Osetinskiy_N.I._Matemat._teoriya_sistem_upravleniya._Ch._2

натуральных чисел k1 : : : kr, являющихся степенями линейных расслоений O(ki)

в разложении в прямую сумму имеется взаимно однозначное соответствие.

Пусть E универсальное расслоение над Gm(Cp+m). Тогда векторное расслоение

ET íàä P1(C) индуцированно морфизмом T , òî åñòü ET := T (E). Можно показать, что

E = f(s; y; u) j y 2 Cp; u 2 Cm; y = T (s)ug:

Из конструкции ET немедленно следует

Теорема 1.12. Пусть T (s) собственная передаточная матрица степени Макмиллана . Тогда существуют целые числа k1 : : : km 0; = k1 + : : : + km, определяющие класс векторных расслоений, изоморфных ET .

Пусть теперь (A; B) 2 rn;m(C). Рассмотрим сингулярный пучок матриц (s) := s 2 C

V (s) := f(x; u) j (A sEn)x + Bu = 0g;

åñëè æå s = 1, то пусть V (s) = f(0; u) j u 2 Cmg. Пучок (s) можно рассмотреть как однопараметрическое семейство линейных отображений Cm+n ! Cn, и тогда

V (s) åñòü ÿäðî (s). Это дает возможность определить расслоение EA;B

по формуле:

EA;B := f(s; x; u) j s 2 P1(C); (x; u) 2 V (s)g:

Следующая теорема показывает зависимость между ET è EA;B [72].

Доказательство. Определим отображение f èç EA;B â ET следующим правилом: в слое над точкой s 2 P1(C) пусть f(x; u) = (Cx; u). Проверим взаимную однозначность

f. Åñëè f(x; u) = 0, òî u = 0 è Cx = 0. Из определения EA;B и этих равенств тогда следует, что (A sEn)x = 0. Откуда CAx = 0 и по индукции CAk+1x = 0. Òàê

êàê ïàðà (A; C) наблюдаема, то x = 0 è f является взаимно однозначным. Если s не принадлежит спектру A, то размерности слоев над точкой s у расслоений ET è EA;B одинаковы. Поэтому f изоморфизм за исключением, быть может, конечного числа собственных значений s оператора A. Покажем, что размерность всех слоев

EA;B постоянна. Действительно, если x0 (s) = 0 для некоторого фиксированного s, òî x0(A sEn) = 0 è x0B = 0. Умножая справа на B, получаем x0AB sx0B = x0AB = 0. Тогда по индукции x0AkB = 0 äëÿ âñåõ k и, следовательно, в силу достижимости

x0 = 0. Таким образом, rank (s) = n è äëÿ âñåõ s размерность ядра (s) равна m. Поэтому отображение f есть изоморфизм расслоений.

Связь эквивалентности двух систем (A; B); (A0; B0) 2 rn;m(C) относительно действия группы F (n; m) с эквивалентностью соответствующих расслоений устанавливает

Теорема 1.14. Две системы (A; B) и (A0; B0) принадлежат одной F (n; m)-орбите

11

diag(B1; : : : ; Bm), и матрицы Bi имеют ki строк и m столбцов, из которых все за исключением i-го нулевые, а в i-ом все элементы, кроме последнего, равного 1,

нулевые. Тогда каноническая форма индуцирует разложение расслоения EAc;Bc â

прямую сумму линейных. Ясно, что пучок (s) есть прямая сумма пучков i(s), ãäå i(s) := (Ai sEi; Bi0), è Bi0 вектор с нулями всюду, кроме последней координаты, равной 1. Достаточно показать, что ядро отображения i(s) одномерно.

Òàê êàê (Ai; Bi) достижимая система, то ранг соответствующего пучка равен

ki, поэтому и размерность ядра единица. Ядро задается соотношением v(s) = e1 + se2 + : : : + ski eki+1. Но тогда степень линейного расслоения равна

получено разложение EAc;Bc è EA;B в прямую сумму линейных расслоений. В силу единственности разложения векторного расслоения в прямую сумму линейных (с точностью до порядка слагаемых) получаем, что показатели управляемости системы есть в точности инварианты соответствующего векторного расслоения. Но так как EA;B è EA0 ;B0 имеют одинаковые инварианты, то и системы (A; B) è (A0; B0) имеют

одинаковые показатели управляемости и, следовательно, принадлежат одной и той же F (n; m)-орбите.

2Проблема размещения полюсов при помощи обратной связи по выходу

2.1Задача синтеза, введение.

Проблема "настройки"естественных частот линейной управляемой системы при помощи выходных функций имеет длинную историю и, начиная с классических работ Найквиста, является центральной в теории линейных систем. Ее рассматривали многие авторы, привлекая разнообразный математический аппарат, в том числе комбинаторику, теорию функций комплексного переменного, геометрию и топологию. В последние двадцать лет ряд открытых проблем синтеза линейных систем был переформулирован и решен при помощи аппарата алгебраической геометрии, тогда как более классическая техника здесь оказалась бессильной.

Среди многих обзоров достижений в указанной области весьма интересной представляется статья К. Бирнса [37], где дана историческая ретроспектива исследований вопросов синтеза, этой статье мы частично следуем (см. также [1], [2], [92], [103], [124]). Например, в [37] отмечено, что наиболее важным итогом работ [92], [93], [103], [104] явилось понимание того, что некоторые задачи теории линейных систем наилучшим образом формулируются и решаются в терминах рациональных

12

функций, определенных на Римановых поверхностях. Далее, в статьях Р. Хермана и К. Мартина [72], [73] (см. также разд.5.5) указаны некоторые методы алгебраической геометрии, оказавшихся полезными в теории линейных систем. Например, при помощи теоремы о доминантном морфизме [14], [98] можно доказать, что задача синтеза для общей линейной системы подходящей размерности разрешима в случае комплексной обратной связи. Важную роль здесь играет также кривая Хермана Мартина (разд.5.5).

С т а т и ч е с к а я з а д а ч а с и н т е з а. Предположим, что задана система (A; B; C) 2 n;m;p(R) с передаточной матрицей T (s) = C(sEn A) 1B.

Статическая задача размещения полюсов (èëè задача синтеза) заключается в нахождении m p-матрицы обратной связи по выходу K, такой, что спектр матрицы

переходов системы, "замкнутой по контуру обратной связи u = Ky +v т.е. матрицы

A + BKC, состоял бы из наперед заданных комплексных чисел, каждое из которых

должно входить в этот спектр вместе со своим сопряженным. Передаточная матрица "замкнутой системы"имеет вид

Так как спектр матрицы переходов это в точности множество полюсов передаточной матрицы системы, то мы, казалось бы, приходим к характеристике полюсов новой системы как нулей определителя

Однако это неверно, так как для исходной системы полюса матричной функции T (s) должны получаться при K = 0, ÷òî äàåò det Em = 0. Äåëî â òîì, ÷òî â

соотношении (6.1) в левой части стоит рациональная функция, полюса которой это полюса незамкнутой системы, а нули это полюса замкнутой (по контуру обратной связи) системы, и некоторые из множителей в числителе и знаменателе могут оказаться общими и сократятся. Для того чтобы работать с удобным уравнением (6.2) и обойти возникшую трудность, перейдем к взаимно простому матричному разложению передаточной функции (теорема 2.6.)

Кроме того, в силу (6.1) полюса T (s) это корни уравнения det D(s) = 0. Учитывая (6.2), получаем формулу для TK(s):

которая также определяет взаимно простое разложение функции TK(s). Следовательно,

это приводит к определению полюсов замкнутой системы как решению полиномиального уравнения

дающего верный ответ det D(s) = 0 и для незамкнутой системы K = 0. То есть мы подправили формулу (6.2), редуцировав ее к правильному виду

Заметим, что в случае одномерных входов и выходов это дает известные условия, которым должно удовлетворять инвариантное относительно сопряжения множество

чисел fs1; : : : ; sng в комплексной плоскости, чтобы его можно было представить

13

как набор полюсов некоторой передаточной функции g(s), полученной при помощи

n;m;p(R) найти вещественную динамическую линейную систему w(t) = Dw(t) + v(t), ãäå w(t); v(t) 2 W , которая, будучи присоединенной к (A; B; C) òàê, ÷òî

u(t) = Ky(t) + Gw(t); v(t) = Hy(t);

обеспечивала бы совпадение характеристического многочлена оператора

A BKC BG

HC D

с наперед заданным вещественным многочленом степени n + s, ãäå W s-мерное

пространство.

Легко видеть, что статическая и динамическая задачи синтеза сводятся к следующей алгебраической проблеме.

О б щ а я з а д а ч а с и н т е з а. Пусть Ag : Xg ! Xg; Bg : Ug ! Xg; Cg : Xg ! Yg вещественная линейная система = (Ag; Bg; Cg), причем пространства Xg; Ug; Yg имеют размерности ng = n + s; mg = m + s; pg = p + s соответственно и

Требуется найти такое линейное вещественное отображение Kg : Yg ! Ug , ÷òî

K G

Kg = H D ;

è det( En+s Ag BgKgCg) = n+s + a1 n+s 1 + : : : + an+s ãäå a1; : : : ; an+s любые наперед заданные вещественные числа. Ясно, что при s = 0 имеет место статическая

задача синтеза, а при s > 0 динамическая.

Указанным выше проблемам посвящено очень большое число работ, полный список которых насчитывает сотни наименований.

Отметим, что суть статической проблемы синтеза в многомерном случае заключается в том, что для фиксированного s0 2 C множество решений уравнения

относительно неизвестных элементов матрицы K, вообще говоря, довольно трудно

описать. Соотношение (6.6) определяет некоторую гиперповерхность в пространстве Rm p. Имеется один класс очень простых гиперповерхностей это гиперплоскости.

Если, например, матрица T (s0) имеет ранг 1, то равенство (6.6) приобретает

В некотором смысле это уравнение обобщение случая систем с одномерными входами и выходами.

14

2.2Статическая задача синтеза в случае min(m; p) = 1.

Предположим, что min(m; p) = 1, тогда матрица T (s) вектор-строка или векторстолбец. Пусть для определенности m = 1. В этой ситуации взаимно простое разложение для T (s) имеет вид

T (s)t = (n1(s)=d(s); : : : ; np(s)=d(s));

Следовательно, размещение полюсов в точки fs1; : : : ; sng эквивалентно решению линейного неоднородного уравнения

ãäå dr(s) = Qni=1(s si). Так как нас интересует критерий существования решения для произвольного набора полюсов, т.е. случай, когда многочлен dr(s) произволен, то это приводит к следующим условиям.

Теорема 2.1. Пусть min(m; p) = 1 и

r = dim(spanfn1(s); : : : ; nmax(m;p)(s)g):

(a) Если max(m; p) n, то задача синтеза разрешима , r = n. В частности, если max(m; p) = n, то необходимым и достаточным условием разрешимости является линейная независимость полиномов n1(s); : : : ; np(s), составляющих столбец-числитель N(s) взаимно простого разложения передаточной матрицы

T (s).

(b) Если max(m; p) < n, то в общем случае задача синтеза не имеет решения.

Однако при помощи вещественной обратной связи по выходу можно разместить полюса в любое симметрическое множество fs1; : : : ; srg на комплексной

плоскости.

Доказательство. Выше не обсуждалось только последнее утверждение п.(b). В силу (6.9) поместить полюс в точку si это значит определить аффинную гиперплоскость H(si) в линейном пространстве векторов обратных связей K с координатами (k1; : : : ; kmax(m;p)). Утверждение о том, что r элементов среди nj(s)

линейно независимы, эквивалентно тому, что гиперплоскости H(s1); : : : ; H(sr) не будут параллельны, то есть имеют нетривиальное пересечение.

2.3Замечания о синтезе динамической обратной связи.

Изложим некоторые факты о синтезе динамической обратной связи, которые получены независимо Х. Сераджи [114] и П. Стивенсом [43] и обобщают известные результаты Ф. Бреша и Дж. Пирсона [26] в терминах показателей управляемости и наблюдаемости.

Пусть (A; B; C) 2 cn;m;p(R) каноническая система с передаточной матрицей T (s). Обозначим через i; i = 1; : : : ; m; j; j = 1; : : : ; p ее показатели управляемости

15

и наблюдаемости соответственно. Отметим, что, основываясь на результатах статьи Дж. Форни [47], их можно вычислять, исходя непосредственно из матрицы T (s).

К. Бирнс и П. Стивенс [43] установили нетривиальный и важный факт о том, что для любой передаточной функции T (s) степени n существует такая статическая

обратная связь K, для которой функция TK(s) имеет n различных (простых)

полюсов. В скалярном случае это утверждение достаточно тривиально и справедливо для любых обратных связей (коэффициентов усиления) за исключением конечного

числа. В общей же ситуации, полагая сначала p > m, они показали, что почти для всех m p-матриц F квадратная передаточная матрица F T (s) имеет степень n,

сведя тем самым прямоугольный случай к квадратному, в котором можно применить методы, развитые И. Постлитвайтом и А. Макфарланом [103]. Нам понадобится одно утверждение, приводящее в том числе и к варианту леммы М. Хейманна (теорема 5.1).

Теорема 2.2. Для любой передаточной p m-матрицы T (s) степени (T (s)) существует такая обратная связь K и m-мерный вектор v, что (T (s)) =

(TK(s)v).

Доказательство. Выберем K так, чтобы матрица TK(s) имела n = (TK(s)) простых полюсов s1; : : : ; sr. Тогда

n

TK(s) = X Ri ;

i=1 s si

Замечание. (1) Подмножества тех K и v, для которых справедлива теорема 2.2,

открыты и плотны в соответствующих пространствах.

(2) Положим A BKC =: AK. Тогда TK(s)v = C(sEn AK) 1Bv, òî åñòü

показатели наблюдаемости передаточных матриц T (s) и TK(s)v равны.

(3) Аналогичные утверждения, конечно, верны для wtTK(s) c соответствующей заменой показателей наблюдаемости на показатели управляемости.

Следующее утверждение это классический результат.

Теорема 2.3 (Ф. Бреш Дж. Пирсон [26]). Задача синтеза для матрицы T (s) с произвольным наперед заданным симметричным в C набором полюсов разрешима при помощи динамической обратной связи порядка q = min( max; max) 1.

fs1; : : : ; sn+qg симметричное в C множество полюсов. Выбирая K è v, удовлетворяющие теореме 2.2, ищем динамическую обратную связь K(s) размера 1 p, размещающую эти полюса.

Рассмотрим взаимно простые разложения TK(s)v = N(s)D(s) 1 è K(s) = Q(s) 1P (s). Тогда наше требование приводит к соотношению

16

линейному относительно пары полиномов (P (s); Q(s)), которую можно рассматривать

как точку в (q + 1)(p + 1)-мерном векторном пространстве. Тогда для произвольного

набора полюсов задача синтеза разрешима при помощи динамической обратной связи vK(s) , линейное отображение

Sq : R(q+1)(p+1) ! Rn+q+1;

получаемое приравниванием коэффициентов полиномов от s в левой и правой частях выражения (6.10), сюръективно. С другой стороны, в [25] получена формула для ранга отображения Sq в терминах показателей наблюдаемости функции TK(s)v (которые, конечно, совпадают с показателями наблюдаемости для T (s)), а именно

Поэтому задача синтеза для T (s) разрешима при помощи динамической обратной связи порядка q, åñëè q удовлетворяет неравенству

<q+1

Левая часть (6.11) неубывающая функция от q, принимающая максимальное значение n0, когда q = max 1. Так как в силу двойственности те же факты верны для q = max 1, то и получаем требуемое утверждение.

Òàê êàê min( max; max) n, то простым следствием этой теоремы оказывается известный результат о разрешимости задачи синтеза при помощи динамической обратной связи порядка q n 1. Для систем, удовлетворяющих равенствам

rank C = rank B = 1, имеем max = max = n и, поэтому, следует взять q = n 1. Однако эти условия на ранги матриц B è C слишком ограничительны (являются "необщими"), и для общих систем оказывается возможным получить существенно менее жесткие оценки числа min( max; max).

Напомним, что свойство P множества точек в аффинном пространстве RN

CN называется общим, если множество точек, не удовлетворяющих P, принадлежит некоторому собственному замкнутому алгебраическому подмножеству X RN èëè

X CN .

Для общих систем справедливы следующие импликации:

и в силу двойственности

попарно различных вещественных полюсов задача синтеза разрешима при помощи

В частности, общая система из n;m;p(R), стабилизируема при помощи динамической обратной связи порядка q, если для q справедливо неравенство (6.13).

17

Для общей системы из n;m;p(R) задача синтеза разрешима при помощи динамической обратной связи порядка q, если

Интересное обсуждение других достижений в решении динамической проблемы синтеза имеется в обзоре К. Бирнса [37].

2.4Комбинаторно-геометрические методы.

В 1975 г. Х. Кимура опубликовал один результат о решении статической задачи синтеза, существенно обобщающий рассмотренные выше случаи ранга 1 è

размещения полюсов при помощи обратной связи по состоянию. Мотивировкой его работы послужила трудно поддающаяся решению проблема стабилизации механических систем при помощи обратной связи по выходу. Такие системы

обычно имеют n = 2m степеней свободы, m входов и m выходов или в более общей ситуации для них выполняется неравенство m + p n, что казалось

достаточным условием решения задачи синтеза в общем случае. Однако проведенное Я. Виллемсом и В. Хесселинком вычисление [123] опровергло эти надежды уже в

первом нетривиальном примере, когда m = p = 2; n = 4. Тем не менее Х. Кимура сумел показать, что соотношение m + p n уже достаточно близко к условиям разрешимости статической задачи синтеза.

Теорема 2.6 (Х. Кимура [85]). Если m + p 1 n, то для общей системы

статическая задача синтеза при любом заданном симметричном множестве попарно различных полюсов (отличающихся от полюсов исходной системы) разрешима.

Оригинальное доказательство теоремы 2.6, предложенное в [85], содержит интересную комбинацию геометрических соображений о расположении линейных подпространств в конечномерном пространстве с учетом соотношений между их размерностями в зависимости от свойств инцидентности. Вероятно, как отмечает К. Бирнс [37], отправной точкой здесь послужили методы решения задачи о размещении собственных значений при помощи обратной связи по состоянию, намеченные М. Хаутусом [53].

М. Хаутус переформулировал указанную проблему как задачу выбора n линейно независимых векторов размерности n+m по одному из n предварительно указанных

n-мерных подпространств в (n + m)-мерном пространстве. Критерий М. Хаутаса

разрешимости такого выбора является интересным линейно-алгебраическим аналогом результата Р. Радо [106], обобщающим известное решение Ф. Холла задачи о выборе. Этот критерий эквивалентен полной управляемости исходной системы. Далее термин "подпространство"и "плоскость"будут синонимами, т.е. "плоскость"означает не обязательно двумерное подпространство.

Ситуация в теореме Х. Кимуры в некотором смысле аналогична, но намного более сложна, так как речь идет об обратной связи по выходу. Остановимся на

геометрической трактовке этих вопросов более подробно. Условие, что точки si, ãäå i = 1; : : : ; n, являются полюсами замкнутой при помощи статической обратной связиK системы означает, что

18

если только si не будет полюсом для T (s) (здесь и далее символ col.sp( ) обозначает линейное пространство, натянутое на столбцы матрицы, стоящей в скобках), и в

Здесь T (s) = N(s)D(s) 1 есть взаимно простое разложение для T (s). Рассмотрим K

В этих терминах задачу синтеза можно переформулировать так.

Пусть заданы n подпространств gr(T (si)) размерности m в Cm+p. Требуется найти p-мерное подпространство W , представляемое в виде W = gr(K) и такое, что

Для случая обратной связи по состоянию: T (s) = (sEn A) 1B подход М. Хаутуса [52], [53] к построению W заключался в выборе n линейно независимых векторов wi 2 gr(T (si)) и задании пространства W := sp(w1; : : : ; wn). Для случая обратной связи по выходу и вещественных полюсов конструкция W получается благодаря следующему результату И. Розенталя [108].

Теорема 2.7. Если в пространстве Rm+p заданы m + p 1 подпространств Vi размерности m, то существует p-подпространство W , имеющее с каждым Vi нетривиальное пересечение.

подпространство, пересекающее V1; : : : ; Vp m+1 нетривиально, то для любых двух

В работе [108] также показано, что этот результат можно улучшить путем более тонкого построения W 0. Например, если V1; : : : ; V5 R5 двумерные плоскости, то

сумма V1 +V2 +V3 не может быть прямой, т.е. найдется 2-плоскость W 0, пересекающая нетривиально V1; V2; V3. Кроме того, сумма W 0 + V4 + V5 тоже не будет прямой,

поэтому существует 3-плоскость, пересекающая каждое Vi нетривиально. Пусть [a=b] целая часть числа a=b 2 Q.

Теорема 2.8 (И. Розенталь, [108]). Допустим, что p m и k := [p=m]. Тогда для общей системы неравенство p + [m=1] + : : : + [m=k] 1 n является достаточным

условием для размещения вещественных попарно различных полюсов при помощи обратной связи по выходу.

19

Для строгого доказательства этой теоремы требуется показать, что если некоторую p-плоскость W можно построить так, что она нетривиально пересекает

каждое Vi = gr(T (si)), то существует p-плоскость с этим свойством вида W = gr(K).

При этом используются так называемые соображения "об общем положении которые в задаче синтеза впервые систематически начал применять К. Бирнс, см. ссылки в обзоре [37].

Недавно И. Розенталь доказал новый комбинаторный критерий разрешимости задачи синтеза, исходя из изящных топологических соображений, основанных

на строении кольца когомологий грассманиана Gp(Rm+p) с коэффициентами в

Z2 [109]. Из его результатов вытекает, что пример m = p = 2; n = 4, рассматривавшийся Я. Виллемсом и В. Хесселинком [123], оказывается в некотором смысле единственным нетривиальным случаем в ситуации min(m; p) 2, когда

условие m + p n не является достаточным. Остановимся кратко на этом подходе. Пусть P обозначает m p-прямоугольник и = ( 1; : : : ; s) разбиение числа

убывали, а в столбцах возрастали. Пусть

(m; p) := maxfs : K( 1;:::; s) нечетноg:

Теорема 2.9. Условие (m; p) n достаточно для существования решения в задаче синтеза для общей системы из cn;m;p(R).

То есть задача синтеза разрешима для систем из некоторого открытого (в

топологии Зарисского) подмножества из cn;m;p(R), когда (m; p) n. Следующие примеры принадлежат И. Розенталю [109].

Пример 2.1. m = p = 2; pm = n = 4. Рассмотрим различные разбиения числа

4 : = (1; 1; 1; 1); 1 i 4 = s; K(1;1;1;1) = 2 четно. Имеются два возможных заполнения прямоугольника размера 2 2, удовлетворяющие условиям упорядочения по строкам и столбцам:

Далее, = (2; 1; 1); 1 i 3 = s è K(2;1;1) = 1 нечетно, так как имеется только одна

Для разбиений (3; 1); (2; 2) и (4) подходящих возможностей заполнения 2 2-пря- моугольника нет. Следовательно, K(3;1) = K(2;2) = K(4) = 0. Поэтому, (2; 2) = 3,

òàê êàê s = 3 äëÿ K(2;1;1). Условие теоремы 6.9 не выполняется, что согласуется с результатами Х. Кимуры и Я. Виллемса В. Хесселинка.

Пример 2.2. m = 2; p = 3; pm = 6. Пусть (1; 1; : : : ; 1) = 16. Нетрудно вычислить,

÷òî K16 = 5 нечетно (s = 6) и (2; 3) = 6, так как это вообще максимально возможное значение s в данной ситуации: K16 = 5 соответствует следующим возможностям заполнения прямоугольника P:

20