Крушный Синтез цифровых управляюсчих автоматов 2011

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ЯДЕРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИФИ»

СНЕЖИНСКИЙ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

В. В. Крушный

СИНТЕЗ ЦИФРОВЫХ УПРАВЛЯЮЩИХ АВТОМАТОВ

Рекомендовано УМО «Ядерные физика и технологии» в качестве учебного пособия

для студентов высших учебных заведений

Москва 2011

4

Глава 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СИСТЕМ ДИСКРЕТНОЙ АВТОМАТИКИ. ЦИФРОВЫЕ АВТОМАТЫ

1.1. Математическая модель комбинационной схемы

входное слово (входной сигнал) Zi алфавита Х нашего устройства. На выходе устройства появляются выходные слова (выходные сигналы), составленные из символов конечного выходного алфавита Y ={y1,y2,…,yl}. В силу конечности как алфавитов X и Y, так и входных и выходных сигналов (длина входного сигнала всегда равна n, а выходного m) общее число различных входных и выходных сигналов конечно.

Элементарный такт работы устройства состоит в том, что при появлении на входе устройства входного сигнала Zi устройство выдаёт на выходах комбинацию выходных символов, образующих выходной сигнал Wj.

Пусть работа устройства полностью определяется лишь входным сигналом. Тогда работа такого устройства будет определена, если мы зададим следующую таблицу соответствия для всех входных сигналов:

В таблице имеется kn строк по числу различных входных сигналов длины n в алфавите Х, состоящем из k различных символов. Устройство, условия работы которого описываются при помощи

6

соответствия (1.1), называется конечным автоматом без памяти или

комбинационной схемой.

Комбинационные схемы являются наиболее простыми логическими устройствами дискретного типа.

Совокупность функциональных элементов, организованных для выполнения операций над двоичными переменными (сигналами), называется логической схемой. Пусть Х = (х1, х2,..., хп) – двоичный вектор-аргумент и Y = (y1, y2,..., yт) – двоичный вектор, представляющий значение функции Y = Ф (Х). Преобразование Ф состоит в том, что каждой входной комбинации х1, х2,..., хп соответствует определённая выходная комбинация y1, y2,..., yт. Ф может быть представлено в виде системы булевых функций

Например, преобразование y1y2 = х1 + х2 + х3 , состоящее в вычислении двухразрядной арифметической суммы y1y2 двоичных переменных х1, х2, х3, устанавливает определенное соответствие между входными и выходными наборами:

Указанное преобразование может быть описано, например, следующей системой булевых функций в виде дизьюнктивных нормальных форм:

7

и, следовательно, может быть реализовано комбинационной схемой. Обычно комбинационная схема синтезируется на основе булевых функций, которые используются в качестве аналитической формы описания преобразования входных сигналов при построении синтезируемой структуры. Процедура синтеза состоит в следующем. Выбирается функционально полная система логических элементов. Функции (1.2) приводятся к функциональному базису выбранной системы элементов с использованием, например, методов функциональной декомпозиции и минимизируются с целью сокращения затрат оборудования. В схеме выделяются входы х1, х2,..., хп, на которые поступают сигналы входных переменных. Организация соединений логические элементы производится в порядке, принятом для вычисления значений булевых функций. Этот порядок определяется старшинством логических операций и скобками, в аналитической записи функций.

Например, совместно минимизируя функции (1.3), можно получить следующие скобочные формы:

по которым построена комбинационная логическая схема (КЛС) (рис. 1.2).

Рис. 1.2. Пример КЛС

Логическая схема называется комбинационной, если её функцию можно представить в виде (1.2). Логическая схема допускает

8

такое представление, если в ней отсутствуют петли (цепи обратной связи). Под петлёй понимается замкнутая цепь в схеме, по которой сигнал с выхода i-го элемента непосредственно или проходя через некоторую последовательность элементов схемы поступает на вход того же i-го элемента. Схема, содержащая петли, не является комбинационной.

Сложность схемы характеризуется суммарной стоимостью используемых в ней элементов:

i=1

где ki – количество элементов i-го типа, используемых в схеме, сi – цена элемента. Эта оценка сложности схемы используется при разработке конкретных схем, когда известна стоимость элементов.

В теоретических исследованиях сложность схемы принято характеризовать ценой по Квайну. Цена схемы определяется суммарным числом входов элементов, составляющих схему. Например, цена схемы, изображённой на рис. 1.2, равна 19. Эта оценка является объективной характеристикой структуры.

Из-за того, что входы элементов разных типов уравниваются в цене, сопоставление вариантов схемы на основе оценок (1.4) и по Квайну может приводить к противоречивым результатам. Но при использовании транзисторной логики и интегральной технологии данное противоречие сглаживается, что увеличивает правдоподобность оценок сложности схем по Квайну.

1.2. Математическая модель абстрактного автомата

Существует большой класс дискретных устройств, работу которых невозможно адекватно определить лишь прямым соответствием входных и выходных сигналов W(t) = Ф{Z(t)}, t = 0, 1, 2, 3,… Подразумевается, что значение выходного сигнала зависит не только от значения входного сигнала в данный момент времени, но и от предыстории развития входных сигналов, начиная с нулевого момента времени:

9

А(t – 2)

А(t – 1)

А(t)

Для сохранения динамики развития входных сигналов во времени введём некоторую функцию памяти A(t), отображающую реакцию дискретного устройства на воздействие входного сигнала Z(t) и переход этого устройства в иное состояние в зависимости от значения функции памяти в предыдущий момент времени А(t – 1): A(t) = {Z(t), А(t – 1)}. Тогда с учётом сказанного выражение (1.5)

Исходя из математической трактовки выражения (1.5) обе системы уравнений вполне корректны, а вот семантическая трактовка существенно отличается.

Математическая модель дискретного устройства в виде систе-

мы уравнений (1.6) называется абстрактным автоматом 1-го ро-

да, или автоматом Мили (Mealy). Здесь выходной сигнал (выходная реакция устройства) двумерный и в явном виде зависит от двух параметров: значения входного сигнала (входного воздействия в момент времени t) и состояния функции памяти в предыдущий момент времени. В зависимости от состояния устройства при одном и том же входном воздействии можно получать различные выходные сигналы.

Математическая модель дискретного устройства в виде систе-

мы уравнений (1.7) называется абстрактным автоматом 2-го ро-

да, или автоматом Мура (Moore). Из сравнения законов функционирования видно, что в отличие от автомата Мили выходной сиг-

10