5113

2

ББК В 11

Кравченко Е.Н., Кудрявцева Е.В. Высшая математика. Программа, методические указания, варианты контрольной работы № 2 для студентов 1 курса заочного отделения. – Хабаровск: РИЦ ХГАЭП, 2003.-

В методических указаниях подобраны примеры для самостоятельного выполнения студентами контрольной работы № 2. Подробно разобрано решение типовых задач.

Методические указания предназначены для студентов заочной формы обучения всех специальностей.

Рецензент: Д-р ф.м.н., проф. ХГТУ Р.В. Намм

Утверждено издательско-библиотечным советом в качестве методических указаний

© Хабаровская государственная академия экономики и права, 2003

3

ПРЕДИСЛОВИЕ Математика играет важную роль в естественнонаучных, инженерно-

технических и гуманитарных исследованиях. В то же время математика является не только мощным средством решения прикладных задач и универсальным языком науки, но также элементом общей культуры. Поэтому математическое образование следует рассматривать как важнейшую составляющую в системе фундаментальной подготовки современного экономиста.

Данные методические указания содержат рабочую программу по высшей математике, методические указания к отдельным разделам программы, варианты контрольной работы № 2.

Предусматриваются задания по следующим темам: «Предел функции», «Производная и дифференциал», «Исследование функций и построение графиков», «Применение понятия производной в экономике», «Интегралы».

Изучив теоретический материал согласно прилагаемой программе, необходимо выполнить контрольную работу в сроки, указанные в вашем учебном графике.

4

ПРОГРАММА КУРСА МАТЕМАТИКИ

1.Функция одной переменной. Область определения функции.

Способы задания. Основные элементарные функции, их графики.

Монотонность функции, ограниченность функции. Обратные и сложные функции.

2.Числовая последовательность. Предел числовой последовательности. Теоремы о единственности предела числовой последовательности, об ограниченности последовательности,

имеющей предел. Бесконечно малые величины. Теоремы о бесконечно малых. Бесконечно большие величины. Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими величинами. Теорема о связи переменой, ее предела и бесконечно малой. Предел суммы,

произведения, частного. Предельный переход в неравенствах.

Признак существования предела монотонной последовательности.

Предел функции. Теорема о пределе функции. Раскрытие неопределенностей. Первый замечательный предел. Второй замечательный предел. Сравнение бесконечно малых.

Эквивалентные бесконечно малые и их применение для вычисления пределов.

3.Непрерывность функции в точке, на интервале. Непрерывность сложной и обратной функции. Точки разрыва функции, свойства функций, непрерывных на [a,b].

4.Производная y = f(x). Геометрический смысл производной.

Уравнение касательной. Теорема о непрерывности функции,

имеющей производную. Производная суммы, произведения, дроби.

Производные тригонометрической функции, показательной функции, степенной функции, обратных тригонометрических функций. Производные обратной и сложной функции. Производные

5

высших порядков. Дифференциал. Геометрический смысл

дифференциала.

5.Теорема Ферма. Теоремы Ролля, Лагранжа, их геометрический смысл. Правило Лопиталя. Признак возрастания (убывания)

функции на интервале. Экстремум функции y = f(x). Необходимое условие экстремума. Второе достаточное условие экстремума.

Наименьшее и наибольшее значение y = f(x) на [a,b]. Выпуклость,

вогнутость, точки перегиба. Асимптоты кривых. Вертикальные и наклонные асимптоты.

6.Функции нескольких переменных. Область определения. Способы задания. Понятие предела для функции двух переменных.

Непрерывность функции Z = f(x,y). Частные приращения, частные производные. Полное приращение, полный дифференциал Z = f(x,y).

Экстремум функции двух переменных. Метод наименьших квадратов.

7.Первообразная функции. Теорема о первообразных. Определение

неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла.

Замена переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование по частям. Интегрирование рациональных дробей,

тригонометрических выражений, иррациональных функций. Задача

оплощади криволинейной трапеции. Интегральная сумма.

Определенный интеграл. Свойства определенного интеграла.

Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной в определенном интеграле.

Площадь плоской фигуры. Несобственные интегралы.

8.Числовой ряд. Сходимость числового ряда. Свойства рядов.

Геометрический ряд. Гармонический ряд. Необходимый признак.

Признак сравнения. Признак Даламбера. Интегральный признак.

Знакочередующийся ряд. Признак Лейбница. Степенной ряд. Радиус

6

сходимости степенного ряда. Ряд Маклорена. Условия разложимости в ряд. Ряды Маклорена для y=sinx, y=cosx, y=(1+x)m.

Приближенные вычисления с помощью рядов.

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ, ПРАВИЛА ВЫПОЛНЕНИЯ И ОФОРМЛЕНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

Вариант для контрольного задания студент выбирает в соответствии с двумя последними цифрами своего шифра по следующему правилу: вторая цифра номера варианта должна совпадать с последней цифрой шифра. Далее, если предпоследняя цифра шифра четная, то первая цифра номера варианта должна быть равна 0 или 2; если же предпоследняя цифра нечетная, то первая цифра номера варианта должна быть 1. Например, при учебном номере (шифре) 955027 студент решает 07 вариант, при шифре 953054 - вариант 14 и т.д.

7

При выполнении контрольной работы надо строго придерживаться указанных ниже правил. Работы, выполненные без соблюдения этих правил, не зачитываются и возвращаются студентам для переработки.

1.Контрольные работы выполнять в тетради пастой или чернилами любого цвета, кроме красного, оставляя поля для замечаний рецензента.

2.На обложке тетради должны быть ясно написаны фамилия студента, его инициалы, шифр, название дисциплины и номер контрольной работы; здесь же следует указать дату отсылки работы в академию и почтовый адрес студента.

3.В работу должны быть включены все задачи, указанные в задании, строго по своему варианту. Контрольные работы, содержащие не все задания, а также содержащие задачи не своего варианта, не зачитываются.

4.Решение задач надо располагать в порядке, указанном в заданиях, сохраняя номера задач.

5.Перед решением каждой задачи надо выписать полностью ее условие. Если несколько задач имеют общую формулировку, следует, переписывая условие задачи, заменить общие данные конкретными из соответствующего номера.

6.После получения прорецензированной работы (как зачтенной, так и незачтенной) студент должен исправить в ней все отмеченные рецензентом ошибки и недочеты. В связи с этим следует оставлять в конце тетради чистые листы для работы над ошибками. Вносить исправления в сам текст работы после ее рецензирования запрещается.

7.Выполнив работу над ошибками, необходимо выслать работу в наиболее короткий срок.

8.В конце работы следует указать литературу, которую изучал студент, выполняя данную работу.

9.Студент должен подписать работу и поставить дату.

10.Зачтенные контрольные работы вместе с рецензиями обязательно предъявляются на зачете и экзамене.

11.Перед сдачей зачета и экзамена студент обязан защитить контрольную работу.

Библиографический список

1.Карасев А.И., Аксютина З.М., Савельева Т.К. Курс высшей математики для экономических вузов. Часть 1.-М.:Высшая школа, 1982.

2.Лихолетов И.И. Высшая математика, теория вероятностей и математическая статистика. - Минск: Вышейшая школа, 1976.

3.Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике. - М.: Наука,

1977.

4.Лихолетов И.И., Мацкевич И.П. Руководство к решению задач

8

по высшей математике, теории вероятностей и математической статистике, - Минск: Вышейшая школа, 1976.

5.Высшая математика для экономистов. Учебное пособие /Под редакцией Н.Ш. Кремера -М.: Банки и биржи, 1997.

6.Красс М.С. Чупрынов Б.П. Основы математики и её проложение в экономическом образовании.- М: Дело 2001.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

Предел функции

Пусть функция y ƒ(x) задана в некоторой окрестности точки х0.

Определение. Число А называется пределом функции f(x) в точке X0 (или при х→х0), если для любого, сколь угодно малого положительного числа

ε>0 найдется такое положительное число δ>0, зависящее от ε, что для всех

ƒ(х)→А при х→х0.

Практическое вычисление пределов основывается на следующих

предел).

Определение. Функция α (х) называется бесконечно малой величиной при х→х0, или при х→∞, если её предел равен нулю:

lim (x) 0 x x0

Определение. Функция ƒ(х) называется бесконечно большой в точке х0

(или при х→х0), если имеет место одно из равенств:

При вычислении пределов также используется следующее утверждение.

При х→5 числитель (2х + 5) стремится к 2 ∙ 5 + 5 = 15 (т.е. является ограниченной функцией), а знаменатель (х – 5) – к нулю (т.е. является бесконечно малой величиной), очевидно, их отношение есть величина