Osetinskiy_N.I._Matemat._teoriya_sistem_upravleniya._Ch._2

Предисловие

Данное учебное пособие является продолжением учебного пособия Осетинский Н.И. Математическая теория систем. Методы инвариантного анализа в теории управления. Часть I . В нем рассматриваются математические проблемы управления линейной динамической системой при помощи обратной связи по состоянию и при помощи обратной связи по выходу. Математическая теория управления системой при помощи обратной связи по состоянии является в настоящее время практически завершенным разделом теории систем. Теория управления системой при помощи обратной связи по выходу продолжает интенсивно развиваться. В ней имеются и уже полученные интересные результаты, и большое число задач, требующих своего решения и могущих служить темой научных исследований. Для обеих частей пособия список литературы является общим и представлен в каждой части.

1Достижимость и обратная связь

1.1Введение.

Рассмотрим систему (1.1) без выхода x(t) = Ax(t) + Bu(t), ãäå t > 0. Предположим, что входное воздействие системы изменяется согласно соотношению

см., например, [118], [124]. Это утверждение вытекает, например, из свойства инвариантности показателей управляемости системы относительно действия группы обратной связи. Следующий результат, принадлежащий М. Хейманну, позволяет в некоторых задачах заменять систему с несколькими входами на систему с одним входом [73], [124].

Теорема 1.1. Пусть (A; B) 2 rn;m(K) и b 2 B, где b 6= 0. Тогда существует такая обратная связь F : X ! U, что система (A + BF; b) 2 rn;1(K).

Интересное доказательство некоторой модификации этого утверждения принадлежит К. Бирнсу, см. разд. 6 данного пособия.

1.2Задача о размещении полюсов.

Далее будем рассматривать системы, определенные над R (èëè íàä C). В прикладных задачах обратную связь по состоянию вводят для того, чтобы изменить динамику поведения свободной системы (без управления) x = Ax некоторым желательным

образом например, обеспечить устойчивость получающейся системы или повысить ее быстродействие. Многие подобные критерии качества можно выразить в виде

условий, накладываемых на спектр Spec(A + BF ) скорректированной системы, описываемой матрицей A + BF . Так условие maxfRe : 2 Spec(A + BF )g <

4

0 соответствует условию устойчивости, а для подходящим образом выбранных параметров > 0 è 0 неравенства

maxfRe : 2 Spec(A + BF )g ; maxfjIm j : 2 Spec(A + BF )g

соответствуют условиям достаточного быстродействия при ограниченной частоте собственных колебаний системы. Оказывается, что введение обратной связи может

обеспечить выполнение любых подобных условий, если только пара (A; B) является достижимой. Следующий результат был получен М. Уонэмом [124].

Теорема 1.2. Пара (A; B) является достижимой , для любого симметрического множества из n комплексных чисел существует такая обратная связь, что

Spec(A + BF ) = .

Теорема, аналогичная 1.2 для комплексных матриц A; B è F и произвольного

множества , была доказана К. Лангенхопом [89], и В. Поповым [101].

В прикладных задачах иногда приходится различать "удовлетворительные"в некотором смысле, (скажем, устойчивые) и "неудовлетворительные"собственные числа. С этой целью разобьем всю комплексную плоскость на два подмножества

Выберем множество Cg так, чтобы

т.е. чтобы из s 2 Cg следовало бы, что s 2 Cg, и чтобы Cg принадлежала хоть одна вещественная точка. Разбиение (5.2), обладающее свойствами (5.3), называется симметрическим [124]. Пусть ( ) минимальный полином отображения A.

Рассмотрим разложение ( ) = g( ) b( ), где все принадлежащие C нули полиномаg (соответственно b) принадлежат Cg (соответственно Cb). Но так как полиномыg è b взаимно просты, то X = Xg(A) Xb(A), ãäå Xg(A) := ker g(A) è Xb(A) := ker b(A).

Подпространства Xg(A) è Xb(A) можно рассматривать соответственно как подпространства удовлетворительных и неудовлетворительных режимов отображения A. Критерий, сформулированный ниже [124], утверждает, что неудовлетворительные

собственные числа отображения A можно с помощью подходящей обратной связи по состояниям преобразовать в удовлетворительные , все неудовлетворительные режимы отображения A являются управляемыми.

Теорема 1.3. Пусть C = Cg [ Cb симметрическое разбиение комплексной плоскости. В этом случае обратная связь F : X ! U, такая, что Spec(A + BF )

Cg, существует , Xb(A) (Aj B).

Введем на комплексной плоскости области устойчивости и неустойчивости

"неустойчивых режимов"отображения A и из теоремы 5.3 вытекает следующий важный частный случай, который был доказан М. Уонэмом [124].

5

Теорема 1.4. Система (A; B) является стабилизируемой , ker +(A) (Aj B).

Можно поставить вопросы о размещении полюсов и синтезе коэффициентов характеристического многочлена матрицы переходов для случая систем, определенных над кольцами. Эта тематика имеет приложение в проблемах синтеза для семейств

систем, зависящих от параметров. Пусть R кольцо и система = (A; B) определена над R, ò.å. A 2 Rn n; B 2 Rn m; (A) = det(sEn A) характеристический полином системы . Говорят, что для разрешима задача

(A + BL) = sn + a1sn 1 + : : : + an. Несколько более слабой является задача о размещении полюсов, которая формулируется так: требуется для любого набора b1; : : : ; bn 2 R найти такую обратную связь L, чтобы (A + BL) = (s b1) : : : (s bn). Справедливы утверждения, доказанные в [60]:

Теорема 1.5. Если m = 1, то проблема синтеза для системы над R эквивалентна ее достижимости; это означает, что R(A; B) определяет сюръективный гомоморфизм Rr ! Rn, ãäå r = m(n + 1).

Теорема 1.6. Если для системы над R задача размещения полюсов разрешима, то будет достижимой.

Неизвестно, следует ли в общем случае из достижимости системы разрешимость задачи о размещении полюсов. Однако Э. Зонтаг доказал [115], что для колец с конечным числом максимальных идеалов достижимость влечет разрешимость

задачи синтеза. В случае конечности самого кольца R этот факт находит интересные приложения в теории конечных последовательностных машин [13]. Как установил А. Морз [97], для кольца полиномов от одного переменного над полем R = K[z]

теорема, обратная к 5.6, справедлива. Это верно и в более общей ситуации кольца главных идеалов. Имеются, однако, простые примеры, демонстрирующие, что даже,

когда R = K[z], из свойства достижимости еще не вытекает разрешимость задачи синтеза. Отметим, что для m = 1 и неуправляемой системы Б. Уимен [127]

описал препятствие к этому в терминах некоторой группы Ext. Следующая теорема

принадлежит К. Бирнсу [32], ее простое доказательство, использующее показатели управляемости линейной системы над кольцом и каноническую форму Бруновского, дал М. Хазевинкель [60]. Хотя показатели управляемости вводятся только в разд. 5.3, ее формулировку уместно рассмотреть здесь.

Теорема 1.7. Пусть (z) полиномиальное семейство достижимых систем над полем K, параметризованное переменными z = (z1; : : : ; zr) или эквивалентно(z) достижимая система над K[z1; : : : ; zr]. Предположим, что показатели управляемости семейства (z) постоянны как функции от z для всех значений

разрешима.

Исследования в этом направлении излагаются в работах [32], [60], [115], и др.

1.3Группа обратной связи по состоянию и показатели управляемости линейной системы.

"Самая большая"группа линейных преобразований систем из n;m(K) появляется при одновременных заменах координат состояний и входов системы, а также при

6

действии обратной связи. Это приводит к следующим преобразованиям пары (A; B)

Таким образом, группа обратной связи по состоянию F (n; m) есть подгруппа в GLn+m(K). Ее элементами являются матрицы вида

Группа F (n; m) действует на пространство n;m(K) по формуле

и возникают естественные вопросы об инвариантах этого действия и о канонических формах, то есть о классификации F (n; m)-орбит. Ответы на них впервые получены П. Бруновским [30]:

Имеется взаимно однозначное соответствие между F (n; m)-

орбитами систем из rn;m(K) и разбиениями числа n на m слагаемых: n = k1 +

: : : + km; k1 : : : km 0. В каждой F (n; m)-орбите содержится в точности одна система (Ac; Bc), называемая канонической формой Бруновского:

ãäå r = rank B è Jki åñòü ki ki-матрица, а Bk есть k-мерный вектор-столбец, в котором отлична от нуля только последняя координата (см. также [118], [124]).

Последовательности (k1; : : : ; kr) называются показателями управляемости (или наборами Кронекера) системы (A; B) и обозначаются через K(A; B). Очевидно,

они тесно связаны с индексами Кронекера линейной системы, которые подробно рассматривались в разд.4.

Пусть (A; B) 2 rn;m(K). Тогда показатели управляемости системы (A; B) можно определить при помощи следующей процедуры. Рассмотрим множество пар (i; j)

индексов из I(n; m), упорядоченное лексикографически, и определим I(A; B) I(n; m) условием:

(i; j) 2 I(A; B) , Aibj не является линейной комбинацией всех векторов

Arbs; (r; s) < (i; j):

Очевидно, в I(A; B) входят ровно n элементов (i; j). Из этого определения следует, что множество двойных индексов I(A; B) будет тонким набором: (i; j) 2 I(A; B) ,

7

(i 1; j) 2 I(A; B), см. п.3.4. Кроме того, для любой системы (A; B) 2 rn;m(K) è T 2 GLn(K) : I(A; B) = I(T AT 1; T B), и для любой обратной связи

интерес следующие результаты о показателях управляемости (см. также [124]). Предположим, что 1 m n; n = km + r, ãäå 0 r < m. Тогда для всех точек

некоторого открытого в топологии Зарисского подмножества пространства n;m(K)

Например, если (n; m) = (5; 2), то показатели управляемости для общей системы (A; B) èç 5;2(K) = K35 будут (k1; k2) = (3; 2). Åñëè æå n = 8; m = 3, то среди возможных показателей для матрицы B ранга 3 (это уже общий случай) имеются наборы: (3; 3; 2); (4; 2; 2); (4; 3; 1); (5; 2; 1); (6; 1; 1). И общим будет набор (3; 3; 2).

Теорема 1.9. Пусть (A; B) 2 rn;m(K); rank B = m è K(A; B) = (k1; : : : ; km). Тогда

Для того, чтобы имелось всего одно подпространство управляемости ненулевой размерности r, достаточно, чтобы r = n, или чтобы для некоторого j (1 j

m 1)

Если же r 6= n и условие (b) не имеет места, но r принадлежит списку (a),

то существует несчетное множество различных подпространств управляемости размерности r.

Например, если K(A; B) = (5; 2; 1), то подпространство управляемости ненулевой размерности r существует , 1 r 8; r 6= 4. Эти подпространства управляемости единственны, если = 1; 3; 8. Они принадлежат некоторому несчетному множеству

подпространств, если r = 2; 5; 6; 7.

В работе [51] доказан следующий критерий принадлежности пары систем одной F (n; m)-орбите.

Теорема 1.10. Пусть (A1; B1); (A2; B2) 2 n;m(K). Тогда следующие условия эквивалентны:

(1)(A1; B1) è (A2; B2) принадлежат одной F (n; m)-орбите;

(2)для некоторой матрицы F1 2 Km n существует матрица F2 2 Km n, такая,

что n n-матрицы A1 + B1F1 è A2 + B2F2 подобны и наоборот.

8

Отображение n;m(K) ! fKg; (A; B) 7!K(A; B) оказывается непрерывным,

если на множестве показателей управляемости ввести топологию, согласованную с частичным упорядочением:

K K0 , k1 k10 ; k1 + k2 k10 + k20 ; : : : ; k1 + : : : + km k10 + + km0 :

Интересные результаты в этом направлении и их связь с некоторыми задачами других разделов математики обсуждаются в статье [63].

Åñëè (A; B; C) 2 n;m;p(K), то по определению K(A; B; C) = K(A; B). Отметим, что K(A; B) можно ввести, исходя из индексов Кронекера сингулярного пучка

матриц (sEn A; B) [6], [82]. Впервые понятие показателей управляемости ввел

П. Бруновски [30], затем их рассматривали М. Уонэм и А. Морз [125]. Наше изложение основывается на статьях Р. Калмана [246], Г. Розенброка [107] и

М. Хазевинкеля [57], [60]. К построению K(A; B) можно подойти иначе, исходя

из взаимно простого разложения передаточной матрицы системы в произведение полиномиальных и используя расслоение Хермана Мартина [72]. Для линейной

системы (A; B; C) 2 n;m;p(K) определим ее показатели наблюдаемости как показатели управляемости пары (At; Ct). Ясно, что они также будут инвариантами

соответствующих преобразований.

1.4Расслоение Хермана Мартина.

В работе [72] предложена красивая конструкция, сопоставляющая линейной системе векторное расслоение над проективной прямой и позволяющая переопределить многие инварианты системы в терминах характеристик этого расслоения. Дальнейшее изложение в данном разделе следует [72].

справедливо тождество X(s)N(s) + Y (s)D(S) = En. Причем матрицы N(s) è D(s) определены однозначно с точностью до унимодулярных множителей из Cm m[s]. Âñå

это позволяет ввести некоторое регулярное отображение из проективной прямой P1(C) в грассманиан, т.е. их морфизм как алгебраических многообразий. Прежде

всего, для каждого s 2 C, не являющегося полюсом для матричной функции T (s), рассмотрим подпространство

T (s) := f(T (s)u; u) j u 2 Cmg Cp+m:

ßñíî, ÷òî T (s) можно доопределить на всю прямую C1, положив

T (s) := f(N(s)u; D(s)u) j u 2 Cmg Cp+m:

Очевидно, что в обоих случаях получается одно и то же подпространство размерности m, åñëè N(s) 6= 0 èëè D(s) 6= 0. Но в силу представления

X(s)N(s) + Y (s)D(S) = Em равенства N(s) = 0 è D(s) = 0 не могут выполняться одновременно. То есть для всех s 2 C1 образ T (s) это подпространство в Cp+m размерности m. Кроме того, построенное соответствие задает морфизм T (s) : C1 ! Gm(Cp+m) алгебраических многообразий, так как плюккеровы координаты

подпространства T (s) будут, очевидно, полиномиальными функциями от s. Òàê

как любое рациональное отображение гладкой кривой в проективное пространство можно продолжить до морфизма алгебраических многообразий [14], то в данной

ситуации получаем морфизм T (s) : P1(C) ! Gm(Cp+m) проективной прямой в грассманиан. Его образом будет некоторая рациональная кривая T (P1(C)).

9

Первое важное наблюдение состоит в том, что если T (s) è T 0(s) передаточные функции систем (A; B; C) è (A0; B0; C0), принадлежащих одной орбите группы обратной связи, т.е.

некоторого подмногообразия в Gm(Cp+m). Остановимся на этом подробнее. Пустьобозначает плюккерово вложение Gm(Cp+m) в проективное пространство P( m(Cp+m)), ãäå m(U) обозначает пространство элементов степени m во внешней

алгебре пространства U. Определим некоторую гиперплоскость N â P( m(Cp+m)).

Предположим, что !1; : : : ; !m линейные функции на Cp+m. Они определяют линейное отображение m(Cp+m) ! C1 при помощи соотношения

так как оно кососимметрично по векторам v1; : : : ; vm. Ядро этой линейной функции задает гиперплоскость N â P( m(Cp+m)).

Рассмотрим разложение Cp+m = Cp Cm в прямую сумму и определим линейные формы !1; : : : ; !m 2 (Cp+m) êàê !i(y; u) = ui; 1 i m; u = (u1; : : : ; um). Òî åñòü !i(y; u) åñòü i-àÿ координата вектора u. Легко проверить, что верно равенство

пересечения гиперплоскости N и кривой T (P (C)). Тогда = n, т.е. есть степень Макмиллана передаточной функции T (s).

Изложим конструкцию одного векторного расслоения над P1(C), которое естественным способом получается из передаточной функции T (s). Отметим, что векторные расслоения над проективной прямой P1(C) хорошо известны [87]: для любого целого числа k существует единственное с точностью до изоморфизма линейное расслоение O(k) íàä P1(C), и любое векторное расслоение над P1(C) изоморфно прямой сумме таких расслоений. Для описания O(k) воспользуемся открытым покрытием

U0 := f( ; ) 2 P1(C) j 6= 0g; U1 := f( ; ) 2 P1(C) j 6= 0g;

и рассмотрим тривиальные расслоения C U0 è C U1:

10