Михайлов ТФКП Практикум 2013

10. ВЫЧЕТЫ

замкнутый контур, охватывающий особую точку z0 и целиком находящийся в проколотой окрестности аналитичности точки z0 . Направление обхода контура происходит так, что точка z0 остается слева, т.е. для конечной точки z0 – это обход против часовой стрелки, для z0 = ∞ – по часовой стрелке. Показывается, что вычет равен коэффициенту с–1 в ряде Лорана в этой точке (соответственно, –с–1 для точки z = ∞). В случае полюса п-го порядка вычет может вычисляться по формуле:

которая справедлива и для полюса первого порядка. В этом случае она имеет вид

Таким образом, для полюса первого порядка имеем три формулы (не считая определения) для вычисления вычета: (10.2), (10.3), а также c−1; для полюса п-го порядка – две: (10.1) и c−1 ; для суще-

ственно особой точки – одну: res[ f (z), z0 ] = c−1 . Повторим, что вычет для бесконечно удаленной точки равен −c−1 .

141

Из сказанного следует, что в случае устранимой особой точки вычет всегда равен нулю, если только это не бесконечно удаленная точка. В случае z =∞, даже если это правильная точка, вычет может быть и не равен нулю. Например:

f (z) = 1z , res[ f (z), ∞] = −1 .

Основная теорема о вычетах. Если f (z) аналитична в замкну-

той области за исключением конечного числа изолированных особых точек zk ( k = 1, 2...N ), лежащих внутри области, то

N

∫ f (z)dz = 2πi∑res[ f (z), zk ] ,

γ k=1

где γ – полная граница области, проходимая в положительном на-

правлении. Из теоремы, в частности, следует, что сумма всех вычетов в полной комплексной плоскости, включая z =∞, равна нулю.

В следующих примерах найти вычеты данных функций во всех изолированных особых точках и в бесконечности.

Пример 10.1 ([3], № 4.79).

Вычет в z0 = −1 вычисляется аналогично:

142

Так как сумма всех вычетов, включая z =∞, равна нулю, то вычет в бесконечности равен нулю.

Можно было поступить и иначе, вычислив сначала вычеты в точках z = ±1 (так как в них – простые полюсы) и z =∞, а затем по теореме о сумме вычетов получить отсюда вычет в нуле, что избавило бы нас от необходимости считать вторую производную.

Вычет же в точке z =∞ легко усматривается из вида функции:

т.е. разложение в ряд Лорана в бесконечности начинается с члена z13 , далее идут более высокие степени 1z . Отсюда

res[ f (z),∞] = −c−1 = 0 .

Решение. Функция имеет единственную особую точку в конечной части комплексной плоскости z = −1 – полюс п-го порядка. Применяя формулу (10.1), получим

= 2n(2n −1)...(n +2) (−1)n+1. (n −1)!

Вычет на бесконечности ранен вычету в точке –1, взятому с противоположным знаком.

143

Пример 10.3 ([3], № 4.83).

f (z) = z2 + z −1 . z2 (z −1)

Найдем вычет в нуле (полюс второго порядка). Для первого слагаемого эта точка не является особой, поэтому вычет равен нулю, а

для второго слагаемого z12 сама функция и есть ее разложение в

ряд Лорана, где содержится только один член z12 , т.е. c−1 = 0 .

Так как по определению вычета вычет от суммы функций равен сумме вычетов, то в итоге res[ f (z),0] = 0 .

Вычет в точке z = 1 (полюс первого порядка) вычисляется просто:

По теореме о сумме вычетов, вычет в бесконечности равен –1. Можно было и непосредственно вычислить вычет в точке z =∞ ,

выделив опять главный член при z →∞:

бесконечности начинается с члена 1z , т.е. c−1 =1 и res[ f (z),∞] = −c−1 = −1 .

144

Решение. В конечной части плоскости единственная особая точка z = −1 – полюс третьего порядка. Вычет считается по фор-

муле (10.1):

z =∞ не является изолированной особой точкой (точка накопления полюсов), поэтому понятие вычета к ней неприменимо.

Пример 10.6 ([3], № 4.88).

f (z) = ctg2 z .

Решение. Знаменатель обращается в нуль в точках zk = kπ. В

этих точках первая производная знаменателя обращается в нуль, а вторая – отлична от нуля. Следовательно, в этих точках – полюсы второго порядка. В частности, в точке z = 0 вычет равен нулю, так как функция четная, поэтому ее разложение в ряд Лорана в нуле содержит только четные степени z, поэтому c−1 = 0. Следовательно,

вычет равен нулю и в любой другой точке zk = kπ ( k = ±1, ±2... ), так как ctg( z − kπ) = ctgz . Вычет в бесконечности не определен, так как z =∞ – точка, предельная для полюсов.

Пример 10.7 ([3], № 4.90 (2)).

145

Решение. z = 2 – существенно особая точка. Вычет находится как с–1 в разложении в ряд Лорана в этой точке. Разложение косинуса известно:

Чтобы получить разложение функции f (z) , представим z3 в виде

z3 =[(z − 2) + 2]3 = (z − 2)3 + 6(z − 2)2 +12(z − 2) +8 .

Получаем разложение f (z) в ряд Лорана в точке z = 2:

точки). Разложение в ряд Лорана в нуле совпадает с разложением в бесконечности:

146

Пример 10.9 ([3], № 4.92).

f (z) = sin z sin 1z .

Решение. Особые точки: z = 0 и z =∞ (существенно особые точки). Функция f (z) – четная, поэтому ряд Лорана в нуле содер-

жит только четные степени z и, следовательно, c−1 = 0 . Поэтому res[ f (z),0] = −res[ f (z), ∞] = 0 .

Пример 10.10 ([3], № 4.94).

f (z) =cos z2 +4z −1 . z +3

Решение. В конечной части плоскости имеется только одна особая точка z = –3 – существенно особая точка. Вычет найдем как с–1 в ряде Лорана. Разложение f(z) в ряд Лорана в точке z = –3:

=cos[(z +3) −2]cos z +4 3 +sin[(z +3) −2]sin z +4 3 =

=[cos2 cos(z +3) +sin 2 sin(z +3)]cos z +4 3 +

147

соответственно. В первом слагаемом в первой сумме изменим индекс суммирования n → n −1 , а во второй сумме первого слагаемого опустим член разложения с n = 0 , так как он не дает вклада в c−1 , т.е. первое слагаемое запишется в виде:

Во втором слагаемом непосредственно видно, что коэффициент

Решение. Особые точки найдем, приравняв нулю знаменатель 1−e−hz =0 или

e−hz =1 −hz = Ln1 = ln1 +i 0 +i2kπ = i2kπ zk = 2khπi

148

(k = ±1, ±2...) (минус не пишем, так как k принимает как положительные, так и отрицательные значения). Это полюсы первого порядка, потому что в них первая производная функции 1−e−hz не

т.е.

149

ках функция имеет полюс первого порядка. Поэтому

Решение. z = 0 – устранимая особая точка (так как существует предел, равный 1). Вычет ранен нулю.

Точки zk = k 2π2 (k = 1, 2...) – полюсы первого порядка. Отсюда

=2k 2π2 = (−1)k 2k 2π2. cos kπ

полюс порядка n −1 (за исключением n =1 , когда z = 0 – устрани-

150