Симонов Томографические измерителные информационные системы 2011
.pdfгде Pi(расч) – расчетное значение проекции для li для эффективной энергии Еэф, Pi(расч) = m∫μ(l, Eэф)dl ; т – нормировочный коэффи-
li
циент, i =1, ..., n ; Pi(изм) – измеренное значение проекции при li.
Из системы уравнений (3.112) определяют значение коэффициентов аi, которые используют для определения скорректированных рабочих проекций исследуемого объекта.
Технический аспект. В процессе измерения проекций участвует не только детектор, но и электронная система сбора проекционных данных (ССПД), и это вместе представляет измерительный тракт.
Некоторые погрешности измерительного тракта можно уменьшить, предварительно обработав “сырые” измеренные данные с детекторов по соответствующим алгоритмам. К этим погрешностям относятся:
- систематическая погрешность “темного тока” измерительного тракта, возникающего при отсутствии излучения источника; причинами этой погрешности являются: фоновый сигнал на детекторе, выставляемый уровень “подставки” измерительного тракта для обеспечения его помехоустойчивости, систематическая погрешность ССПД;
-случайные и систематические сбои измерительного тракта, вызванные микропробоями детектора и сбоями электронной части ССПД;
-импульсные “шумы” измерительного тракта, вызванные нестабильностью питающего напряжения детектора и электронной части ССПД.
Для уменьшения систематической погрешности “темнового тока” проводят его вычитание из рабочих “сырых” данных исследуемого объекта для каждого детектора
ni′ = ni − n0i , |
(3.113) |
где ni′ – цифровой код рабочих измерений без “темнового тока”
для i-го детектора; ni – цифровой код рабочих измерений с “темновым током” для i-го детектора; n0i – цифровой код “темнового то-
271
ка” для i-го детектора, полученный при отсутствии излучения источника.
Коррекцию случайных и систематических сбоев измерительного тракта можно проводить на различных этапах алгоритма предварительной обработки данных:
а) после получения цифровых кодов рабочих измерений на объекте исследования и измерений на воздушном фантоме;
б) после получения проекций (после логарифмирования отношения цифрового кода на воздушном фантоме и рабочих измерений).
Второй вариант можно использовать, когда измерения на воздушном фантоме и рабочие измерения коррелированны по детек-
торам и ракурсам. В этом случае погрешность σ(Рki ) проекции
Рi = ln n0 ((i)) ,
n1 i
где n0(i) – цифровой код i-го детектора при рабочих измерениях исследуемого объекта, будет определяться выражением [29]
σ(k ) = |
|
∂(Pi ) 2 |
σ2 |
+ |
∂(Pi ) |
2 σ2 |
+ 2 |
∂Pi |
|
|
∂Pi |
|
r |
|
|
σ |
|
σ |
|
|
= |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
,n |
n |
n |
|
||||||||||||||||||||||||
P |
|
|
|
n |
|
|
∂n1 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
∂n1 |
|
n |
|
|
|
|
|||||||||||||||
i |
|
∂n0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
∂n0 |
|
|
|
0 1 |
|
0 |
|
1 |
|
|||||||||||||||||
|
|
= |
1 |
2 |
σn2 |
+ |
1 |
2 |
σn2 |
|
− |
2 |
1 |
|
1 |
rn ,n σn |
σn |
|
, |
|
|
(3.114) |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
n0 |
|
0 |
|
|
n1 |
|
1 |
|
|
|
n0 |
|
n1 |
1 |
0 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
где σ(Pk ) |
– среднеквадратичное отклонение проекции Pi |
для корре- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
лированных значений кодов n0 |
|
и n1; |
|
σn |
, |
σn |
– среднеквадратиче- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ское отклонение кодов, соответственно n0 и n1; |
rn ,n |
|
– коэффици- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ент корреляции кодов n0 и n1/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Значение σ(РH ) |
для некоррелированных величин n0 и n1 |
|
опре- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
делится из выражения (3.114) при |
|
rn , n = 0 , как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ(Н) = |
|
|
|
1 |
2 |
σ2 |
+ |
1 |
2 |
σ2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.115) |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Pi |
|
|
|
n0 |
|
|
|
n0 |
|
n1 |
|
n1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
272 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из выражений (3.114) и (3.115) следует, что σ(Pki ) < σ(PHi ) , а для
частого случая при п0 = п1, σn0 = σn1 , r = 1 значение σ(Pki ) будет равным нулю.
Если рассматривать погрешность на этапе получения цифровых кодов, то суммарная погрешность σΣ от измерений п0 и п1 может
быть |
(Н) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
σ∑ |
= σn0 |
+ σn1 , |
|
|
|
|
(3.116) |
|||
для некоррелированных п0 и п1 и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
σ(Н) |
= σ2 |
+ σ2 |
+ 2r |
|
σ |
n0 |
σ |
n1 |
, |
(3.117) |
|
∑ |
n0 |
n1 |
|
n0 ,n1 |
|
|
|
|
|||
для коррелированных п0 и п1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
То есть, значение погрешности σ(Pk ) |
для проекции при корре- |
||||||||||
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
лированных п0 и п1 может быть значительно меньше погрешности при измерениях кодов п0 и п1 для некоррелированных (3.116) и коррелированных (3.117) кодов п0 и п1. Поэтому коррекцию сбоев в измерительной информации об исследуемом объекте целесообразно осуществлять для коррелированных п0 и п1 в проекциях Pi .
Методы фильтрации искажений в сигналах и изображениях дают более эффективные результаты на тех этапах обработки сигналов и получения изображений, где исходная погрешность является минимальной.
Распространенными методами коррекции сбоев являются алгоритмы линейной и медианной фильтрации.
Линейная фильтрация сбоев основана на методах интерполяции, и самым простым методом этой фильтрации может быть коррекция “по среднему”
P = |
Pi−1 + Pi+1 |
, |
(3.118) |
|
|||
i |
2 |
|
|
|
|
|
где Pi – корректируемое значение проекции для i-го детектора; Pi–1, Pi+1 – соответственно предыдущее и последующее значения проекции.
273
В ряде случаев для достаточно однородного объекта исследования эффективным является процедура подавления импульсного шума, которая заключается в присвоении для корректируемого
значения проекции Pi среднего значения из окружающих значений |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
l=+ |
nl |
|
|
проекцию |
Pi: |
если |
|
(nl +1)Pi − Pi* |
|
> δ , где Pi* = ∑2 |
Pi+l , то |
||||
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
l=− |
|
nl |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||
P(0) = |
Pi* − Pi |
, |
где n |
– число значений проекции, окружающих |
|||||||
|
|||||||||||
i |
nl |
−1 |
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
корректируемое значение проекции Pi; Рi(0) – присваемое значение
проекции вместо Pi при коррекции; δ – величина, определяемая предел сглаживания Pi (выбирается экспериментально).
3.5. Методы восстановления изображения по проекционным данным
3.5.1. Классификация методов восстановления изображения
Восстановление структуры исследуемого объекта по совокупности его проекций в настоящее время проводится многими методами.
Все методы реконструкции можно разделить на две основные группы: алгоритмы с использованием интегральных преобразований (их иногда называют аналитическими) и алгоритмы с использованием разложения в ряд.
Все алгоритмы с использованием интегральных преобразований для реконструкции изображения основаны на точных математических решениях интегральных уравнений – формул обращения. В основе большинства из них используют аппарат преобразования Радона и Фурье.
Алгоритмы с использованием интегральных преобразований теоретически эквивалентны (их можно выводить один из другого), однако отличаются процедурой реализации (последовательностью вычислений). В связи с этим их можно в свою очередь разделить на две основные группы: алгоритмы, использующие обратное проеци-
275
рование, и алгоритмы, использующие двумерное преобразование Фурье.
Тот и другой метод предполагают, что известно точное значение проекций P(l,θ) (для параллельной схемы) или P(γ,β) (для веерной схемы сканирования) для всех l (или γ) и θ (или β) и что требуемые интегральные преобразования можно выполнить точно. Однако реально ни то, ни другое условие выполнить невозможно. Измерение реальных проекционных данных проводится с определенной погрешностью; набор, проекций и значений в этих проекциях не для всех l (или γ) и θ (или β), а для конечного числа их дискретных значений. Расчет интегральных преобразований в реконструкторе томографа проводится в дискретной форме по дискретным операторам преобразования, которые действуют на требуемые функции, имеющие конечное число компонент. Невыполнение условий приводит к неустойчивости решения задачи реконструкции изображения, что выражается в виде значительных артефактов на томограмме.
Для уменьшения последствий негативного влияния невыполнения условий точного задания проекций и решения интегральных преобразований проводится фильтрация в методе обратного проецирования. При этом метод обратного проецирования имеет три варианта, отличающихся различными способами фильтрации: фильтрация сверткой, фильтрацияФурье, радоновскаяфильтрация.
Все алгоритмы с использованием интегральных преобразований имеют общее – замену непрерывных интегрально-дифферен- циальных операторов преобразования дискретными в конце процедуры вывода алгоритма реконструкции.
Метод реконструкции, основанный на разложении искомой функции (в нашем случае функции μ(х, у) ) в ряд, принципиально
иной. Дискретизацию здесь выполняют в самом начале: оценка функции сводится к нахождению конечного множества чисел.
Алгоритмы с использованием разложения в ряд можно разделить на две группы: итерационные и неитерационные.
Итерационные методы реконструкции изображения используют аппроксимацию восстанавливаемого объекта массивом ячеек равномерной плотности (равномерной μ ), представляющих собой не-
276
известные величины линейных алгебраических уравнений, свободными числами которых являются проекции. Решаются уравнения итерационными методами, что и дало название данному классу алгоритмов реконструкции. В настоящее время известно несколько итерационных методов реконструкции. Отличаются они, в основном, последовательностью внесения поправок во время итерации. Среди них наиболее известны следующие методы: алгебраический метод реконструкции томограммы (АRТ), метод одновременного итерационного восстановления (SIRT), итерационный метод наименьших квадратов (ILST) и мультипликативный алгоритм алгебраической реконструкции (MART).
Неитерационные методы основаны на способах решения системы линейных уравнений большой размерности путем приведения ее к более простой системе.
Выше рассмотренную классификацию методов реконструкции изображений по проекциям можно представить в виде схемы рис. 3.38.
|
|
Алгоритмы реконструкции изображений |
|
|||
|
Алгоритмы с использованием |
|
Алгоритмы с использованием |
|||
интегральных преобразований |
|
|
разложения в ряд |
|||
Алгоритмы |
Алгоритмы |
|
|
|
|
|
двумерного |
|
Итерационные |
Неитерационные |
|||
обратного |
|
|||||
преобразования |
|
алгоритмы |
алгоритмы |
|||
проецирования |
|
|||||
Фурье |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Алгоритмы с фильтрацией сверткой |
Алгоритмы с фильтрацией Фурье |
Алгоритмы радоновской фильтрацией |
Алгебраический метод реконструкций (ART) |
Метод одномерного итерационного восстановления (SIRT) |
Итерационный метод наименьших квадратов (ILST) |
Мультипликативный алгоритмалгебраических реконструкций (MART) |
|
|
с |
|
|
|
|
Рис. 3.38. Классификация методов реконструкции изображений по проекциям
277
3.5.2. Особенности аналитического метода восстановления изображения с использованием обратного проецирования с фильтрацией сверткой
Алгоритмы, основанные на методе интегральных преобразований (аналитический метод) состоят из ряда этапов:
1)формулировка математической модели, в рамках которой известная и неизвестная величины представлены функциями, аргументы которых изменяются на континууме вещественных чисел;
2)нахождение формул обращения и определение по ней неизвестной функции;
3)адаптация формулы обращения к дискретизированным зашумленным данным.
Рассмотрим первый этап.
Обозначим двумерное распределение физической величины
функцией μ(х, у), вид которой априори не известен. Однако из-
вестно, что в большинстве приложений она ограничена в пространстве, т. е. равна нулю вне некоторой конечной области плоскости, обозначаемой далее через Ω. Можно полагать, что функция μ определена областью Ω, представляющей собой круг радиуса Т с центром в начале координат.
Иногда удобнее записывать функцию μ не в прямоугольных
(х,у), а в полярных координатах (r, φ). В этом случае |
|
μ(х, у) = μ(r cosφ, r sin φ) . |
(3.119) |
Прямая на плоскости может быть задана двумя параметрами: расстоянием l (со знаком) от начала координат и углом θ относительно оси у (рис. 3.39).
Положение точки P на плоскости определяется ее координатами (х,у) или (r cosφ, r sin φ) , а положение рентгеновского луча – его расстоянием l от начала координат и углом θ.
Обозначим через P(l,θ) функцию двух переменных, значением которой для каждой пары (l,θ) служит интеграл от функции μ по прямой, заданной параметрами l и θ,
278
T |
|
P(l,θ) = ∫ μ(l cosθ−t sin θ, l sin θ+ t cosθ)dt , |
(3.120) |
−T
где пределы интегрирования в общем случае зависят как от параметров l и θ, так и от области Ω.
y
t |
T |
|
|
|
|
|
T (l) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
θ |
P |
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
Ω |
|
r |
|
|
|
l ' |
|
|
|
Реконструируемый |
|
|
||
объект |
|
l |
θ |
x |
|
|
|
||
|
|
0 |
|
|
− T (l)
Радиус T
Луч
Детектор
− T
Рис. 3.39. Параллельная геометрия сканирования
Функция P(l,θ) называется проекцией, а правая часть выражения
(3.120) – лучевой суммой. Физическая интерпритация выражения (3.120) для рентгеновского излучения показана в гл. 2. Аргументы функции μ(х,у) в выражении (3.120) взяты в координатах (l, t). Связь между неподвижной системой координат (х,у) и подвижной (l, t) задается формулами Эйлера
|
х = l cosθ−t sin θ, |
(3.121) |
|
|
у = l sin θ+t cosθ, |
||
|
и
279
l = xcosθ+ y sin θ,
(3.122)
t = −xsin θ+ y cosθ.
Когда реконструируемый объект представлен в виде круга радиусом T, будем иметь
T (l ) = (T 2 −l2 )1 2 , |
|
l |
|
≤T , |
(3.123) |
||||
|
|
||||||||
P(l,θ) = 0, |
|
l |
|
>T . |
(3.124) |
||||
|
|
||||||||
Необходимо отметить, что при |
|
любых l |
и θ пары (l,θ) и |
(−l, θ + π) задают одну и ту же прямую, поэтому
(3.125)
Следует также отметить, что аргументы функции P(l,θ) отлича-
ются от обычных полярных координат. В самом деле, рассмотрим две различные прямые, проходящие через начало координат под углами
θ1 и θ2 . В общем случае интегралы P(0,θ1 ) и P(0,θ2 ) от функции μ из выражения (3.120) по этим прямым будут различны, но этой
разницы не должно существовать, если аргументы интерпретировать, как полярные координаты.
Рассмотрим второй этап определения алгоритма реконструкции. Но прежде, чем перейти к выводу формул реконструкции – нахождению формул обращения выражения (3.120), необходимо показать, что такое обратная проекция, для чего требуется аппроксимация функции μ(х,у), т. е. рассмотреть проекционную теорему.
Прямое применение метода обратной проекции восстановления изображения в настоящее время практически не применяется, так как получаемое с его помощью изображение является грубой аппроксимацией исследуемого объекта. Однако этот метод является основой для понимания более сложных алгоритмов реконструкции, в том числе и алгоритма обратного проецирования с фильтрацией сверткой. Простейший вариант этого метода оценивает μ(х,у) в любой точке сечения посредством сложения лучевых сумм P(l,θ) для
всех l, проходящих через искомую точку.
280