Михайлов ТФКП Практикум 2013
.pdf
|
|
cos φ |
1 |
|
|
|
∂φ |
= |
sin φ |
0 |
= − |
sin φ |
. |
∂x |
ρ |
|
|
|||
|
|
|
ρ |
Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
∂u |
= nρn−1 cos nφcos φ−nρn sin nφ − |
sin φ |
|
= |
|
|||||||||||||||||
|
|
∂x |
ρ |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
= nρn−1 (cos nφcos φ+sin nφsin φ) = nρn−1 cos(n −1)φ . |
|
|||||||||||||||||||||||
Далее: |
|
|
∂υ = nρn−1 ∂ρsin nφ+ nρn cos nφ |
∂φ ; |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
∂y |
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
||||
|
|
∂ρ |
cosφ−ρsin φ |
∂φ |
, |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
−ρsin φ |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
0 = |
∂y |
∂y |
∂ρ |
|
|
|
1 |
|
ρcos φ |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
= sin φ; |
|
||||||||||
|
|
∂ρsin φ+ρcosφ∂φ |
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
ρ |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
1 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
∂y |
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
cos φ |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
∂φ |
= |
|
sin φ |
1 |
= |
cos φ |
, |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
ρ |
|
|
|
|
|
|
ρ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂υ = nρn−1 sin nφsin φ |
+nρn cos nφ |
cos φ |
|
= nρn−1 cos(n −1)φ. |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ρ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, ∂u |
= ∂υ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
∂x |
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Аналогично проверяется условие |
∂u |
= − |
∂υ . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|||
Ввиду |
непрерывности |
частных |
|
производных |
|
производную |
||||||||||||||||||
w'(z) можно вычислить, например, по формуле w'(z) = ∂u +i |
∂υ . |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
∂x |
Подсчитав, что ∂∂υx = nρn−1 sin (n −1)φ, получим:
(zn )' = nρn−1 cos(n −1)φ+inρn−1 sin(n −1)φ= nzn−1 ,
что и требовалось доказать.
31
Производную легко получить и непосредственно, пользуясь определением:
|
(zn ) ' = lim |
|
w |
= lim (z + |
z)n − zn |
= |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
→0 |
|
z |
|
z→0 |
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
= lim |
zn +nzn−1 |
z + |
|
− zn |
= nzn−1. |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
z |
→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Рассмотрим |
функцию |
|
|
|
w = ez |
= ex+iy = exeiy = ex (cos y +i sin y) ; |
||||||||||||||||||||||
u(x, y) = ex cos y ; υ(x, y) = ex sin y . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Условия Коши–Римана выполняются, так как |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
∂u = ex cos y = |
∂υ |
= ex cos y |
, |
∂u = −ex sin y = − |
∂υ |
= −ex sin y . |
||||||||||||||||||||||
∂x |
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|||||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
(e |
z |
)' = |
∂u |
|
|
|
|
∂υ |
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
z |
|
||||||
|
|
∂x |
+i |
∂x = e |
|
cos y +ie |
|
sin y = e |
|
. |
||||||||||||||||||
Рассмотрим функцию w = Ln z = ln ρ+ iφ+ i2πk . |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
u ( x, y) = ln x2 + y2 ; |
|
v ( x, y) = φ + 2πk ; |
||||||||||||||||||||||||||
∂u = |
|
x |
|
|
|
= cos φ ; |
∂υ |
|
= |
∂φ |
= cos φ (см. выше). |
|||||||||||||||||
x2 + y2 |
∂y |
|
∂y |
|||||||||||||||||||||||||
∂x |
|
|
|
ρ |
|
|
|
|
|
|
ρ |
|
|
|
||||||||||||||
Аналогично: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂u |
= |
|
|
|
y |
|
|
|
= sin φ |
; |
|
|
∂υ = ∂φ |
= −sin φ . |
|||||||||||||
|
∂y |
|
x2 |
+ y2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ρ |
|
|
|
∂x |
∂x |
|
ρ |
|
||||||||||||
Условия Коши–Римана выполнены: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
(Lnz)' = ∂u |
|
+i ∂υ = cos φ |
−i sin φ = |
ρcos φ −i |
ρsin φ = |
|||||||||||||||||||||||
|
∂x |
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
ρ |
|
|
|
ρ |
|
|
|
ρ2 |
|
ρ2 |
|||||||
|
= |
|
|
|
|
|
x |
|
|
−i |
|
y |
|
|
= |
|
x −iy |
|
= 1 . |
|
|
|
||||||
|
|
|
x2 + y2 |
|
|
x2 |
+ y2 |
|
x2 + y2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
Эту производную можно было вычислить по правилу производной для обратной функции. Действительно, если w = w(z) , то об-
ратная функция z = z−1 (w) имеет производную:
32
w'( z) = lim |
w = lim |
|
1 |
= |
|
|
1 |
|
; |
|
|
w |
( |
|
( |
|
)) |
||||
z→0 |
|
|
|
|
|
|
||||
z w→0 |
z |
|
|
z−1 |
|
w |
′ |
|
||
|
|
|
|
|
|
так как w = Ln z , если z = ew , то
(Ln z)' = (e1w )' = e1w = 1z .
Пример 3.2 ([3], № 1.132). Найти постоянные a , b , c , при которых функция f ( z) будет аналитической:
1)f (z) = x + ay +i (bx +cy) ;
2)f ( z) = cos x (chy + ashy) +i sin x (chy +bshy) .
Решение.
1) |
w = f (z) = u +iv = x + ay +i (bx +cy) ; |
∂u =1 |
, |
∂υ |
= c с = 1, |
||
|
|
|
|
∂x |
|
∂y |
|
|
∂u |
= a , |
∂υ = b a = −b. |
|
|
|
|
|
∂y |
|
∂x |
|
|
|
|
Ответ: c =1 , a = −b . |
|
|
|
|
|
|
|
2) |
f (z) = u +iυ, u = cos x (chy + ashy) ; |
|
|
|
|
||
|
υ = sin x(chy |
+bshy); ∂u = −sin x(chy +ashy) ; |
|||||
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
∂∂yυ = sin x(shy +bchy) a = −1 ; b = −1 .
При этом ∂∂uy = cos x(shy −chy) ; ∂∂υx = cos x(chy −shy) , т.е.
∂∂uy = −∂∂υx .
Пример 3.3 ([3], № 1.133). Найти области, в которых функция f (z) = x2 − y2 + 2i xy будет аналитической.
Решение. Рассмотрим два случая: 1) xy > 0 ; 2) xy < 0 .
В первом случае: а) x2 − y2 >0 ; б) x2 − y2 <0 (I и III четверти на рис. 3.1):
33
∂υ ∂x
Рис. 3.1
Рис. 3.2
б) u = y2 − x2 ;
а) u = x2 − y |
2 ; υ= 2xy ; |
∂u = 2x ; |
|
||||
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
∂υ |
= 2x |
∂u |
= |
∂υ |
; |
|
|
∂y |
|
∂x |
|
∂y |
|
|
∂u |
= −2 y; |
∂υ = |
2y |
∂u |
= − |
∂υ. |
|
∂y |
|
∂x |
|
|
∂y |
|
∂x |
Условия Коши–Римана выполняются.
б) u = y2 − x2 ; υ= 2xy ; |
∂u |
= −2x . |
|
∂x |
|
Условия Коши–Римана не выполняются.
Во |
втором |
случае: а) х2 |
– у2 |
> 0, |
б) x2 − y2 < 0 |
(II-я и IV-я четверти на рис. |
|||
3.2): |
|
|
∂u |
|
а) |
u = x2 − y2 ; υ= −2xy ; |
= 2x ; |
||
|
|
|
∂x |
|
∂∂yυ = −2x , условия не выполняются.
υ= −2xy ; |
∂u |
= −2x ; |
∂υ |
= −2x ; |
∂u |
= 2 y ; |
|
∂x |
|
∂y |
|
∂y |
|
, т.е. условия Коши–Римана выполняются.
Таким образом, функция аналитическая в областях:
|
|
3π |
|
π |
|
π |
|
π |
π |
|
3π |
||||||||
arg z |
−π;− |
|
|
|
− |
|
;− |
|
|
|
0; |
|
|
|
|
; |
|
. |
|
4 |
2 |
4 |
4 |
2 |
4 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 3.4 ([3], № 1.135). Пусть z = ρiφ , w = f ( z) =
=u(ρ,φ) +iυ(ρ,φ) . Записать уравнения Коши–Римана в полярных координатах.
x =ρcosϕ, |
то |
Решение. Так как |
|
y =ρsin ϕ, |
|
34
|
|
|
|
|
|
|
∂u = ∂u ∂x + |
|
∂u ∂y |
= |
∂u cosφ |
+ |
∂u sin φ, |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∂ρ |
|
|
∂x ∂ρ |
|
∂y ∂ρ |
∂x |
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∂υ |
= |
∂υ ∂x |
+ |
∂υ ∂y |
= |
∂υ |
(−ρsin φ) + ∂υρcos φ. |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∂x ∂φ |
∂y ∂φ |
∂x |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∂φ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
Применяя условия Коши–Римана в переменных ( x, y) , получим |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂u |
= ∂u cos φ+ ∂u sin φ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ρ |
∂x |
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∂υ |
|
= ∂u |
|
ρcosφ− |
∂u ρsin φ |
∂u = 1 |
∂υ |
. |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∂φ |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
∂ρ ρ ∂φ |
|||||||||||
|
Аналогично: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
∂u = ∂u |
∂x |
|
+ |
∂u ∂y |
= |
∂u (−ρsin φ) |
+ ∂u ρcosφ, |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∂y ∂φ |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
∂φ |
∂x ∂φ |
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∂υ |
= ∂υ ∂x + |
|
∂υ ∂y |
= |
∂υcosφ+ |
|
∂υsin φ. |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∂ρ |
|
|
∂x ∂ρ |
|
∂y ∂ρ |
∂x |
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
По условиям Коши–Римана в переменных (x, y) : |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∂u |
= − |
∂u ρsin φ+ ∂υρcos φ, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∂φ |
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
∂u = − |
∂υ . |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
∂υ |
|
|
|
∂u cos φ+ ∂u sin φ |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= − |
|
|
ρ ∂φ |
∂ρ |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∂ρ |
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Таким образом, условия Коши–Римана в полярных координатах |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
имеют вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂u = |
1 ∂υ |
, |
|
|
|
1 ∂u |
= − |
|
∂υ . |
(3.2) |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ρ ∂φ |
|
|
|
ρ ∂φ |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ρ |
|
|
|
|
|
|
|
∂ρ |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
Пример |
3.5 |
([3], |
|
№ 1.139). |
Доказать, |
|
что |
для функции |
|||||||||||||||||||||||||||||
f (z) = |
|
xy |
|
в точке z = 0 выполняются условия Коши–Римана, но |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
производная не существует. |
f ( z) = |
|
|
|
|
|
|
u (x, y) = |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
Решение. Для функции |
|
xy |
|
: |
|
|
xy |
|
; υ = 0 ; |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
∂υ |
= ∂υ = 0 всюду; |
∂u |
|
в точке z = 0 вычисляется как предел: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
∂x |
∂y |
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
35
∂u |
|
|
= lim |
u (0 + |
|
x,0) −u (0,0) |
; |
|||||||
|
|
|||||||||||||
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x=0 |
x→0 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
y=0 |
|
|
|
|
|
∂u |
|
|
|
|
|
так как u (0 + x,0) = 0 |
и u (0,0) = 0 |
, то |
|
|
|
= 0 . |
||||||||
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
x=0 |
|
|
|
Аналогично: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y=0 |
|
|
|
|
|
|
|
u (0 + |
y,0) −u (0,0) |
|
|
|||||||
∂u |
|
|
= lim |
= 0 . |
||||||||||
|
|
|||||||||||||
∂y |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|||||
x=0 |
y→0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
y=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, в этой точке условия Коши–Римана выполняются. Найдем производную в точке z = 0 , вычисляя предел по лучу y = k x . Тогда
lim |
w |
= |
lim |
x2k |
, |
|
z |
x (1 +ik ) |
|||||
z→0 |
|
x→0 |
|
откуда видно, что этот предел зависит от k, т.е. производной не существует.
Пример № 3.6 ([3], № 1.156). Будут ли гармоническими функ-
ции |
f ( z) |
, arg f (z) , ln |
f (z) |
, если |
f (z) – аналитическая функция? |
||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение. Рассмотрим функцию: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
w = |
|
f (z) |
|
= u2 +υ2 =U +iV , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
где U = u2 +υ2 = Re w , V ≡ 0 = Im w ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
∂V |
= ∂V |
≡0 ; |
|
|
∂U |
= |
|
|
u |
|
|
|
∂u + |
|
|
|
|
|
υ |
|
|
|
∂υ ; |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
∂x |
∂y |
|
|
|
|
|
∂x |
|
u |
2 +υ2 |
∂x |
|
u |
2 +υ2 |
∂x |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
u2 +υ2 ∂u − |
|
u2 |
|
|
|
|
∂u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
∂2U |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
u2 +υ2 |
∂x |
|
∂u |
+ |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
∂x2 |
|
|
|
|
|
|
|
u2 +υ2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
u2 +υ2 |
∂υ − |
|
υ2 |
|
|
|
|
∂υ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
∂2u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂2υ |
|
||||||||||||||
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
u |
2 +υ2 |
∂x |
|
|
|
|
|
|
υ |
|
|
|||||||||||||
+ |
|
|
∂x2 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
∂x2 |
= |
|||||||||||
|
u2 +υ2 |
|
|
|
|
|
|
|
u2 +υ2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u2 +υ2 |
36
|
|
|
|
υ2 |
|
|
∂u 2 |
|
|
|
|
|
u2 |
|
|
∂υ 2 |
|
|||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|||
u2 + υ2 (u2 + υ2 ) |
|
|
|
u2 + υ2 (u2 + υ2 ) |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
∂x |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
+ |
|
|
u |
|
|
|
∂2u |
+ |
|
|
|
|
υ |
|
∂2υ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x2 |
|
|
u2 +υ2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Аналогично |
|
|
u2 +υ2 |
|
|
|
|
|
∂x2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||||
∂2U |
|
|
υ2 |
|
|
|
|
∂u |
|
|
u2 |
|
|
|
∂υ |
|||||||||||
|
2 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
||||
∂y |
u |
2 +υ2 (u2 |
+υ2 ) |
∂y |
|
u2 +υ2 (u2 +υ2 ) |
∂y |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
+ |
|
|
u |
|
|
|
∂2u |
+ |
|
|
|
|
υ |
|
∂2υ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂y2 |
|
|
|
u2 + υ2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
u |
2 + υ2 |
|
|
|
|
|
∂y2 |
|
|
|
|
|
|
|
U = |
∂2U |
|
+ |
|
∂2U |
|
= |
|||
|
∂x 2 |
|
|
∂y2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
u2 |
|
|
|
|
|
∂u 2 |
|
|||
+ |
|
|
|
|
|
|
+ |
||||
|
3 |
|
|
||||||||
|
(u2 +υ2 ) |
|
|
|
|
∂x |
|
||||
|
2 |
|
|
|
|
|
υ2 |
|
|
|
|
|
|
∂u |
2 |
+ ∂u |
2 |
+ |
|
||||||
(u |
|
|
|
|
) |
3 |
|
|
||||||||||||
2 |
|
|
2 |
|
|
|
∂x |
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|||||
+υ |
2 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
∂υ 2 |
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
∂2u |
|
∂2u |
|
|||||||
∂y |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x2 |
+ |
|
|
+ |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
u |
2 |
+υ |
2 |
|
|
|
∂y2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
υ |
|
|
∂2υ |
|
∂2υ |
|
∂u 2 |
|
∂u 2 |
|
|
1 |
|
|
||||||||||
+ |
|
|
|
|
|
|
2 |
+ |
|
|
|
|
= |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
≠ 0; |
|||
|
2 |
|
2 |
∂x |
∂y |
2 |
∂y |
|
2 |
|
2 |
|||||||||||||||
|
u |
+υ |
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
u |
+υ |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Таким образом, функция |
|
|
f (z) |
|
|
не является гармонической. |
||||||||||||||||||||
|
|
|
Рассмотрим функцию arg f (z) = arctg uυ +const .
∂(arg f (z)) |
= |
|
1 |
|
∂ |
|
|
∂x |
1 |
+ |
υ2 |
|
∂x |
|
|
|
u2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
arg f (z) , |
|
где |
|
f (z) = u( x, y) + iυ( x, y); |
|||||||||||||||||
|
υ |
|
|
u2 |
|
|
|
u |
∂υ |
−υ |
∂u |
|
|
u |
∂υ |
−υ |
∂u |
|
||||
= |
|
|
|
|
∂x |
∂x |
|
= |
∂x |
∂x |
; |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
u |
2 |
+ |
υ |
2 |
|
|
u |
2 |
|
|
|
u |
2 |
+υ |
2 |
||||||
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂υ |
|
∂u |
|
||
∂2 (arg f (z)) |
= |
∂ |
u |
∂x |
−υ |
∂x |
= |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
∂x2 |
|
|
u2 |
+υ2 |
|||||
|
∂x |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
37
|
|
(u2 +υ2) ∂u ∂υ+u |
∂ υ2 −∂υ ∂u −υ |
∂ u2 − u∂υ−υ∂u 2u ∂u +2υ∂υ |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= |
|
|
|
|
|
∂x ∂x |
|
|
|
|
∂x ∂x ∂x |
|
|
|
∂x |
|
∂x |
|
|
|
∂x |
|
|
∂x |
|
∂y |
= |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(u2 +υ2 )2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(u |
2 |
|
|
+υ |
2 |
) |
|
|
∂2υ |
−υ |
∂2u |
−2 |
|
|
∂υ |
−υ |
∂u |
|
∂u |
+υ |
∂υ |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
∂x |
2 |
∂x |
2 |
|
u |
∂x |
|
u |
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
∂x |
; |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(u2 +υ2 )2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Аналогично |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(u2 + |
υ2 ) |
|
|
|
|
∂ |
2 |
|
|
|
|
|
∂ |
2 |
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂u |
|
|
|
∂u |
|
∂υ |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
υ |
−υ |
|
|
−2 |
u |
∂υ −υ |
|
u |
+υ |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∂2 (arg f (z)) |
|
|
∂y2 |
∂y2 |
∂y |
|
∂y |
∂y |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
∂y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(u2 +υ2 )2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arg f (z) = |
|
∂2 (arg f (z)) |
+ |
∂2 (arg f (z)) |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂2υ |
|
|
|
|
∂2υ |
|
|
|
|
|
∂ |
2u |
|
|
∂2u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
υ |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
× |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u2 +υ2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u2 +υ2 |
|
|
|
|
|
|
(u2 +υ2 )2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
× u ∂υ |
|
−υ |
∂u |
|
u ∂u |
|
+υ∂υ |
+ u |
∂υ |
−υ |
∂u |
u |
∂u |
|
+υ |
∂υ |
= |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
∂y |
|
∂y |
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂u |
|
|
|
|
∂u |
|
|
|
∂u |
|
|
|
∂u |
|
|
|
|
∂u |
|
|
∂u |
|
|
∂u |
|
∂u |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
=− |
|
|
|
|
|
|
|
|
−u |
|
|
|
|
|
− |
υ |
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
−υ |
|
|
|
+ |
u |
|
|
|
−υ |
|
|
u |
|
|
+υ |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
(u2 + |
υ2 ) |
2 |
|
∂y |
|
∂x |
|
∂x |
∂y |
∂x |
∂y |
∂y |
∂x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(так |
|
как |
|
и, |
|
|
|
|
υ – |
|
гармонические |
|
функции, |
|
потому |
|
|
∂2u |
+ |
∂2u |
= 0 , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x2 |
∂y |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
∂2υ |
+ |
∂2υ |
|
=0 , кроме того, |
|
во втором слагаемом в силу условий |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∂x2 |
∂y2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Коши–Римана мы заменили |
∂υ |
на − |
∂u |
|
и |
|
∂υ |
на |
|
∂u |
). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∂x |
∂y |
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
38
Далее:
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 ∂u |
|
∂u |
|
|
|
∂u 2 |
|
|
|
∂u 2 |
|||
(arg f (z)) = − |
|
|
|
|
|
−u |
|
|
|
+uυ |
|
|
−uυ |
|
+ |
||||||||||
(u2 |
+υ2 ) |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
∂y |
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
∂x |
|
||||
+υ |
2 ∂u |
|
∂u |
+u |
2 ∂u |
|
∂u |
|
|
|
∂u 2 |
|
|
|
∂u 2 |
2 |
∂u |
|
∂u |
= 0. |
|||||
∂x |
∂y |
|
∂x |
∂y |
+uυ |
|
|
−uυ |
∂y |
|
−υ |
|
∂x |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
∂y |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Таким образом, функция arg f (z) |
является гармонической (при |
условии аналитичности функции f (z) ).
Можно было бы сделать этот пример и иначе, но для этого предварительно докажем еще одну форму записи условий Коши–
Римана, а именно: если функция |
w = f (x, y) |
записана в виде |
|||||||||||
w = R(x, y) eiΦ( x, y) , где |
R(x, y) = |
|
w |
|
, |
а Φ(x, y) =arg w , |
то условия |
||||||
|
|
||||||||||||
Коши–Римана можно записать в виде: |
|
|
|
|
|||||||||
|
∂R |
= R ∂Φ, |
|
|
|
∂R |
= −R |
∂Φ, |
(3.3) |
||||
|
∂x |
∂y |
|
|
|
|
|
|
∂y |
|
∂x |
|
|
Действительно: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w = u(x, y) +iυ( x, y) = R (x, y)eiΦ( x, y) = R cos Φ +iR sin Φ , |
|||||||||||||
т.е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u(x, y) = R( x, y)cos Φ( x, y) , |
υ( x, y) = R ( x, y)sin Φ( x, y) . |
||||||||||||
Используя условия Коши–Римана |
∂u = |
∂υ , |
∂u |
= −∂υ |
, получим |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
∂y |
∂y |
∂x |
|
∂R |
|
∂Φ |
|
|
∂R |
|
|
∂Φ |
|
||||
|
∂x cos Φ− Rsin Φ |
∂x |
= ∂y sin Φ+ RcosΦ ∂y |
, |
|||||||||
|
∂R |
|
∂Φ |
|
|
|
∂R |
|
|
∂Φ |
|||
|
∂y cos Φ− Rsin Φ |
∂y |
= − |
∂x sin Φ− RcosΦ ∂x . |
Умножим первое уравнение на cos Φ , а второе – на sin Φ и сложим:
∂∂Rx = R ∂Φ∂y .
Второе условие получим, умножив первое уравнение наsin Φ , а второе – на cos Φ :
39
∂∂Ry = −R ∂Φ∂x .
Пользуясь уравнениями (3.3), докажем полученные ранее результаты относительно гармоничности функций arg f (z), f (z) ,
ln f (z) . Так как arg f (z) = Φ(x, y) в принятых здесь обозначениях,
то дифференцируя первое из равенств (3.3) по у, а второе – по х и вычитая их, получим:
∂R |
∂Φ |
+ R |
∂2Φ |
+ |
∂R |
∂Φ |
+ R |
∂2Φ |
= 0 . |
∂y |
∂y |
|
∂y2 |
|
∂x |
∂x |
|
∂x2 |
|
В силу (3.3) первое и третье слагаемые уничтожаются, что при-
водит к уравнению ∂2Φ + ∂2Φ = 0 , из которого следует гармонич-
∂x2 ∂y2
ность функции Ф(х,у).
Аналогично для функции | f (x, y) |= R(x, y) продифференцируем первое из уравнений (3.3) по х, а второе – по у и сложим:
∂2 R |
+ |
∂2 R |
= ∂R |
|
∂Φ + R |
∂2Φ |
− |
∂R |
|
∂Φ − R |
∂2Φ |
; |
|||||
∂x2 |
∂y2 |
∂x∂y |
|
∂x∂y |
|||||||||||||
|
|
∂x |
|
|
∂y |
|
|
∂y |
∂x |
|
|
||||||
|
|
R = |
∂2 R |
+ |
∂2 R |
= |
∂R |
∂Φ − |
∂R |
∂Φ . |
|
|
|||||
|
|
|
|
∂x2 |
|
|
∂y2 |
|
∂y |
|
∂x |
|
∂x |
∂y |
|
|
В силу (3.3) правая часть приобретает вид:
−R ∂Φ∂ 2 −
x
|
∂Φ 2 |
|
|
R |
|
= −R |
|
∂y |
|
|
|
|
∂Φ 2 |
|
∂Φ 2 |
≠ 0, |
|
|
+ |
|
|
|
∂x |
∂y |
|
|
|
|
|
следовательно, R ≠ 0 и функция |
|
f (x, y) |
|
не является гармониче- |
||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||
ской. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x, y) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
И, наконец, для функции ln |
|
|
получим |
|
|
|
∂R |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
∂ |
(ln |
|
|
f (x, y) |
|
|
) |
= |
|
∂ |
|
(ln R(x, y)) = |
|
1 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x , |
|||||||||||||
|
∂x |
|
∂x |
|
R |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
∂ |
(ln |
|
|
f ( x, y) |
|
|
) |
= |
|
∂ |
|
(ln R(x, y)) = |
1 |
|
|
∂R |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∂y . |
||||||||||||||||||
|
∂y |
|
|
∂y |
|
R |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
40