- •Часть 2
- •Предисловие
- •I. Основы интегрирования
- •§ 1. Табличное интегрирование
- •Простейшая таблица неопределённых интегралов
- •Основное правило табличного интегрирования:
- •§ 2. Подведение под знак дифференциала
- •Примеры подведения под знак дифференциала
- •§ 3. Интегралы от функций, содержащих квадратичное выражение
- •§ 4. Замена переменной в неопределённом интеграле
- •§ 5. Интегрирование по частям
- •§ 6. Замечание о двух способах интегрирования
- •§ 7. Интегрирование дробно-рациональных функций
- •Замечание об универсальном методе неопределённых коэффициентов
- •§ 8. Определённый интеграл
- •Вычисление площади плоской фигуры
- •§ 9. Понятие несобственного интеграла
§ 7. Интегрирование дробно-рациональных функций
Рациональная дробь – это отношение двух полиномов (многочленов)
и .
Дробь правильная, если . Если , дробь неправильная, и её можно представить как сумму некоторого полинома и правильной дроби. Например,
.
Элементарными называют дроби 4 видов:
,
где – целое число, и (иначе дробь 3-го вида распадается на сумму двух дробей 1-го вида).
Элементарность означает, что дробь невозможно разложить на сумму более простых рациональных дробей. Неэлементарную, но правильную дробь всегда можно разложить на сумму элементарных:
; , и т.п.
Итак,
– любая дробь – или правильная, или неправильная;
– неправильная дробь равна сумме полинома и правильной;
– правильная дробь равна сумме элементарных дробей.
Интегралы от элементарных дробей находят по стандартным схемам:
1) ;
2) ;
3) заменой приводит к сумме первообразных вида и с некоторыми коэффициентами.
Дробь 4-го типа интегрируется, но сложно, и здесь не рассматривается.
Далее показано, как разложить дробь в простых случаях. За основу взят метод «вычёркивания». Общая схема разложения и универсальный метод неопределённых коэффициентов довольно громоздки, их можно найти в литературе (и также в конце § 7). При решении применяют любой способ поиска неопределённых коэффициентов – или более понятный, или более короткий.
ИД1. В заданиях 1 – 6 найдите числа A, B, C в разложении дроби на сумму элементарных, в зависимости от вида и от значений m, n, p, а затем проинтегрируйте полученную сумму:
1) ;
а) m = 0, n = 0, p = 1; б) m = 0, n = 1, p = 0; в) m = 1, n = 0, p = 0;
г) m = 0, n = 2, p = –3; д) m = 3, n = 0, p = –2; е) m = –1, n = 3, p = 0;
ж) m = 1, n = 1, p = –1; з) m = 0, n = 2, p = –8; и) m = 1, n = 0, p = –9;
к) m = 1, n = 2, p = 0; л) m = 1, n = –1, p = –12;
2) ;
а) m = 0, n = 0, p = 1; б) m = 0, n = 1, p = 0; в) m = 1, n = 0, p = 0;
г) m = 0, n = 0, p = 5; д) m = 1, n = –2, p = 0; е) m = 1, n = 0, p = 4;
ж) m = 0, n = 5, p = –3; з) m = 1, n = 2, p = –3; и) m = –1, n = 0, p = 1;
к) m = 0, n = 8, p = –24; л) m = 3, n = 0, p = –4;
3) ;
а) m = 0, n = 0, p = 1; б) m = 0, n = 1, p = 0; в) m = 1, n = 0, p = 0;
г) m = 1, n = 0, p = –1; д) m = 1, n = –1, p = 0; е) m = 3, n = –10, p = 0;
ж) m = 0, n = 2, p = 5; з) m = 1, n = –2, p = 3; и) m = –1, n = 0, p = 2;
к) m = 0, n = –7, p = 6; л) m = 6, n = 0, p = –7;
4) ;
а) m = 0, n = 0, p = 1; б) m = 0, n = 1, p = 0; в) m = 1, n = 0, p = 0;
г) m = 0, n = 2, p = 3; д) m = 0, n = 3, p = 2; е) m = 2, n = –3, p = 4;
ж) m = –1, n = 5, p = 0; з) m = 1, n = 2, p = 0; и) m = 1, n = 0, p = –9;
к) m = 2, n = 3, p = 0; л) m = 0, n = 25, p = 10;
5) ;
а) m = 0, n = 0, p = 1; б) m = 0, n = 1, p = 0; в) m = 1, n = 0, p = 0;
г) m = 0, n = 4, p = 5; д) m = 4, n = 0, p = 5; е) m = 2, n = 3, p = 0;
ж) m = 1, n = 0, p = –4; з) m = –1, n = 2, p = 0; и) m = 0, n = 3, p = –1;
к) m = 3, n = 0, p = –1; л) m = 1, n = 3, p = 0;
6) ;
а) m = 0, n = 0, p = 1; б) m = 0, n = 1, p = 0; в) m = 1, n = 0, p = 0;
г) m = 1, n = 0, p = –1; д) m = 0, n = 1, p = 1; е) m = 0, n = 1, p = –1;
ж) m = 1, n = 1, p = 0; з) m = 3, n = 0, p = 2; и) m = 1, n = 0, p = –16;
к) m = 1, n = 4, p = 0; л) m = 1, n = –4, p = 0.
Пример 1. Пусть для дроби указаны параметры m = 3, n = 0 и p = –5. Тем самым дана дробь , или .
Когда все множители в знаменателе – линейные скобки, дробь раскладывается так, как указано в заданиях 1 и 2:
.
Задача – подобрать коэффициенты , чтобы равенство выполнялось при любом значении x (при котором знаменатель не обращается в 0).
Это можно сделать методом «вычёркивания», для чего
корень знаменателя,
соответствующего очередному коэффициенту,
подставляем в первоначальную дробь,
из которой этот знаменатель вычеркнут.
Таким образом,
в точке , т.е. ;
в точке , т.е. ;
в точке , т.е. .
Поместим A, B, C не в числителях, а перед дробями:
.
Значит, .
Все интегралы – простейшие и находятся по таблице, поэтому
.
Ответ: а) ;
б) .
Пример 2. Пусть для дроби указаны m = 2, n = –5, p = 1 и тем самым дана дробь . Все множители – линейные скобки, поэтому
.
Корни знаменателей: . По аналогии с примером 1:
в точке ;
в точке ;
в точке .
Итак, , и соответственно
.
По таблице основных интегралов находим, что
.
Ответ: а) ;
б) .
Пример 3. Пусть для дроби даны параметры m = 1, n = 0, p = –3. Раскладываем дробь . Множители в знаменателе линейны, но один из них – в квадрате. В этом случае
.
Скобке, стоящей в квадрате, всегда соответствуют 2 дроби. Знаменатель одной из них – это скобка в 1-й степени, знаменатель другой – та же скобка в квадрате.
Корни знаменателей . Коэффициенты A и C можно найти методом вычёркивания:
в точке ;
в точке
(поиск C требует умножения первоначальной дроби на , а не на ).
Коэффициент B вычёркиванием найти нельзя – возникнет деление на 0.
Чтобы найти B, представим, что будет, если свести всё к общему знаменателю:
.
Достаточно увидеть, что в числителе появится , или , а по условию в числителе стоит с коэффициентом 1. Значит, . Подставим : , откуда . Итак,
,
и тогда
.
Здесь , остальные интегралы – табличные и находятся так же, как в примерах 1 и 2.
Ответ: а) ;
б) .
Замечание. Коэффициент B можно найти и другими способами.
Так, можно увидеть, что после приведения к общему знаменателю в числителе появится , а в числителе первоначальной дроби x в первой степени отсутствует (т.е. стоит 0x). Тогда из уравнения при и также получается .
Наконец, можно взять любое число, отличное от уже использованных значений и , например, , и подставить его в основное равенство:
,
что равносильно . Поскольку и , из уравнения находим .
Любой верный способ даёт одно и то же значение коэффициента.
Пример 4. Разложим дробь . В знаменателе одна из скобок – в квадрате. В этом случае, по аналогии с примером 3,
.
Так же находим
при , а именно ;
при : .
Чтобы найти A, возьмём любое значение x, кроме –3 и 2, например, , и подставим в разложение дроби, учитывая, что и :
.
После упрощений , или . Значит, (значение точное). Итак, .
Тогда , интегралы находятся так же, как в примере 3.
Ответ: а) ;
б) .
Пример 5. Разложим дробь и проинтегрируем. Один из множителей знаменателя – квадратичное выражение. Согласно общей схеме, в числителе соответствующей дроби пишется не просто коэффициент, а линейная функция относительно x:
.
Методом вычёркивания можно найти только C:
при .
Можно быстро найти A, если заметить, что в числителе исходной дроби нет слагаемого с , а в правой части основного равенства приведение к общему знаменателю даёт :
.
Тогда , откуда .
Коэффициент B также легко найти, если увидеть, что после того же приведения остаются свободные коэффициенты , а в исходной дроби стоит свободный коэффициент –7.
Поэтому , или , и тогда . Получили разложение
.
Значит,
.
Как показано ранее (например, в § 2),
.
Остальные интегралы – табличные.
Ответ: а) ;
б)
(модуль заменили простыми скобками, поскольку всегда ).
В следующем примере просто подставим числа и решим уравнения.
Пример 6. Проинтегрируем . Заметим, что , поэтому
.
Находим – как в предыдущих примерах. Далее подставим , затем :
;
.
Умножим 1-е уравнение на 9, а 2-е – на –9:
Вычитая одно уравнение из другого, замечаем, что , и тогда .
Коэффициент A известен, выгодно выразить и подставить . Тем самым .
Итак,
, соответственно
.
Ответ: а) ;
б) .
Замечание. В примере 6 получается довольно простая система уравнений. Иногда выгоднее заменить дроби на десятичные, например,
(где ), подставить и перенести полученные числа вправо:
(например, методом Крамера).
ИД2. Проинтегрируйте дробь , где числитель указан, разложив её на сумму при заданных значениях a, b, c:
1) ;
а) a = 0, b = 1, c = 2; б) a = 0, b = 1, c = –1; в) a = 0, b = 2, c = 3;
г) a = 1, b = 2, c = 3; д) a = 1, b = 2, c = –3; е) a = –1, b = 2, c = 3;
ж) a = 2, b = –2, c = 1; з) a = 2, b = –2, c = –1; и) a = 3, b = 4, c = 5;
к) a = 3, b = 4, c = –5; л) a = 3, b = –4, c = 5; м) a = –1, b = –3, c =–5;
2) ;
а) a = 1, b = 2, c = 3; б) a = 1, b = 2, c = –3; в) a = 1, b = –1, c = 2;
г) a = 1, b = –1, c = –2; д) a = 1, b = 2, c = –2; е) a = 1, b = –2, c = 3;
ж) a = 2, b = 3, c = –4; з) a = 2, b = –3, c = 4; и) a = 3, b = 4, c = –3;
к) a = 3, b = 4, c = –4; л) a = 1, b = 3, c = 5; м) a = 1, b = 3, c = –5;
3) ;
а) a = 0, b = 1, c = –1; б) a = 1, b = –1, c = 2; в) a = 1, b = 2, c = –2;
г) a = –1, b = 2, c = –2; д) a = 1, b = 2, c = 3; е) a = 1, b = 2, c = –3;
ж) a = 1, b = –2, c = 3; з) a = 1, b = –2, c = 3; и) a = –1, b = –2, c = 3;
к) a = 3, b = 4, c = 5; л) a = 3, b = –4, c = 5; м) a = 3, b = 4, c = –5.
ИД3. Проинтегрируйте дробь , где числитель указан, разложив её на сумму при заданных значениях a, b:
1) ;
а) a = 0, b = 1; б) a = 0, b = –1; в) a = 1, b = 0; г) a = –1, b = 0;
д) a = 1, b = –1; е) a = –1, b = 1; ж) a = 0, b = –2; з) a = 2, b = 0;
и) a = 1, b = 3; к) a = 3, b = –1; л) a = 3, b = –4; м) a = 4, b = –5;
2) при тех же значениях a, b, что в задании 1;
3) при тех же значениях a, b, что в заданиях 1 и 2.
ИД4. Проинтегрируйте дроби , разложив на сумму дробей при разных числителях и одних и тех же значениях a, b:
1) ;
а) a = 1, b = 0; б) a = 1, b = 1; в) a = 1, b = –1; г) a = 1, b = 2;
д) a = 1, b = –2; е) a = 2, b = 0; ж) a = 2, b = 1; з) a = 2, b = –1;
и) a = 2, b = 2; к) a = 2, b = –2; л) a = 4, b = 3; м) a = 4, b = –3.
2) при тех же значениях a, b, что в задании 1;
3) при тех же значениях a, b, что в заданиях 1 и 2.
ИД5. (*) Проинтегрируйте дроби, разложив их на элементарные. Если необходимо, предварительно получите целую часть и правильную дробь:
1) а) ; б) ; в) ; г) ; д) ;
2) а) ; б) ; в) ; г) ; д) ;
3) а) ; б) ; в) ; г) ; д) .