Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Михайлов ТФКП Практикум 2013

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2022

Размер:

3.91 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 2510 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Достаточный признак равномерной сходимости функционального ряда (признак Вейерштрасса): если для всех n > n0 | un (z) |≤ an

∞

для всех z из некоторой области, где ∑an – сходящийся числовой

n=1

∞

ряд, то ряд ∑un (z) сходится в этой области равномерно. Имеют

n=1

место и другие свойства равномерно сходящихся рядов, известные из теории рядов с действительными функциями действительной переменной.

∞

Степенным рядом называется ряд ∑cn (z − z0 )n , где z0 – некото-

n=1

рое фиксированное комплексное число, z – комплексная переменная, сп – комплексные числа (коэффициенты степенного ряда).

Степенной ряд сходится в своем круге сходимости | z − z0 |< R ,

где R – радиус сходимости степенного ряда, который вычисляется по формуле Коши–Адамара:

R =		1		.
R =	lim n \| c		\|	.
	n→∞	n
	n→∞

Степенной ряд в любом круге радиуса, меньшего радиуса его круга сходимости, сходится абсолютно и равномерно к аналитической функции. Обратно: аналитическая в некотором круге | z − z0 |< R функция f ( z) единственным образом представляется в

этом круге степенным рядом

∞		(n)	(z0 )
f (z) = ∑	f			(z − z0 )n ,
		n!
n=0

называемым рядом Тейлора этой функции.

Приведем некоторые степенные ряды, служащие определением соответствующих функций – их сумм как аналитических продолжений сумм соответствующих действительных рядов с действительной оси на всю комплексную область:

∞

2n+1

∞

∑

= ez ;

∑ (−1)

=sin z; ∑ (−1)

= cos z ,

n=0

(2n +1)!

n=0

2n!

(радиусы сходимости этих рядов R = ∞ );

		∞	α(α −1)...(α + n −1)zn = (1+ z)α (R
		∑	α(α −1)...(α + n −1)zn = (1+ z)α (R
		n=0		n!
			∞		n+1	zn = ln(z +1) (R = 1).
			∑ (−1)			zn = ln(z +1) (R = 1).
			n=1	n
	Особо выделим частный случай
				∞				1
				∑ zn =				1	(R = 1).
				∑ zn =			1	− z	(R = 1).
				n=0			1	− z
	Пример 7.1		([3],	№		1.95).			Исследовать
∞	n
∑	n	.
∑	n	.
n=1	(2i)

= 1);

сходимость ряда

Решение. Выясним наличие абсолютной сходимости, например,

по признаку Даламбера: lim	c	= lim	(n +1)2n	=	1	<1	. Ряд сходит-
	n+1		2n+1 n
	c				2
n→∞	c	n→∞			2
	n

ся и притом абсолютно.

Пример 7.2 ([3], № 1.96). Исследовать сходимость ряда

∞

∑

n=1

(in)

Решение. По признаку Даламбера

lim

(n +1)!nn

= lim

(n +1)nn

= lim

(n +1)n+1 n!

(n +1)n+1

(n +1)n

n→∞

так как e ≈ 2,7 , то

1 <1 . Ряд сходится абсолютно.

∞

Пример 7.3 ([3], № 1.97). Исследовать сходимость ряда

∑ein .

n=1

∞

Решение. Так как ein = cos n + i sin n , а ряды ∑cos n и

∑sin n

n=1

∞

расходятся, то расходится и ряд ∑ein .

n=1

∞ ein

Пример 7.4 ([3], № 1.100). Исследовать сходимость ряда ∑n=1 n2 .

		e	in		1	∞	1
Решение. Так как	\|			2 \|=		и ряд ∑		сходится, то исходный
		n			2		2
					n	n=1	n

ряд сходится абсолютно.

Пример 7.5 ([3], № 1.103). Исследовать сходимость ряда

∞

cosin

∑

n .

n=1

Решение.

en +e−n

∞

cosin

∞

e−n

cosin = chn =

; ∑

= ∑

n+1

n=1

Ряд представляет собой сумму двух рядов. Первый расходится, так как не выполняется необходимое условие сходимости

lim cn = lim		1	e	n	e
		2		≠ 0			>1	;
						2
n→∞	n→∞		2
второй сходится по признаку Коши

lim n	c	= lim n	e−n	=	e−1	< 1.


n→∞	n	n→∞	2n+1	2

Поэтому ряд из суммы этих двух рядов расходится.

Пример 7.6 ([3], № 1.104). Исследовать сходимость ряда

∞ nsin in

∑n=1 3n

Решение.

∞

nsin in

∞

inshn

∞

n(en −e−n )

∑

= ∑

= i∑

n=1

2 3

∞

Ряд ∑ nen

сходится по признаку Коши:

n=1

lim n

= lim n

= e <

1 (так как lim n

n = 1).

n→∞

∞

−n

Ряд ∑ nen

также сходится, так как

n=1

e−1

lim n

= lim n n

<1.

n→∞

Таким образом, исходный ряд сходится абсолютно.

В следующих примерах определить радиусы сходимости степенных рядов.

Пример 7.7 ([3], № 3.40).

∞ zn

∑n=1 n .

Решение. По формуле Коши–Адамара

R =				1	= lim
R =		lim n \| c \|			= lim
		lim n \| c \|				n→∞
		n→∞		n
		n→∞
Пример 7.8 ([3], № 3.41).						n
				∞	z	n
				∑	z		.
				∑	n!		.
				n=1	n!
Решение. R = lim \|	cn		\|= lim (n +1)!
Решение. R = lim \|	c +1		\|= lim (n +1)!
n→∞	c +1			n→∞	n!
	n

Пример 7.9 ([3], № 3.42).

n n = 1.

= lim(n +1) = ∞.

n→∞

∞

∑nn zn .

n=1

Решение. R = lim

= 0 .

n→∞ n nn

Пример 7.10 ([3], № 3.44).

∞

∑

zn .

Решение.

n=1

n!(n +1)n+1

(n +1)n

1 n

R = lim |

|= lim

= lim

= lim 1

= e .

cn +1

(n +1)!

n→∞

Пример 7.11 ([3], № 3.45).

∞

∑ zn! = 1+ z + z2 + z6 + .. .

n=0

Решение. Воспользуемся более общей формулой Коши–

Адамара R =		1			(верхний предел). Для получения верхнего
	lim
				\|
	n→∞ n \| c
			n

предела надо взять ту подпоследовательность, у которой предел существует и наибольший. В данном случае, надо брать подпосле-

довательность с номерами 0,1,2,3, … n!… , все члены которой равны 1 и, следовательно,

= 1 .

lim

n→∞ n | c |

Аналогично решаются [3] № 3.46, 3.47, 3.48.

Пример 7.12 ([3], № 3.49).

∞

∑cosin zn

n=1

∞

Решение. ∑cosin zn = ∑chn zn

= 1 ∑(en +e−n )zn .

n=1

2 n=1

Сумма

двух

рядов.

Радиус

сходимости

первого

ряда

R = lim

= 1 ,

радиус

сходимости второго

R = lim

= e .

n→∞ n en

n→∞ n e−n

Пересечением этих множеств будет круг с меньшим радиусом сходимости, то есть R = 1e .

Данные функции разложить в ряд Тейлора в окрестности z0 = 0

и найти радиус сходимости.

Пример 7.13 ([3], № 3.67).

f ( z) = ch z .

Решение. chz = ez +2e−z . Пользуясь разложением экспоненты

∞

ez = ∑

, получим

n=0

∞

ch z =

∑

+∑ (−z)

∑

(1+(−1)n )zn .

n=0

2 n=0

Остаются только слагаемые с четными номерами n = 2k :

∞

chz =

1 ∑

2z2k

= ∑

2 k =0 (2k)!

n=0 2k!

Далее находим радиус сходимости

R = lim |

|= lim

(2k + 2)!

= lim(2k + 2) = ∞ .

c +1

2k !

k →∞

Пример 7.14 ([3], № 3.69). Разложить f (z) = sin2 z .

Решение.

sin2 z =

1 (1−cos 2z) . Используем разложение косину-

са:

∞

(2z)

∞

cos z = ∑(−1)

cos 2z = ∑(−1)

= ∑

(−1)

n=0

2n!

n=0

(2n)!

n=0

(2n)!

Искомое разложение

sin2 z = 1

− 1

∞

n+1

2n−1

R = ∞ .

∑

(−1)

= ∑(−1)

;

2 2 n=0

(2n)!

n=0

(2n)!

Пример 7.15 ([3], № 3.71). Разложить

f (z) = (a + z)α(aα = eαln a ) .

Решение. (a + z)α

= aα 1+

. Воспользуемся разложением

∞

−1)..(α−n +1) zn

(R = 1),

(1+ z)α = ∑ α(α

n=0

αln a

∞

α(α−1)..(α−n +1)

∞

z n

)

= e

∑

= a

∑

n=0

n=0 n a

α(α−1)...(α−n +1)

;

R =| a | .

где

Пример 7.16 ([3], № 3.72). Разложить

f (z) = z + i , ( i =

1+i

) .

Решение. В данной двузначной функ-

ции выделяется однозначная аналитиче-

ская

ветвь

условием

f (0) =

i =

1+i

Обозначив z + i = reiφ , получим

z +i =

iφ+2πki

(k = 0,1) .

Рис. 7.1

В точке z = 0 (рис. 7.1) r = 1;

φ =

	π	+2 πk		π		1		1+i
f (0) = ei	2		= ei						k = 0 .
					eiπk =		(1+i)eiπk =
		2		4
						2		2

i φ

Следовательно, разлагается ветвь: z +i = re 2 , которая в точ-

ке z = 0 как раз принимает значение 1+2i .

Пользуясь разложением

∞	−1)...(α−n					+1)zn ,
(1+ z)α = ∑ α(α	−1)...(α−n					+1)zn ,
n=0				n!
полагая
		z					z	1
		z					z	2
z +i = i 1+			=	i 1	+				,
z +i = i 1+		i	=	i 1	+				,
		i					i

получим

−

∞

−n +1

z +i

∑

n=0

1+i

1 z

∞

n−1 1 3 .. (2n −3) z

+∑(−1)

;

2 4 .. 2n

2 i

n=2

R = 1.

Пример 7.17 ([3], № 3.74). Разложить		z
	f (z) =		.
		z2 −4z +13

Решение. Разложим знаменатель на множители z2 −4z +13 = (z −2 −3i)(z −2 +3i) ,

а f(z) – на элементарные дроби:

z2 −4z +13

−2 −3i

z −2 +

z = A( z − 2 + 3i) + B( z − 2 + 3i) .

Полагая в

этом

тождестве

последовательно

z = 2 +3i ,

затем

z = 2 −3i , получим:

A = 1

− 1 i ,

B =

+ 1 i

2 −

3 i

+ 3 i

−4z +13

z −2 −3i

z −2 +3i

−

1 i

−(2 +3i) 1−

−(2 −3i) 1−

−

1−

2 +3i

2 −3i

Далее воспользуемся разложением

∞

= ∑ zn

(R = 1) .

1− z

Отсюда

n=0

∞

= ∑

∑

1−

n=0 (

2 +3i)

1−

n=0

(2 −

3i)

2 +3i

2 −3i

Получаем

∞

∑

−

−4z +13

+3i)

−3i)

6 n=0

∞ (2 −3i)n −(2 +3i)n

∑

13 .

6 n=0

Пример 7.18 ([3], № 3.75). Разложить

f (z)

(z +1)2

Решение. Представим функцию f(z) в виде:

(z +1−1)2

(z +1)2 −2(z +1) +1

=1−

(z +1)2

z +

(z +

1)2

∞

=1−2∑(−1)

−

=1−2∑(−1)

−

∑(−1)

n=0

∞

=1−2∑(−1)n zn −∑(−1)nnzn−1 =1−2∑(−1)n zn −∑(−1)n+1 (n+1) zn =

n=0

n=1

n=0

∞

= −2∑(−1)n zn +∑(−1)n (n +1)zn = ∑(−1)n (n −1)zn , R =1 .

n=1

n=2

Пример

7.19

([3], №

3.83).

Разложить

функцию

f (z) =

по степеням ( z −1)

и найти радиус сходимости.

z2 − 2z +5

Решение. Преобразуем данную функцию:

f (z) =

z −1+1

z −1

z2 −2z +5

(z −1)2 +4

−1)2 +4

(z −1)

;

(z −1)2 +4

(z −1)

2 + 4

(z −1)2

Для этого последнего выражения используем разложение

∞

n (z −1)2n

= ∑(−1)

или

∑(−1)

n .

1 + z

(z −1)

n=0

Получим

(−1)n (z −1)2n+1

∞

1 ∞

(−1)n (z −1)2n

f (z) =

∑

4 n=0

∞

= ∑

(−1)

[(z −1)2n+1 +(z −1)2n ], R = 2.

n 1

n=0

Пример 7.20 ([3], № 3.88). Найти первые пять членов разложе-

ния в ряд по степеням z функции

f (z) = ez sin z .

∞

Решение.

Воспользуемся

разложениями

= ∑

2n+1

n=0 n!

∞

sin z = ∑ (−1)

, тогда

n=0 (2n +1)!

ez sin z

=1+ z sin z +

(zsin z)2 +

(z sin z)3 +... =

=1+ z(z −

−

+...) +

(z −

−

+...)2

120

720

(z −

−

+...)3 +

(z −

−

+...)4 +... =

120

720

120

720

=1+ z2 +(−16 + 12)z4 +(1201 − 16 + 16)z6 + +(−1201 + 721 +1201 −121 + 241 )z8 +... = =1+ z2 + 13 z4 +1201 z6 − 361 z8 +...

Пример 7.21 ([3], № 3.94).

Пользуясь умножением рядов раз-

ложить в ряд по степени z функцию

f (z) =[ln(1 − z)]2 .

∞

Решение. Воспользуемся разложением ln(1− z) = −∑

(R = 1)

n=1

∞

[ln(1− z)]

= (∑

)

n=1

= (z +

+...) (z +

+...) =

= z2 +(

3 +(

4 +(

)z5

+... =

= 2

+(1+

)

(1+

)

+... +(1

+... +

)

+... .

−1

Пример 7.22 ([3], № 3.98).

Пользуясь подстановкой ряда в ряд

разложить в ряд по степеням z функцию

f (z) = e

1−z

Решение. Воспользуемся разложениями

			∞		z	n
		ez	= ∑		z		,
		ez	= ∑		n!		,
Тогда			n=0		n!
Тогда
	z	∞	z	n				1
e		= ∑
	1−z
	1−z		(1− z)			n		n!
		n=0	(1− z)					n!

	1				∞
	1		= ∑ zn .
1− z			= ∑ zn .
1− z				n=0
	∞	1			n	1 n
= ∑				z			=
= ∑		n!		z			=
	n=0	n!				1−z

100

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 2510 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
12.11.20226.39 Mб3Международная телекоммуникатсионная конферентсия Молодеж и наука Ч.2 2015.pdf
#
12.11.20224.22 Mб3Международная телекоммуникатсионная конферентсия Молодеж и наука Ч.3 2015.pdf
#
12.11.20225.39 Mб25Миленин Обучение комплексу базовыкх боевыкх приемов самбо 2015.pdf
#
12.11.20221.05 Mб10Милославская сетевые атаки на открытые системы на примере 2012.pdf
#
12.11.20224.57 Mб9Мискевич Прямое преобразование ядерной енергии 2011.pdf
#
12.11.20223.91 Mб6Михайлов ТФКП Практикум 2013.pdf
#
12.11.2022608.01 Кб4Михеев Лабораторный практикум Специалные вопросы 2012.pdf
#
12.11.20222.39 Mб4Михеев Теоретические основы специалности Елементная база автоматических систем Лабораторный практикум 2012.pdf
#
12.11.20223.86 Mб6Мишулина Основы теории вероятностей 2011.pdf
#
12.11.20221.45 Mб7Мкртчян Учебное пособие по русскому языку как иностранному для спетсиалности 2015.pdf
#
12.11.2022966.07 Кб4Молошная Електромагнитная совместимост.pdf