![](/user_photo/_userpic.png)
- •Часть 2
- •Предисловие
- •I. Основы интегрирования
- •§ 1. Табличное интегрирование
- •Простейшая таблица неопределённых интегралов
- •Основное правило табличного интегрирования:
- •§ 2. Подведение под знак дифференциала
- •Примеры подведения под знак дифференциала
- •§ 3. Интегралы от функций, содержащих квадратичное выражение
- •§ 4. Замена переменной в неопределённом интеграле
- •§ 5. Интегрирование по частям
- •§ 6. Замечание о двух способах интегрирования
- •§ 7. Интегрирование дробно-рациональных функций
- •Замечание об универсальном методе неопределённых коэффициентов
- •§ 8. Определённый интеграл
- •Вычисление площади плоской фигуры
- •§ 9. Понятие несобственного интеграла
§ 4. Замена переменной в неопределённом интеграле
Иногда удаётся
перейти к более простому интегралу,
заменив переменную. Пусть дан
.
Представим, что аргумент – некоторая
функция
.
Тогда
– новая функция от параметра t.
Обозначим её как
.
Кроме того,
.
Подставим:
.
Но
также новая функция от параметра t,
обозначим её как
.
Получили новый интеграл
.
Задача – подобрать замену
так, чтобы новый интеграл оказался проще
исходного.
Для этого некоторую
часть функции
заменяют параметром t:
,
выражают из этого равенства переменную:
и затем уже приходят к интегралу от
.
Как правило, t
– это какой-либо корень, скобка,
показательная функция и т.п. – всё, что
неудобно интегрировать.
Фактически
интегрирование заменой переменных
начинается не с поиска подстановки
,
а с обозначения некоторой части функции
новой буквой t,
с последующим выражением x
как функции
и пересчётом
.
Пример 1.
Найдём
.
Можно раскрыть 4-ю степень скобки,
получить 5 слагаемых, раскрыть произведение
двух скобок и проинтегрировать всё, что
получится. Очевидно, такой способ
несколько громоздок. Тем более неясно,
что делать при ещё больших
и (или) нецелых степенях.
Сделаем так: пусть
,
тогда
и соответственно
.
Также найдём дифференциал:
.
(Вспомним, что
.)
Подставим:
.
Теперь очень легко раскрыть скобки:
и найти интеграл как сумму двух табличных интегралов:
,
где
.
Итак,
,
где
.
Можно вернуться к исходной переменной:
и даже вынести общий множитель:
,
но это не всегда легко или целесообразно.
ЗМ1. Найдите интегралы, заменив скобку на новую переменную:
.
Пример 2.
Найдём
.
Пусть
,
тогда
и
.
Также нам понадобится величина
.
Подставим в интеграл и сведём к общему
знаменателю:
.
Интеграл распадается на сумму табличных:
,
где
.
Вынесем за скобку
и вернёмся к старой переменной:
.
ЗМ2. Найдите интегралы при помощи подходящей замены знаменателя:
1)
;
2)
;
3)
.
Пример 3. Найдём
интеграл
.
Заменим
,
тогда
,
и
.
Поэтому
.
Упростим и вернёмся к старой переменной:
.
Можно свести к
общему знаменателю и найти, что
.
Пример 4. Найдём
.
Заменим
,
тогда
и
.
Также
.
Подставим:
.
По отдельности находим
а)
;
б)
;
в)
(табличный интеграл);
тогда
,
где
.
Итак,
.
В следующих примерах путём замены избавляются от корня.
ЗМ3.
Найдите интеграл при помощи замены
,
выразив
,
заменив
и перейдя к интегралу от переменной t:
.
Пример 5.
Заменяем:
.
Подставим в интеграл:
.
Здесь 1/4 представили
как 0,25 и
– как
.
Учтём, что
:
.
Можно вынести корень за скобку, упростить и получить, что
.
Замечание. Интеграл можно найти и без замен, представив числитель так:
,
затем сократив
и применив основное правило табличного
интегрирования. В более сложных интегралах
такой способ не поможет.
ЗМ4. При помощи замены найдите
.
Пример 6.
Чтобы найти
,
заменяем:
.
Подставив
,
находим табличный интеграл и возвращаемся к переменной x:
.
Ответ:
.
ЗМ5. При помощи замены найдите
.
Пример 7.
Возьмём
.
Заменив
,
подставим в
интеграл:
.
Разложим дробь на целую часть и правильную дробь:
,
тогда
.
Учтём, что
.
Поскольку
,
запишем
Ответ:
.
Пример 8. Поменяем
в примере 7 знак в подкоренном выражении
и найдём
.
Вначале отличия тоже только в знаке:
,
,
,
поэтому
.
При разложении дроби получим
,
и отличие от примера 7 окажется в поиске табличного интеграла:
.
Ответ:
.
ЗМ6. Найдите интегралы
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
Пример 9.
Заменим
,
тогда
и
.
Подставим:
.
Разбиваем на 2 интеграла, находим по таблице, возвращаемся к переменной x:
.
Ответ:
.
Пример 10.
Заменим
,
тогда
,
затем
и
.
Подставим:
.
Тем самым
,
где
.
Ответ:
.
Модуль в ответе
необязателен, поскольку
(там, где корень имеет смысл, т.е. при
всех
).
Пример 11.
Заменяем
,
тогда
и
,
откуда
.
Подставим:
.
Значит,
,
где
.
Ответ:
.
Можно заменять не корень, а весь знаменатель, в котором он находится.
Пример 12.
Найдём
.
Пусть
.
Выразим x:
,
откуда
.
Тогда
.
Поэтому
.
Интеграл разбивается на 2 простейших, и в результате
,
где
.
Итак, Ответ:
.
ЗМ7. Найдите интегралы при помощи замены :
1)
;
2)
.
Пример 12.
Найдём
.
Пусть
,
тогда
и
.
В таком случае
.
ЗМ8. Найдите интегралы
.
Пример 13.
Найдём
.
Показательные функции допускают
несколько способов замены.
1-й способ.
Заменим
,
тогда
,
поэтому
.
При этом
.
Подставим:
.
Известно, что
,
тогда
.
По таблице (интеграл 2)
.
Возвращаясь к старой переменной, запишем
Ответ:
,
что равносильно
.
2-й способ.
Заметим, что
.
Заменим
,
тогда
и
.
Подставим:
.
Ответ тот
же, что при решении 1-м способом. Учли,
что
при любом x,
поэтому модуль можно опустить.
Кроме того, в
интеграле
можно вместо замены
подвести
под знак дифференциала, как в §
2:
,
или же заменить
,
откуда
и
,
после чего получить
и найти так, как в § 3. Все ответы будут одинаковы.