем

которых значение соответствующей функции принадлежности отлично от 0. Нечёткое отношение Q называется нормальным, если максимальное

значение его функции принадлежности равно 1. Формально это означает, что для нормального нечёткого отношения необходимо выполнение следующего условия:

μQ(< х1, х2,…,xk >) =1

( x1 , x2 ,...xk X1 X 2 ... X k ) .

Некоторый кортеж wm X1 , X 2 ,...,X k нечёткого отношения Q называется

модой, если этот кортеж является точкой локального максимума соответствующей функции принадлежности μQ(< х1, х2,…,xk >), то есть выполняется условие:

wm arg max{ Q ( x1, x2 ,...,xk )},

где максимум рассматривается в некоторой локальной окрестности кортежа wm из области определёния функции принадлежности.

Если нечёткое отношение имеет моду, совпадающую с его высотой, то преобразование wm arg max{ Q ( x1, x2 ,...,xk )} даёт в результате нормальное нечёткое отношение.

Два нечётких отношения считаются равными (Q=R), если они заданы на одних и тех же универсумах X1 X 2 ... X k , имеют одинаковую арность и их функции принадлежности принимают равные значения на всем декартовом произведении соответствующих универсумов.

Операции над нечёткими отношениями:

1. Объединение. Объединением двух нечётких отношений Q и R называется некоторое третье нечёткое отношение U , заданное на этом же декартовом

12

произведении универсумов X1 X 2 ... X k , функция принадлежности которого определяется по следующей формуле:

U ( x1 , x2 ,...,xk max{ Q ( x1 , x2 ,...,xk , R ( x1 , x2 ,...,xk )}

( x1, x2 ,...,xk X1 X 2 ... X k ).

2. Пересечение. Пересечением двух нечётких отношений Q и R называется некоторое третье нечёткое отношение S, заданное на этом же декартовом произведении универсумов X1 X 2 ... X k , функция принадлежности которого определяется по следующей формуле:

S ( x1 , x2 ,...,xk ) min{ Q ( x1 , x2 ,...,xk , R ( x1 , x2 ,...,xk )}

( x1 , x2 ,...,xk X1 X 2 ... X k ).

3.Включение. Включением двух нечётких отношений Q и R называется множество R, если для u Q (u) R (u).

4.Обратное отношение. Для нечёткого отношения Q определяется также обратное отношение Q-1 такое что:

x1 , x2 ,..., xk X1 X 2 ... X K

формуле:

M Q ( x1 , x2 ,...,xk ) 1 Q ( x1 , x2 ,...,xk )

x1, x2 ,...,xk X1 X 2 ... X K .

6.Симметрическая разность. Операция симметрической разности двух нечётких отношений Q и R по определёнию есть такое нечёткое отношение QR, функция принадлежности которого равна:

13

Лабораторная работа 1. Метод максиминной свёртки Задание к лабораторной работе – сформулировать ситуацию, в которой

используется m альтернатив ai и n критериев Cj. Для каждого критерия должны быть определёны нечёткие множества оценок каждой альтернативы. Выбрать лучшую альтернативу, используя пересечение нечётких множеств, при условии одинаковой важности альтернатив и в случае, когда они имеют разную важность для лица, принимающего решения (ЛПР).

Цель работы – ознакомиться с методами принятия решений на основе теории нечётких множеств, использующих экспертные оценки, представленные нечёткими множествами.

Для выбора лучшей альтернативы можно использовать пересечение нечётких множеств, определяющих оценки альтернатив по каждому критерию:

где первая формула использует критерии одинаковой важности, а во второй формуле i – весовые коэффициенты соответствующих критериев.

Операция пересечения нечётких множеств может быть реализована разными способами, в данном случае предполагается нахождение минимума, при этом лучшей альтернативой считается имеющая наибольшее значение функции принадлежности (то есть используется максиминная свёртка упорядочения нечётких чисел).

Максиминная свёртка в литературе ещё называется свёрткой Гермейера, так как она была предложена Юрием Борисовичем Гермейером.

В противовес осреднению, связанному с риском в случае малого числа повторений игры, максимин – «проявление осторожности в оценке возможных ситуаций и интересов игроков […], не входящих в какую-либо коалицию с оперирующей стороной».[2]

14

Принцип максимина состоит в минимизации критерия:

Пример выполнения лабораторной работы

Выбор предприятием стратегии развития методом максиминной свёртки

Предприятие по выпуску спортивного инвентаря выходит на новый уровень развития для выпуска новой продукции – тренажёров, работающих с мышцами пресса. Предприятием решается задача выбора лучшей стратегии.

Определим возможные стратегии: снижение цены на новую продукцию (a1); повышение качества выпускаемой продукции (a2); увеличение рынков сбыта (а3); разработка новой рекламной акции (a4).

Определим десять критериев, по которым оцениваются альтернативы: C1 – затраты на расширение линейки выпускаемых продуктов;

С2 – время на реализацию проекта; СЗ – затраты на продвижение товара; С4 – затраты на исследование рынка; С5 – риски от потерь; С6 – срок окупаемости;

С7 – качество продукции; С8 – управленческие расходы;

С9 – себестоимость продукции; С10 – цена продукции.

Определим нечёткие множества по каждому i-му критерию на одном и том же базовом множестве {а 1,… а m}, выражающие нечёткие оценки каждой альтернативы:

Выбор лучшей альтернативы осуществляем по формуле (1.1) со страницы 13.

Максимальное из минимальных значений у альтернативы а2 – повышение качества выпускаемой продукции, значит она и является лучшей.

Если рассматривать операцию пересечения как умножение, то по этой же формуле (1.1) получаем:

D = { 0,6 * 0,4 * 0,3 * 0,3 * 0,5 * 0,7 * 0,8 * 0,2 * 0,7 * 0,5; 0,5 * 0,6 * 0,4 * 0,7 * 0,4 * 0,5 * 0,4 * 0,6 * 0,6 * 0,8; 0,8 * 0,1 * 0,2 * 0,1 * 0,2 * 1 * 0,6 * 0,3 * 1 * 0,3; 0,3 * 1 * 0,3 * 0,7 * 0,8 * 0,5 * 0,3 * 0,8 * 0,2 * 0,9} =

={0,00042336; 0,00193536; 0,00001728; 0,00108864},

тогда лучшая альтернатива а2 – повышение качества выпускаемой продукции. В данном случае критерии равнозначны для лица, принимающего решения. Для более взвешенного принятия решения будем учитывать важность

критериев. Весовые коэффициенты, показывающие важность критериев, приведены в таблице 1.

Для расчёта будем использовать формулу (1.2) со страницы 13 с учётом того, что весовые коэффициенты должны удовлетворять условиям:

i 1

16

Таблица 1 – Весовые коэффициенты для множества критериев

Результаты максиминной свёртки по формуле (1.2) приведены в таблице 2.

Таблица 2 – Результаты максиминной свёртки

D={0,1703; 0,2106; 0,039; 0,235}.

В данном случае максимальное из минимальных значений у альтернативы а4 – разработка новой рекламной акции, а значит она и является лучшей.

Вопросы и задания 1. Перечислите основные понятия теории нечётких множеств.

18

Определёние (2.2) является строгим определёнием нечёткой импликации. Основным правилом вывода в традиционной логике является правило modus

ponens, согласно которому из истинности высказываний А и А→ В следует истинность высказывания В. В нечёткой логике это правило используется в приближённой форме в том смысле, что в импликации участвует не А, а его приближённое значение А*. Поэтому в нечёткой логике основным является композиционное правило вывода.

Композиционное правило вывода – это обобщение процедуры:

предположим имеется кривая y f (x) и задано значение x a . Тогда из того, что y f (x) и x a , можно заключить, что y b f (a) [5].

Если рассматривать А и В как нечёткие высказывания и определить для них функции принадлежности, то для импликации А → В тоже можно определить функцию принадлежности причём различными способами:

-импликация Ларсена: A B (x, y) A (x) B ( y) ;

-импликация Лукасевича: A B (x, y) min{1, 1 A (x) B ( y)};

-импликация Мамдани: A B (x, y) min{ A (x) B ( y)} ;

-импликация Kleene-Dienes: A B (x, y) max{1 A (x), B ( y)};

-импликация Kleene-Dienes-Lu: A B (x, y) 1 A (x) A (x) B ( y) .

Определим теперь обобщённое правило modus ponens (generalized modus

ponens):

-предпосылка A→B;

-событие A*;

-вывод A*◦(A→B).

Приведённая формулировка имеет два отличия от традиционной формулировки правила modus ponens: во-первых, здесь допускается, что A, A*,B – нечёткие множества, и, во-вторых, A* не обязательно идентично A.

19

Лингвистическая переменная отличается от числовой переменной тем, что её значениями являются не числа, а слова или предложения в естественном или формальном языке. Такое описание позволяет характеризовать сложные явления, не поддающиеся описанию общепринятыми количественными терминами.

Нечёткая задача интерполяции формулируется с использованием зависимостей нечётких множеств:

R1: если A1(x1), то B1(y1); R2: если A2(x2), то B2(y2);

…

Rn: если An(xn), то Bn(yn),

где x – предпосылка, а y – заключение,

и нечёткого значения входной переменной – C(x′). Необходимо найти значение D(y′), входящего в заключение.

Обобщив нечёткую зависимость переменных x и y, получим продукцию: если A(x), то B(y). Цель нечёткого логического вывода – определить значения выходной переменной B′(y) от входной переменной C(x′). Результирующее нечёткое множество B C ( A B ) – композиция нечёткого множества C и импликации нечётких множеств A→B.

Нечёткое множество B′ заключения вычисляется как композиция двух нечётких множеств – факта и импликации. Композиция факта и импликации

На основе задачи нечёткой интерполяции строят оболочку экспертной системы, осуществляющей вывод на словах [12].

Основными правилами умозаключений являются два силлогизма – modus ponens MP; modus tollens MT. В случае, если предпосылка и заключение выражаются в терминах нечётких множеств, происходит изменение основных правил вывода.

Нечёткий modus ponens (Fuzzy MP):

если A(x) B(x), A (x), то .

Нечёткий modus tollens (FMT):

если A(x) B(x), .НЕ B (x) , то НЕ A (x) .

20

Свойства обобщённых нечётких умозаключений:

1.Базовое свойство. Если множество фактов A′ соответствует множеству предпосылки A≈A′,то множество заключений B будет соответствовать множеству следствий в импликации B≈ B′.

2.Свойство общей неопределённости. Если факт полностью отрицает следствие импликации, то есть НЕ B′(x), то множество предпосылок – НЕ A′(x).

Существуют различные схемы вывода на базе нечётких правил. Пусть входные переменные x и y являются какими-либо нечёткими множествами A и B соответственно, а выходная переменная z является нечётким множеством C. Если задан факт x = x0, y = y0, то необходимо найти z = z0.

Схема вывода на базе нечётких правил сводится к решению следующей задачи:

база правил R1:

Rn: если X – An И Y – Bn, тогда Z – Cn.

Факт: x = x0, y = y0.

Следствие: z = ? [8]

Схемы нечёткого вывода у разных авторов уточняются до оператора нечёткой импликации. Рассмотрим три схемы, представленные на рисунках 1 – 3.

В схеме нечёткого вывода Мамдани минимумом создаётся импликация, а максимумом – агрегация.

Схема нечёткого вывода Цукамото разработана для монотонных функций принадлежности.

Схема нечёткого вывода по Суджено ограничивает правые части правил вывода линейным случаем.