Симонов Томографические измерителные информационные системы 2011

Учитывая последнее выражение, то функция μи (х, у) совпадает с μи (х, у) , как будто никакого шума не было.

Перейдем к вычислению дисперсии восстанавливаемой функции. Подставляя в (4.1') выражение (4.44), будем иметь

Подставим в (4.49) выражение для корреляционной функции шума (4.39) и проинтегрируем по θ2, получим

Преобразуем последнее выражение, подставив вместо Kl и g соответствующие выражения (4.40) и (4.43). Тогда

341

Приведем пример, позволяющий проиллюстрировать влияние регуляризирующей функции W ( ν ) и характеристик шума проек-

ционных данных σш2 , rк на дисперсию изображения σи2 .

Как это было показано в гл. 2, роль функции W ( ν ) с точки

зрения устойчивости алгоритма реконструкции, которую она играет, тем больше, чем больше регуляризирующий параметр α . Пусть

– одно из ядер, применяемых в томографии [4], а Klф задается (4.43). Подставляя эти выражения в (4.52), находим

Определяя последний интеграл по [69] и заменяя l через полуинтервал корреляции rк, получим

Из выражения (4.55) видно, что дисперсия шума на изображении σи2 пропорциональна дисперсии шума проекционных данных

σш2 , и с ростом α она монотонно уменьшается.

Таким образом, выражения (4.52), (4.55) позволяют при заданном уровне шума на изображении определить допустимый уровень аддитивного шума проекционных данных.

Рассмотрим влияние погрешности проекционных данных, обусловленной квантовой природой излучения, на погрешность томографического изображения.

Как известно из гл. 2, для идеально коллимированного моноэнергетического рентгеновского излучения измеренная проекция может быть представлена

343

где пх – число фотонов рентгеновского излучения, измеренное в направлении (l,θ) за исследуемым объектом; п0 – число фотонов,

измеренное на входе объекта.

Статистические флюктуации измеряемых величин пх и п0 описываются распределением Пуассона (см. гл. 2) и вносят погрешно-

сти в оценку точных проекций P(l,θ), такие, что математическое ожидание измеренной проекции Pи (l,θ) сохраняет свое значение

Однако дисперсия измерения проекционных данных отлична от нуля и определяется следующим выражением в случае независи-

В результате реконструкции мы получим (4.44) шумовое изображение μи (х, у) :

μи (х, у) = μи (х, у) + μиш (х, у) .

Причем математическое ожидание реконструированной томограммы с шумом μи (х, у) равно незашумленной структуре μ(х, у), которая была бы восстановлена по точным проекциям P(l,θ).

Дисперсия шумового изображения в предположении отсутствия корреляции шумов в различных проекциях определиться, как

и для алгоритма обратного проецирования с фильтрацией сверткой для параллельных лучей (3.137) на основании соотношений для дисперсии функций запишется

или

навливаемого изображения зависит от среднего числа регистрируемых квантов nx (n l, m Δθ) и функционального вида сворачи-

вающей функции [g(l)2].

Для оценки максимального уровня квантовых погрешностей реконструкции определим согласно (4.64) дисперсию в центре однородного фантома круговой симметрии

345

а относительная погрешность сигнала, обусловленная квантовой природой излучения, с учетом (4.72) будет

В табл. 2.2 приведены расчетные значения допустимых погрешностей δμ , δp , δn(0) для томографа РКТ-01 для различных

значений количества квантов падающих на единичный детектор. Из таблицы видно, чтобы достичь требуемых значений относительной погрешности восстанавливаемого изображения, необходимо, чтобы относительная погрешность проекционных данных была на порядок меньше первой.

4.6. Моделирование в томографии

В пп. 4.1 и 4.4 было показано, что рентгеновский томограф как сложную разомкнутую систему можно описать и представить в виде модели операторов – передаточных звеньев отдельных подсистем и сделать анализ влияния параметров этих звеньев на выходные характеристики томографа.

Однако многие подсистемы и параметры томографа, а также явления, происходящие в нем, достаточно сложно, а во многих

347

случаях и невозможно описать в виде выше указанной модели. Гораздо эффективнее, в этом случае, применение математического моделирования.

Значение математического моделирования при конструировании томографов существенно еще и потому, что если для проектирования томографов применять физическое моделирование, то, вопервых, дело сведется к перебору всех возможных вариантов элементов и подсистем томографа, который (даже если и осуществим) потребует значительного времени, во-вторых, оно потребует очень больших материальных ресурсов, так как создание экспериментального или опытного образца томографа является дорогостоящим мероприятием.

Математическое моделирование компьютерных томографов целесообразно проводить в несколько этапов.

Этап 1. Определение или выбор функции (функций), характеризующих свойства исследуемого объекта. Значения этой функции характеризуют величину некоторого физического параметра исследуемого объекта, который называется томографическим параметром.

При использовании рентгеновского излучения в качестве такого параметра можно взять линейный коэффициент ослабления излучения или плотность исследуемого объекта. В свою очередь, линейный коэффициент ослабления для энергий излучения, используемых в медицине, можно разделить на два томографических параметра: комптоновскую составляющую линейного коэффициента ослабления и составляющую, обусловленную фотоэффектом. В томографических исследованиях для планирования лучевой терапии, например при протонном облучении, важно знать комптоновскую (“зарядную”) составляющую линейного коэффициента ослаб-

ления [103].

Этап 2. Построение математической модели томографического процесса Ах = у, описывающей физические процессы, происходящие при распространении излучения в исследуемом объекте для заданной геометрии томографических измерений, где А – оператор преобразования, х – томографический параметр исследуемого объекта, у – косвенные измерения процесса. Здесь также решается за-

348

функции, описывающие, соответственно, вклад фотоэлектрической составляющей и комптоновского рассеяния в ослабление.

Для аппроксимации функций fф (E) и fк (E) можно использо-

вать аналитические выражения (3.44) и (3.45). Этап 3. Разработка алгоритмов:

определение значений оператора А на заданном классе функций μ, моделирующих физические характеристики исследуемого объекта – прямая задача томографии;

нахождение по приближенным значениям у = Аμ устойчивых,

кмалым изменениям исходных данных у, приближений к искомым

физическим характеристикам μ – обратная задача томографии. Этап 4. Разработка методологии математического проектиро-

вания томографа. Здесь возникает ряд задач:

разработка вариантов моделей компьютерного томографа;

выбор критериев оценки выходных характеристик моделей;

выбор модели, наиболее удовлетворяющий выбранным выходным характеристикам. Проведение этого этапа возможно только после проведения этапов 1–3.

В гл. 2 и 3 рассматривались этапы 1–3 моделирования. Если на основании этих критериев для рентгеновского компьютерного томографа определены томографический параметр, модель распространения излучения в объекте исследования, алгоритмы реконструкции томографического параметра, схема сканирования, то моделирование томографа сводится к определению влияния факторов на выходные характеристики изображения. К этим факторам, в первую очередь, необходимо отнести те факторы, влияние которых невозможно формализовать в рамках рассмотренных ранее моделей пп. 4.4 и 4.5. К ним относятся:

физические процессы, протекающие при регистрации прошедшего через исследуемый объект излучения;

шум источника излучения и измерительных трактов;

процессы реконструкции пространственного распределения томографического параметра и отображение этого распределения в виде полутонового изображения, подобно телевизионному.

350