§ 9. Понятие несобственного интеграла
При моделировании некоторой ситуации на неопределённо долгий срок (например, при определении оптимального долгосрочного накопления) появляются интегралы с бесконечно большим верхним пределом. В этом случае применение формулы Ньютона-Лейбница становится не совсем корректным:
,
где
Решение проблемы – в переходе к пределу:
.
Если предел
существует и конечен, интеграл сходится
и равен некоторому числу; если предел
не существует или бесконечен, интеграл
расходится.
Интегралы по неограниченной области называют несобственными интегралами 1-го рода.
Пример 1.
Найдём
.
Перейдём к пределу:
.
Интеграл сходится и равен 1 (сходится к числу 1).
Пример 2.
Чтобы найти
,
переходим к пределу:
.
Величина
не играет роли: интеграл расходится и
бесконечен.
Пример 3.
Решение:
.
Поскольку величина
не определена (грамотнее вообще не
записывать её в решении), интеграл
расходится: он принимает значения от
–1 до +1, возвращаясь к каждому из них
через очередные
ед. по оси OX.
Фактически, во всех трёх примерах применялась формула Ньютона-Лейбница и в первообразную подставляли бесконечность, однако запись вида
считается не совсем грамотной. Тем не менее ей можно пользоваться для чернового решения вопроса.
Пример 4. Решение, справедливо не гарантирующее хорошей оценки:
,
но дающее верный
ответ: интеграл сходится к значению
.
НС1. Найдите значение или установите расходимость интегралов:
1) а)
; б)
;
в)
; г)
; д)
;
2) а)
; б)
;
в)
;
г)
; д)
;
3) а)
; б)
; в)
; г)
; д)
;
4) а)
; б)
; в)
; г)
; д)
;
5) а)
; б)
; в)
; г)
; д)
.
При исследовании несобственных интегралов можно выполнять те же действия, что при вычислении обычных.
НС2. При помощи замены переменной или интегрирования по частям проверьте сходимость интегралов:
1) а)
; б)
;
в)
; г)
; д)
;
2) а)
; б)
;
в)
; г)
; д)
.
Можно увидеть,
что необходимое условие сходимости
интеграла
– это условие
.
Поэтому, если при бесконечно большом
аргументе функция не стремится к 0,
интеграл заведомо расходится. Если же
функция стремится к 0, весь вопрос в том,
насколько быстро это происходит.
Задача.
Выясним, при каких p
сходится интеграл
.
Если
,
то
– интеграл расходится. Если же
,
то
.
Предел
существует и конечен, если
– в этом случае бесконечность остаётся
в знаменателе и предел равен 0.
Ответ:
интеграл равен
при
и расходится при
.
Иногда бесконечен не верхний, а нижний предел интегрирования (например, при изучении инвестиций, сделанных в прошлые годы):
.
Реже встречаются
интегралы по всей числовой оси
.
Несобственными интегралами 2-го рода называют интегралы от функций, неограниченных в одном из концов отрезка интегрирования. Для их вычисления также переходят к пределу:
Пример 5. Поскольку функции не существуют в одном из концов отрезка,
а)
;
б)
.
Такие интегралы в экономике возникают редко и более характерны для исследований в области астрофизики и геологии.