![](/user_photo/_userpic.png)
- •Часть 2
- •Предисловие
- •I. Основы интегрирования
- •§ 1. Табличное интегрирование
- •Простейшая таблица неопределённых интегралов
- •Основное правило табличного интегрирования:
- •§ 2. Подведение под знак дифференциала
- •Примеры подведения под знак дифференциала
- •§ 3. Интегралы от функций, содержащих квадратичное выражение
- •§ 4. Замена переменной в неопределённом интеграле
- •§ 5. Интегрирование по частям
- •§ 6. Замечание о двух способах интегрирования
- •§ 7. Интегрирование дробно-рациональных функций
- •Замечание об универсальном методе неопределённых коэффициентов
- •§ 8. Определённый интеграл
- •Вычисление площади плоской фигуры
- •§ 9. Понятие несобственного интеграла
§ 2. Подведение под знак дифференциала
Метод подведения под знак дифференциала редко приводится в литературе, поэтому вначале покажем, почему он выгоден.
Нередко в подынтегральной функции можно увидеть 2 фрагмента, один из которых похож на производную другого. Например,
а) в интеграле
числитель x
похож на производную от
:
;
б) интеграл
можно представить как
,
где
;
в) функция
в интеграле
–
это
.
Подобные интегралы часто предлагают находить, заменив новой переменной функцию, производная которой обнаружена. Так, для указанных интегралов
а) если
,
то
,
тогда
и
,
откуда
;
б) поскольку
,
то
,
тогда
и
,
поэтому
.
Более подробно метод замены изложен в § 4.
Однако вычисление
3-го интеграла при помощи замены уже
связано с трудностями. Пусть, заметив,
что
,
мы заменили
.
Тогда
и
.
Выразить
через t
можно так:
(
,
поэтому
).
Подставим:
.
В результате громоздких действий практически всё сократилось и получился простой табличный интеграл. Возникает вопрос, нельзя ли было прийти к нему быстрее, если почти ни одно выражение не понадобилось.
Действительно, есть более короткое решение:
,
тогда, заменив , сразу получаем интеграл
.
Таким же образом можно было найти интегралы
а)
;
б)
.
Здесь действия показаны очень подробно, и половину из них можно пропустить. Особенно коротким сделает решение следующая
Таблица основных дифференциалов
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Примеры подведения под знак дифференциала
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
;
8)
;
9)
;
10)
.
ПД1. Найдите интегралы
1) а)
; б)
; в)
; г)
; д)
;
е)
; ж)
; з)
; и)
; к)
;
2) а)
; б)
; в)
; г)
; д)
;
е)
; ж)
; з)
; и)
; к)
;
3) а)
; б)
; в)
; г)
; д)
е)
; ж)
; з)
; и)
; к)
;
4) а)
; б)
; в)
; г)
; д)
;
е)
; ж)
; з)
; и)
;
к)
;
5) а)
; б)
; в)
; г)
; д)
;
е)
; ж)
;
з)
; и)
; к)
.
§ 3. Интегралы от функций, содержащих квадратичное выражение
При интегрировании
функций, содержащих выражение
,
поможет формула
.
Например,
а)
;
б)
;
в)
.
Полученную скобку удобно обозначить новой буквой и перейти к интегралу по этой переменной (дифференциалы новой и старой переменных совпадут).
Коэффициент перед квадратом лучше выносить за скобку:
,
а затем, если возможно, и за знак интеграла. Так,
;
.
Цель замены –
перейти к интегралу без линейного
слагаемого
,
поскольку интегралы, содержащие только
,
находятся проще, и часто – по таблице.
При этом важно помнить, что
,
,
и т.п.
А именно (см. § 2),
;
;
,
где a
– любое число, и число
.
Кроме того, при
;
,
где
.
Замечание 1.
После замены часто появляются интегралы
,
или
.
Их можно найти так:
,
аналогично во 2-м и в 3-м случае.
Однако интегралы
вида
достаточно сложны. Воспользуйтесь
готовыми формулами
;
(проверьте дифференцированием, что это действительно так).
КИ1. Найдите при помощи равенства и замены :
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
Пример 1 (для
краткости
обозначено как
.
а)
;
б)
.
При поиске
и
учли, что
и
соответственно, и применили основное
правило табличного интегрирования.
КИ2. Найдите интегралы, разложив каждый на сумму интегралов, один из которых – табличный, а другой аналогичен найденным в задании КИ1:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
Пример 2.
Найдём интеграл
,
разложив на сумму двух:
.
Ответ:
(модуль не нужен, поскольку всегда
).
Пример 3.
Возьмём таким же образом интеграл
:
.
Рациональнее всего найти интегралы так:
а)
,
где учли, что
;
б)
.
Тогда
,
где
.
Ответ:
.
Замечание 2.
В дальнейшем часто придётся разбивать
интеграл на 2 или 3 интеграла, в каждом
из которых появляется константа (
,
и т.д.). Для краткости будем подразумевать
(но не указывать) константы в каждом
отдельном вспомогательном интеграле
(или указывать, но не сопровождать
номером), а записывать будем лишь общую
константу C
в ответе. При этом всегда C
– некая линейная комбинация
.
КИ3. Получив в знаменателе полный квадрат и сделав замену, найдите
1)
;
2)
;
3)
.
Пример 4.
Заметив, что
,
заменяем
,
тогда
и
.
Подставим в интеграл:
.
Пример 5.
Поскольку
,
можно сделать замену
,
при которой
и
.
Подставим:
.
Пример 6.
Здесь
,
заменяем
,
откуда
и
.
Подставим:
,
где
.
Разобьём интеграл на два:
.
Так же, как в предыдущих примерах,
,
а 2-й интеграл –
табличный:
.
Итак,
,
где
.
Тем самым
.
Пример 7.
Теперь
,
замена
,
поэтому
и
.
Переходим к интегралу от новой переменной:
,
где
.
Найдём отдельно
а)
;
б)
;
в)
(табличный интеграл).
Умножим 2-й результат на 7, 3-й на 10, соберём подобные слагаемые и вернёмся к старой переменной:
.
КИ4. Найдите интегралы от иррациональных функций:
1)
;
2)
;
3)
.
Пример 8.
Найдём
.
Похожий интеграл без корня уже найден
выше (пример 6), и достаточно на
соответствующем шаге добавить корень:
,
где . Разбиваем
и находим
а)
;
б)
.
Таким образом,
,
где
.
Ответ:
.
Пример 9.
Полный квадрат удобно получить так:
,
где
.
Тогда
.
Заменим
.
При этом
и
:
.
Действуем так же, как в примере 8:
а)
;
б)
,
.
Ответ:
.
Замечание 3.
Нельзя из-под корня выносить знак «–»
или любой отрицательный общий множитель:
;
,
и т.д. В примере 9 показан единственно
возможный правильный способ действий.
Пример 10.
Посмотрим, что изменится, если в примере
9 поставить квадрат: найдём
.
Теперь после тех же замен окажется, что
.
Как обычно,
,
и 2-й и 3-й интегралы находятся так же, как в примере 9:
;
.
Согласно указаниям на стр. 19, 1-й интеграл можно преобразовать так:
,
где снова , а
.
Новый интеграл
находят или тригонометрической
подстановкой
,
или повторным интегрированием по частям,
взяв
и
.
Воспользуемся готовой формулой
(стр. 19):
.
Умножим все интегралы на соответствующие им коэффициенты и соберём вместе:
,
в ответе приведём подобные слагаемые.
Ответ:
.