Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Хабаровский государственный университет экономики и права

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

5113

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.11.2022

Размер:

982.28 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

ctgx

C .

sin

2 x

10.

tgx C .

cos2 x

11.

arcsin

C .

12.

arctg

C .

13.

C .

14.

x 2

0 .

x 2 a

Пример

Найти

интеграл

dx .

Решение:

1 2

4x 4

x 1

4 x 2 dx 4

x 2 dx 8x 2

4 ln

2x 2

8 x

4 ln

Таблицу интегралов можно расширить, если применить формулы:

а)	f ax	b dx	1	F ax b C , если		f x dx F x C ;
			a

б)	x				C .
		dx ln	x
	x

Пример 2. Найти интегралы.

а)

C ;

б)

sin 3x

2 dx

cos 3x

C ;

в)

2dx

C ;

3 2x

г)

x dx

1 10x dx 1

C .

5x 2

Замена переменной в неопределенном интеграле

(метод подстановки)

Одним из основных методов интегрирования является метод замены

переменной, описываемый следующей формулой:

x dx

t dt ,

где x

- функция,

дифференцируемая на рассматриваемом промежутке.

Пример 3. Найти интегралы:

а)

x 2 3

2x3 4 dx ; б)

x 2 dx

;

в)

arctg3 x

dx ;

г)

2 sin x

1 x6

x 2

cos2 x

Решение:

2x3

1 t 5

а) x 2 3 2x3 4 dx

6x 2 dx dt

t 4 dt

3 2x3 5

C ;

x 2 dx

б)

3x 2 dx dt

arcsint

arcsin x3

C ;

x 2 dx

arctg3 x

arctgx

t 4

arctg 4 x

в)

t 3dt

C ;

dx dt

x 2

cos x

2 sin xdx

sinx dx

2 ln

3 t 2

г)

cos2 x

t 2

sin x

2 ln

cos x

3 cos2 x

Интегрирование по частям

Интегрированием по частям называется нахождение интеграла по формуле

		U dV U V V dU ,
где U	x , V	x - непрерывно дифференцируемые функции.

При использовании этой формулы за U берется такая функция, которая при дифференцировании упрощается, а за dV - та часть подынтегрального выражения, интеграл от которой известен или может быть найден.

Пример 4. Найти интегралы:

a) x e7 x dx ;

б)

x3 ln x

dx ;

в)

arctgx dx .

Решение:

x e7 x dx

x e7 x

e7 x dx

7 x

а)

x e7 x

e7 x

ln x

x 4

x3 ln xdx

x 4 ln x

б)

x 4

ln x

x 4

arctgx

arctgxdx

x 2

arctgx

x 2

в)

arctgx

ln x 2 1

Формула

Ньютона - Лейбница

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а;b]

и F(x) - первообразная

для f(x) на этом отрезке, то справедлива формула Ньютона-Лейбница

f (x)dx F (x)

	a	F (b) F (a) .
	b	F (b) F (a) .
	b

Пример 5. Вычислить:

							1 ln x
e 3								1	dx
		1 ln x						1
		1 ln x
						dx		x
1			x			dx	при			x
			x

							при			x
	3 3
	3 3			16	1 .
	4			16	1 .
	4

e 3 1 ln x dx . Решение:

1 x

t
							4
dt				2 3
							t 3		3
						dt		2		3 24
					t			2			1
					t		4 \ 3	1	4		1
1 t	1	ln1	1	1			4 \ 3	1	4
1 t	1	ln1	1	1
e t	1	ln e	2

Формула интегрирования по частям

		b		ba	b
		b			b
		U dV	U V		V	dU
Пример 6.		a			a
		a			a

/ 2		U x	dU		dx				/ 2	/ 2


x cos xdx							x sin x	0		sin xdx
x cos xdx	dV	cos xdx V	cos xdx			sin x	x sin x	0		sin xdx
0	dV	cos xdx V	cos xdx			sin x				0
0										0

	sin		0 sin 0 cos x		/ 2		cos		cos 0		1.
2		2		0		2		2		2

Площадь плоской фигуры

y	y f (x)
y f (x)	y




					a			b
			x						x
a		b	x						x
						y	(x)


	b					b
S		f x dx			S	f x	x dx
	a					a
Пример 6. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
а) y x 2		x , y x 3 ;	б) y ln x , x e , y 0 .
Решение. Следует сделать чертеж.
а) фигура ограничена параболой y x 2				x и прямой y x			3

Находим точки пересечения

линий:

y	x 2	x
		;
y	x	3
x 2	x	x	3;
x 2	2x	3	0;
x1	1	x2	3.

	3						3			3			3	x	3		3
S		x 3 x 2			x dx		2x 3 x 2 dx x 2					3x		x

											1		1	3			1
	1						1							3		;
	1						1

9	1	9	3	9		1	10	2	.
9	1	9	3	9	3		10	3	.
					3			3
б) фигура ограничена графиком функции y ln x ,											прямой x				e и y 0 -
осью абсцисс.

	e ln xdx	U	ln x	dU	dx

S					x
S					x
	1	dV	dx	V x

		x	e	e	1		e


		x ln x		x		dx e x

1	е		1	1	x		1

e e 1 1

Задачи для выполнения контрольной работы № 2

1-20. Найти пределы:

1.	а) lim				5x						2x 2							2				.
1.	а) lim							2x					1									.
	x	1						2x					1

		2
		2
2.	a) lim		x 4						1			.
2.	a) lim							x3				.
	x	11						x3
3.	a) lim			x 2						5x						6			.
3.	a) lim							x 2					9						.
	x	3						x 2					9

4.		1							2						x		2				.
	a) lim
	a) lim
	x	1 2x 2										5x					3
5.	a) lim								x3							1000								.
5.	a) lim											20x 2												.
	x	10 x3										20x 2										100x

6.	a) lim					1			2x									3			.
6.	a) lim																				.
	x	1 x 2										2x					3

7.	a) lim						x 2					3x						3				1	.
7.	a) lim										x					1							.
	x	1									x					1
8.	a) lim		2x 2									5x					7				.
8.	a) lim																				.
	x	1 3x 2											x				2
9.	a) lim							x 2										.

								x 2
	x	0						x 2				1				1
10. a) lim						2x 2								x			1			.
10. a) lim								x					1 2							.
	x	1						x					1 2

б) lim

10x

3 x 2

б)

lim

8x3

x 2

б) lim

x 2

б) lim

2x 2

x 4

б) lim

x 2

1000x

б) lim

3x 2

б) lim

8x 2

б) lim

3x 2

4x5

б) lim

4x 2

2x5

б) lim

x 2

3x3

11.	a) lim							8x3			1								.
11.	a) lim																		.
	x		1 6x 2							5x				1
	x		2
			2
12.	a) lim						x3			3x				2						.
12.	a) lim																			.
	x			1 2x 2							3x					1

13.	a) lim					2				x	3		.
13.	a) lim						x 2						.
	x	7					x 2		49
14.	a) lim				x 2				2x		1			.
14.	a) lim						x3			x				.
	x	1					x3			x
15.	a) lim							x3			1							.
15.	a) lim																	.
	x			1 x 2						3x				2
16.	a) lim						1			9x 2										.
16.	a) lim																			.
	x		1 3x 2							10x						3
	x		3
			3
17.	a) lim						3x3				24				.
17.	a) lim						2								.
	x	2 x					2		5x			6
18.	a) lim			3x 2						4x		1				.
18.	a) lim						2									.
	x	1 x					2		3x			2

19. a) lim							1			3x				4			.
19. a) lim								x			5						.
	x	5						x			5

20.a) lim x 2 x .

x1 x 1

б) lim	9x3	7x	1	.
	3x 2	10x	7
x

б) lim

x 7

3 x

б) lim

1 2

2x 2

б) lim

5x 2

2x 2

б) lim

1 3

б) lim

9x 2

3 x3

б) lim

5x 2

3x3

б) lim

x 4

3x 2

б) lim

x 4

x 2

б) lim

100x 2

15x

21-40. Найти производные dy данных функций в п. (а,б), в п.(в) dx

найти полный дифференциал функции Z = f(x,y).

21. a) y 3tgx x sin3 4x .	б) y	ln 1	x 2	.
		1	x 2

в) f (x, y) 5y 6

3x7 y x .

lnsin x

x 2

22. a) y

5 cosx

б) y

lncos x

в) f (x, y) 2x7 y2

4x 5y2 .

23. a) y

5x3

б) y

arctg

в) f (x, y) x3 y

2x 7 y .

ecos2 x

3x2

24. a) y

x 2

б) y

в) f (x, y) 5x3 y2

6x 7 y .

25. a) y

e2x 3

x 2

б) y

cos2x

в) f (x, y) 7x2 y

4x 11y .

3cos2

26. a) y

arctgx2

e2x .

б) y

в) f (x, y)

3x4

xy3

2 y5 3x .

27. a) y

e x sin 3x

3cos 3x .

б) y

arcsin

в) f (x, y) 8x5

x3 y 4 y3

28.

a) y

e5x

x cos2 x .

б) y

в) f (x, y)

3x2 y

4 y2

2x .

2 y

29.

a) y

16x

3 x2 .

б) y

2sin x .

в) f (x, y) 7x y 10x3y5 .

5sin x

sin 2x

30.

a) y

x tg2x .

б) y

sin 2x

в) f (x, y)

x3 y5

3y2 .

4 y2

arcsin4x

31.

a) y

1 ln x cos5 1

2x .

б) y

1 4x

в) f (x, y) 8x2 y3

2x 3y .

32.

a) y

x arcsin(ln

x) .

б) y

в) f (x, y)

3x2 y

4x 7 y .

33.

ln2 1

e2x .

ctg2x

a) y

б) y

sin 2x

в) f (x, y) x4 3x8 y 5xy2 .

34.

a) y

e 2x

ln tg

б) y

9 4x5

3x4

в) f (x, y) 4x2 y2 8y xy3 .

35.

a) y

3tg

e2x cos3x .

б) y

ln2 x

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
13.11.2022980.4 Кб35108.pdf
#
13.11.2022980.41 Кб25109.pdf
#
13.11.2022980.47 Кб165110.pdf
#
13.11.2022981.38 Кб35111.pdf
#
13.11.2022982.09 Кб45112.pdf
#
13.11.2022982.28 Кб35113.pdf
#
13.11.2022982.59 Кб05114.pdf
#
13.11.2022982.79 Кб15115.pdf
#
13.11.2022983.02 Кб35116.pdf
#
13.11.2022983.26 Кб125117.pdf
#
13.11.2022983.68 Кб55118.pdf