5126

41

Процесс продолжается до тех пор, пока все характеристики свободных клеток не станут неотрицательными.

Пример 1. Решить транспортную задачу.

Имеется четыре поставщика с мощностями ai=(40, 60, 50, 70) и четыре потребителя со спросом bj=(100, 10, 50, 60). Известна матрица транспортных тарифов

6 4 5 4 .

Решение. Задача закрытого типа, т.к.

Внесем исходные данные в транспортную таблицу и составим начальный допустимый план по методу северо-западного угла:

Начинаем заполнение таблицы с клетки (1;1) (верхний левый угол). В клетку (1;1) запишем 40 и пункт А1 из рассмотрения исключаем.

Для удовлетворения потребности b1=100, требуется еще (100 40) 60 ед. груза, которые имеются в наличии у а2=60, следовательно, в клетку (1;2) запишем 60. Тем самым поставщики А1 и А2 исчерпали свои возможности, удовлетворив спрос первого потребителя.

Далее а3>b2 (50>10), значит в клетку (3;2) запишем 10 и исключим второго потребителя, т.к. его спрос удовлетворен. Но у третьего поставщика осталось еще а3=50 10=40 ед. Этот остаток запишем в клетку (3;3), тем самым исчерпав возможности А3.

Для удовлетворения потребности потребителя b3=50, в клетку (4;3) запишем остаток 10 (50 40), тем самым удовлетворив его полностью.

В клетку (4;4) запишем остаток 60 (70 10), реализовав продукцию четвертого поставщика и удовлетворив четвертого потребителя.

Число занятых клеток должно быть m+n-1=4+4 1=7, у нас получилось 6. Это связано с тем, что при заполнении клетки (2;1) мы одновременно

Выбираем клетку с наименьшей стоимостью. Таких клеток несколько (1;3) и (2;2), их тариф равен 2. Начнем заполнение таблицы с клетки (1;3), переходя в клетки с боль шей стоимостью. Затраты на перевозку груза составят:

Z1=40·2+10·2+10·3+40·4+50·6+50·6+20·4=970.

Число заполненных клеток 7. Определим потенциалы Ui и Vj, исходя из условия, что сумма потенциалов должна быть равна тарифу клетки:

Ui+Vj=Cj.

Система потенциалов имеет следующий вид:

Полагаем, что один из потенциалов равен нулю, например, U1=0. Находим из системы остальные потенциалы:

43

Затем вычислим характеристики свободных клеток: Eij=Cij-(Ui+Vj) и запишем их в левом нижнем углу клетки.

Е11=4-(0+5)=-1; Е33=4-(1+2)=1; Е12=6-(0+1)=5; Е34=5-(1+3)=1; Е14=4-(0+3)=1; Е424-(1+1)+2; Е21=5-(1+5)=-1; Е43=5-(1+2)=2. Е32=5-(1+1)=3;

Так как среди характеристик есть отрицательные Е11=-1, Е21= -1, то план является неоптимальным, и его надо улучшить.

Характеристики свободных клеток одинаковые по значению, поэтому можно выбрать любую. Возьмём клетку (1;2) и построим для нее контур, присвоив вершинам контура чередующиеся знаки «+» и « - ».

В отрицательных вершинах выберем наименьшую поставку min (40; 50) Y=40 и распределим это количество груза по контуру. Получим новый план:

Так как все характеристики Eij 0, то план оптимальный, но не

единственный, так как есть нулевые характеристики.

При данном распределении поставка в 40 ед. попала в клетку с характеристикой – 1, поэтому общие затраты уменьшились на 40·1=40 ед.

Следовательно, Z2=Z1 – 40=970 – 40=930.

44

Пример 2. Решить транспортную задачу при следующих условиях:

ai=(30, 70, 100, 10), bj=(20, 40, 60, 80)

Решение

Данная задача открытого типа, так как условие баланса не выполняется

Вводится фиктивный потребитель В5 со спросом равным избытку продукции В5=210 200=10 единиц. Тарифы Сij дополнительного столбца равны нулю.

Заполненных клеток должно быть

m+n 1=4+5 1=8.

Исходный план строим по методу наименьшей стоимости и проверяем оптимальный он или нет методом потенциалов, как было рассмотрено в примере 1.

45

6.4. Решение ТЗ с помощью ППП QM for Windows

Запустим данную программу, на экране откроется основное окно. Выберем в строке меню Module раздел Transportation. Установить курсор на этой строке, высветится новое меню Transportation: File: New, откроется таблица. (рис. 22).

Рис. 22.

В строке Number of Sources необходимо задать число поставщиков (для нашего примера – 4), а в строке Number of Destinations – число потребителей (для нашего примера – 4). Задача решается на минимум. В случае открытой модели приведение к закрытой в программе происходит автоматически. Нажимаем кнопку ОК. Откроется диалоговое окно, в которое необходимо ввести исходные данные. Возьмем данные примера 1. Введем матрицу тарифов Cij; в строку DEMAND занесем потребности потребителей, в столбец SUPPLJ – запасы грузов поставщиков (рис. 23).

Рис. 23.

Затем выберем начальный метод (Starting method), если выбрать позицию Any Starting method, то автоматически выбирается лучший метод. Нажмем клавишу Solve и получим решение задачи.

На экран можно вывести следующие окна:

Рис.24.

46

В них перечислено: перевозка груза; приростная стоимость;

таблица конечного решения; итерации; перевозки со стоимостями; перечень перевозок.

Приведем некоторые из них:

Рис. 25.

На рис.25 раскрыто окно Shipments распределения груза между поставщиками и потребителями в оптимальном плане транспортной задачи. В строке Optimal cost указано значение целевой функции Zmin = 930. Т.е. при данных поставках груза минимальные затраты на перевозку составят 930 у.д.е.

Рис. 26.

На рис.26 показано окно Marginal costs, в котором отражены характеристики свободных клеток в оптимальном плане транспортной задачи. Они показывают насколько изменится значение целевой функции, если в соответствующую клетку сделать поставку равную единице.

Решить следующие задачи

49

6.5.Задача перспективного планирования

6.5.1.Краткие теоретические сведения

Эта задача относится к производству одного или нескольких взаимозаменяемых видов продукции, когда наличных мощностей поставщиков недостаточно для удовлетворения спроса потребителей. Это требует ввода новых мощностей за счет капитального строительства новых и реконструкции действующих предприятий.

Математическая модель задачи имеет следующий вид:

где Сi – себестоимость производства единицы продукции на i-ом предприятии, Е – нормативный коэффициент эффективности капитальных вложений, кi – удельные капитальные вложения в i-е предприятие, Сij – транспортные расходы по доставке единицы продукции от i-го предприятия j-му потребителю, хij – искомый объем перевозок от i-го поставщика j-му потребителю, Аi – мощности i-го поставщика, Вj – спрос j- го потребителя.

Эта задача представляет собой открытую модель транспортной задачи. Она приводится к закрытой путем введения фиктивного потребителя. Варианты поставщиков, которые в оптимальном плане прикрепились к фиктивному потребителю, использовать нерационально.

Пример1. Пусть три действующих предприятия А1, А2, А3 с мощностями аi=(250, 400, 300) обеспечивают однородной продукцией четырех потребителей со спросом bj=(450, 240, 200, 260).

Недостающий прирост мощностей планируется обеспечить за счет реконструкции второго предприятия и строительства нового предприятия

после реконструкции С2 рек=5, на предприятии А4:С4=4. Удельные капитальные затраты на реконструкцию к2=4, на строительство к4=6. Нормативный коэффициент эффективных капитальных вложений, связанный со строительством и реконструкцией, Ен=0,15.

50

Известна матрица транспортных затрат на доставку единицы

Найти оптимальный план перевозок и прироста мощностей, обеспечивающий потребность продукции и минимизирующий суммарные издержки.

Решение. Проверяем выполнение условного баланса.

Каждому варианту прироста мощности выделим отдельную строку и дадим недостающую мощность 200.

Для действующих предприятий производственно-транспортные затраты определяются по формуле (Ci+Cij) и складывается из затрат на производство и доставку единицы продукции.

Для вариантов прироста мощностей к этим затратам добавляются удельные капитальные вложения с учетом нормативного коэффициента

эффективности (Сi+E·кi+Cij).

Далее решим задачу с помощью ППП QM for Windows, используя функцию Transportation, как это отмечено в пункте 6.4. После ввода исходных данных получаем решение задачи.

Рис. 27.

На рис.27 (Final Solution Table) открыта таблица конечного решения транспортной задачи. В ней отражены поставки груза и характеристики свободных клеток. Все характеристики неотрицательны, поэтому план оптимальный, но не единственный, т.к. есть Eij=0.

Воптимальном плане оба варианта прироста мощностей прикрепились

креальным потребителям. Поэтому выгодным является реконструкция

второго предприятия А2 и строительство нового предприятия А4. Т.к. к фиктивному потребителю прикрепилось 200 ед. третьего предприятия, то его мощности надо сократить на 200 ед.