- •Часть 2
- •Предисловие
- •I. Основы интегрирования
- •§ 1. Табличное интегрирование
- •Простейшая таблица неопределённых интегралов
- •Основное правило табличного интегрирования:
- •§ 2. Подведение под знак дифференциала
- •Примеры подведения под знак дифференциала
- •§ 3. Интегралы от функций, содержащих квадратичное выражение
- •§ 4. Замена переменной в неопределённом интеграле
- •§ 5. Интегрирование по частям
- •§ 6. Замечание о двух способах интегрирования
- •§ 7. Интегрирование дробно-рациональных функций
- •Замечание об универсальном методе неопределённых коэффициентов
- •§ 8. Определённый интеграл
- •Вычисление площади плоской фигуры
- •§ 9. Понятие несобственного интеграла
§ 5. Интегрирование по частям
Формула интегрирования по частям имеет вид где – любые функции. Цель её применения – получить интеграл проще исходного и найти его каким-либо способом (например, как табличный).
В качестве берётся функция, производная которой выглядит проще, чем сама . Таким свойством обладают логарифмы и обратные тригонометрические функции. Если их нет под знаком интеграла, то обычно – полином.
Оставшаяся часть подынтегрального выражения принимается за и от неё берётся интеграл, чтобы восстановить функцию .
Реже применяются формулы , а также
, где .
Пример 1. Выбираем , тогда . Необходимо найти и :
, .
Подставим в формулу интегрирования по частям:
.
Интеграл от уже известен и равен . Значит,
.
Ответ: (вынесли общий множитель и упростили).
Пример 2. Выбираем , тогда ,
, .
Подставим в формулу интегрирования по частям:
.
Поскольку , получаем
Ответ: , или .
Пример 3. Пусть , тогда , далее
, .
По той же формуле интегрирования по частям
.
Но , и тогда, с заменой на С,
Ответ: .
Обратите внимание, что константа при интегрировании по частям пишется только на последнем шаге.
ИЧ1. Найдите интегралы
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) .
ИЧ2. Найдите интегралы, дважды выполнив интегрирование по частям:
1) ;
2) ;
3) .
Пример 4. Найдём . Выбираем , тогда и , поэтому
.
Новый интеграл также находится по частям. Теперь , соответственно , и тогда (подразумевая в будущем ответе)
.
Подставим этот результат вместо в равенство, полученное на 1-м шаге:
.
Если вынести за скобку и упростить, получим
Ответ: .
Пример 5. Чтобы по частям найти , выбираем и , тогда . Значит,
,
что равносильно .
Теперь берём , тогда . Отдельно находим новый интеграл
.
Но , и поэтому
,
где . Возвращаясь к предыдущему шагу, получаем, что
,
или, после необязательных упрощений, окончательный
Ответ: .
ИЧ3. Найдите интегралы по частям, выбрав подходящие и :
1) ;
2) ;
3) .
Пример 6. Найдём , для чего запишем его как . Под знаком интеграла есть логарифм, именно его следует взять в качестве U: . Тогда .
Находим , также , тогда
.
Далее .
Ответ: .
Пример 7. Найдём . Берём и, очевидно, (постоянную C не пишем). Кроме того, , тогда
,
где интеграл можно найти так:
.
Удобно запомнить, что при любом . Итак,
Ответ: .
Более сложные интегралы вида при обычно находят так:
1) заменой сводят к интегралу ;
2) выбирают , ;
3) по частям приходят к интегралу ;
4) берут его по стандартной схеме, приведённой в любом учебнике.
§ 6. Замечание о двух способах интегрирования
Иногда возникают следующие ситуации:
а) перед интегрированием по частям необходимо заменить переменную;
б) замена переменной необязательна, но упрощает или ускоряет интегрирование по частям;
в) интеграл можно найти как по частям, так и заменой переменной.
Пример 1. Пусть , тогда , и , после чего .
Интеграл легко берётся по частям: , поэтому
.
Пример 2. Найдём . Обозначим , откуда , и . Тем самым , где .
Интегрируя по частям, получим, что .
Значит, .
ЗС1. Заменив переменную и проинтегрировав по частям, найдите
1) ;
2) .
Пример 3.
1-й способ. Заменим , тогда , и поэтому
.
Но , и тогда .
2-й способ. Обозначим , тогда . Находим , а также
.
По формуле интегрирования по частям
.
Поскольку , то
.
Результаты после упрощения отличаются только числом, что объясняется произвольным характером постоянной С.
Пример 4. Найдём заменой, а затем – по частям.
1-й способ. Заменим , тогда . Подставим:
.
Но , поэтому
.
2-й способ. Выбираем , , тогда и . Подставим в формулу интегрирования по частям:
.
Упростим, чтобы сравнить с тем, что получено ранее:
.
Результаты совпадают.
ЗС2. Найдите интегралы двумя способами – по частям и заменой переменной. Сравните результаты. Оцените, какой способ проще или удобнее:
1) ;
2) ;
3) .
Пример 5. Интеграл можно найти по частям, взяв и :
.
А можно заменить , тогда и , и потому .
Взяв и соответственно , применяем интегрирование по частям:
.
Но и , и, возвращаясь к старой переменной, получаем тот же ответ.
Пример 6. Интеграл можно найти по частям:
,
а можно заменить , а также , и тогда .
Этот интеграл также известен:
.
Но , а , и ответ совпадёт с полученным выше.
Пример 7. Найдём интеграл вначале непосредственно по частям, а затем – также по частям, но после предварительной замены.
1-й способ. Пусть , тогда , , , и
.
2-й способ. Заметим, что , и обозначим . Тогда и, с учётом этого, .
Взяв , получаем, что , а также и .
По формуле интегрирования по частям
.
Но и по свойствам логарифма , поэтому ответы одинаковы.
ЗС3. Найдите интегралы непосредственно по частям, а затем по частям, но предварительно заменив переменную:
1) ;
2) .