Михайлов ТФКП Практикум 2013
.pdf∞ x2dx |
|
1 |
|
2πi |
|
z2 |
|
|
|
+ πi |
|
z 2 |
|
|
|
|
+ πi |
z2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
∫0 x4 −1 |
2 |
|
4z3 |
|
|
|
|
4z3 |
|
|
|
|
4z3 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
z=i |
|
|
|
|
z=−1 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
1 |
|
π |
− |
πi |
+ |
|
πi |
= |
|
π |
. |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
4 |
|
4 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
= z=1
Пр имер 13.9 ([3], № 4.178). Вычислить главное значение инте-
грала ∞∫ |
x pdx |
; (−1 < p < 0). |
|
|
|
1− x |
|
|
|||
0 |
|
z pdz |
|
||
Решение. |
Рассмотрим ∫ |
по контуру С, представленному |
|||
|
|||||
|
|
C |
1− z |
|
на рис. 13.5. Внутри контура функция аналитическая. Поэтому интеграл по всему контуру С равен 0. В то же время его можно расписать как состоящим из интегралов по составным частям контура. Интегралы по малой дуге радиуса ρ1 с центром в начале координат и по большой дуге радиуса R при стремлении ρ1 →0 и R →∞ , со-
ответственно, как легко показывается, обращаются в 0 (см. пример
13.6 и др.).
Интеграл по верхней полуокружности |
|
|||||||||
радиуса ρ2 с центром в точке z = 1 при |
|
|||||||||
стремлении ρ |
2 |
→0 |
равен −πi res |
[ |
f (z),1 , |
|
||||
|
|
|
|
|
|
] |
|
|||
так как точка z = 1 |
– полюс первого по- |
|
||||||||
рядка, то |
|
|
|
z p |
|
|
|
|
|
|
−πi res[f (z),1]= −πi |
|
|
= πi . |
|
||||||
−1 |
z=1 |
Рис. 13.5 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Интеграл по нижней полуокружности |
||||||||||
|
||||||||||
равен πie2 πip . Множитель e2iπp |
появляется из-за перехода на дру- |
гую ветвь функции zр при переходе с верхнего берега разреза на нижний. Главное значение интеграла по верхнему берегу действительной положительной полуоси равно вычисляемому интегралу:
J = ∞∫ |
x p dx |
. |
|
||
0 |
1− x |
Интеграл по нижнему берегу действительной положительной полуоси дает
191
|
0 |
p(ln x+iπ) |
|
|
0 |
x |
p |
dx |
|
|
∞ |
p |
dx |
|
|
|
|
|||||
|
∫ e |
|
|
|
dx = e2iπp ∫ |
|
= −e2iπp ∫ |
x |
|
= −e2iπp J . |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
∞ |
1− x |
|
|
∞ |
1− x |
|
0 1− x |
|
|
||||||||||||
Таким образом, получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
J −e2iπp J + πi(1+e2iπp ) = 0 |
|
|
||||||||||||||||
|
J = |
−πi(1+e2iπp ) |
= |
|
−πi(1+e2iπp )(1−e−2iπp ) |
= |
||||||||||||||||
|
|
1−e2iπp |
|
|
|
(1−e2iπp )(1−e−2iπp ) |
|
|||||||||||||||
|
−πi(e2iπp |
−e−2iπp ) |
πi 2isin 2πp |
|
2πsin 2πp |
= πctgπp . |
||||||||||||||||
= |
|
|
= − |
|
= |
|
|
|||||||||||||||
2 −(e2iπp |
+e−2iπp ) |
2 −2cos 2πp |
2 2sin2 πp |
Пример 13.10 ([3], № 4.179). Вычислить главное значение инте-
+∞ |
e |
px |
dxx |
(0 < p <1) . |
грала ∫ |
|
|||
−∞ |
1 |
−e |
|
Решение. Сводится к предыдущему примеру заменой ex = t .
Пример 13.11 ([3], № 4.180). Вычислить интеграл
1 1−p |
(1− x) |
p |
|
|
|
|||
J = ∫ |
x |
|
|
dx ; |
(−1 < p < 2). |
|
||
|
|
3 |
|
|
||||
0 |
|
(1+ x) |
|
|
|
|
|
|
Решение. Рассмотрим интеграл ∫ |
z1−p (1− z)p |
dz |
, где С – контур, |
|||||
3 |
||||||||
|
|
|
|
|
C |
(1+ z) |
|
представленный на рис. 13.6. Выделим в подынтегральной функции интегрируемую ветвь, являющуюся аналитическим продолжением с действительной оси (ее верхнего берега) функции
x1−p (1− x)p .
По |
определению z1− p = e(1− p )Lnz и |
|||||||||||||
(1− z)p = epLn(1−z) , |
z1−p = e(1−p)(ln |
|
x |
|
+iφ+2πki) . |
|||||||||
|
|
|||||||||||||
|
|
|||||||||||||
На действительной оси |
|
z |
|
= x ; φ = 0 и |
||||||||||
|
|
|||||||||||||
z1− p = e(1− p )(lnx +2 πki ) |
= e(1− p ) ln x = x1− p при k = 0. |
|||||||||||||
Таким образом, интегрируем ветвь |
||||||||||||||
Рис. 13.6 |
z1−p = e(1−p)(ln |
|
z |
|
+iφ) . |
|||||||||
|
|
|||||||||||||
|
|
192
Аналогично, (1− z)p = epLn(1−z) = ep(ln 1−z +iarg(1−z)+2πki) .
На действительной |
оси ln |
|
1− z |
|
= ln |
|
1− x |
|
, |
arg (1− z)= 0 (при |
||||
|
|
|
|
|||||||||||
0 < z <1 ) k = 0 . |
(1− z)p = ep(ln |
|
|
|
+iarg(1−z)). |
|
||||||||
Интегрируем ветвь |
|
1−z |
|
Внутри контура у |
||||||||||
|
|
|||||||||||||
|
|
подынтегральной функции есть одна особая точка z = −1 – полюс третьего порядка. Вычислим вычет в этой точке:
res[f (z),−1]= |
1 |
lim |
d |
2 |
f (z) (1+ z)3 |
|
= |
1 |
lim |
d |
2 |
(z1−p (1−z)p )= |
||
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|||||||
|
2!z→−1 dz |
|
|
|
|
2!z→−1 dz |
|
|
=1 lim[−p(1− p) z−1−p (1− z)p −(1− p)pz− p (1− z)p−1 −
2 z→−1
−(1− p)pz− p (1− z)p−1 + p(p −1)z1−p (1− z)p−2 ] .
Здесь для выделения ветвей
z1−p |
|
= ei(1−p)π , |
(1− z)p |
= ep(ln 2) = 2p |
|
z=−1 |
|
z=−1 |
|
|
|
|||
(так как arg (1− z) |
остался равным 0). Следовательно: |
res[f (z), −1]= 12 [−p(1− p)ei(1−p)π 2p +(1− p)pei(1−p)π 2p−1 +
+(1− p)pei(1−p)π 2p−1 + p(p −1)ei(1−p)π 2p−2 ] = |
1 |
[ p2 − p + |
||||||||||||
|
(1− p)p |
|
(1− p)p |
|
p(p −1) |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
iπ 1−p |
|
|
p2 |
|
p |
|
||||
+ |
|
+ |
|
+ |
|
] = e |
( |
) 2 p−1 |
|
− |
|
|
= |
|
2 |
2 |
4 |
4 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
= 18 eiπ(1−p) 2p p(p −1).
Вычислим интегралы по составным частям контура. По верхне-
1 x1−p (1− x)p |
|
|
|
|
|
|
му берегу разреза ∫0 |
|
dx = J (искомый). На нижнем бере- |
||||
(1+ x)3 |
||||||
гу z1− p = e(1− p )(ln x) = x1− p ; (1− z)p |
= ep(ln |
|
1−x |
|
−2πi) = e−2 pπi (1− x)p . Поэтому |
|
|
|
|||||
|
|
интеграл по нижнему берегу разреза равен
193
∫ x |
(1− x) |
p |
|
dx = −∫ x |
(1− x) |
p |
dx = −e−2 pπi J . |
|||||
|
3 e |
−2 pπi |
|
3 e |
||||||||
0 |
1−p |
|
|
|
1 |
1−p |
|
|
|
−2 pπi |
||
1 |
|
(1+ x) |
|
|
0 |
|
(1+ x) |
|
|
|
Оценим интегралы по окружностям. Интеграл по малой окружности радиуса ρ с центром в начале координат, где z = ρeiφ :
|
|
|
z1−p (1− z)p |
|
2π ρ1−p |
|
1−ρeiφ |
|
p |
2π ρ2−p |
|
1−ρeiφ |
|
p |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
∫ |
|
|
|
dz |
≤ ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ρdφ =∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dφ→0 |
|
|
(1+ z) |
3 |
|
|
1 |
+ρeiφ |
|
3 |
|
|
|
|
1+ρeiφ |
|
3 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
Cρ |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
при |
ρ → 0 , так как p < 2 . Интеграл по малой окружности радиуса |
ρ с центром в точке z =1 , где 1− z = ρeiφ; dz = −ρieiφdφ; z =1−ρeiφ :
|
|
|
|
|
|
z |
1−p |
(1− z) |
p |
|
|
|
2π |
|
(1−ρeiφ )1−p |
|
|
ρp |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
dz |
|
≤ ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ρdφ = |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(1+ z) |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 −ρeiφ |
|
3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Cρ' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π |
|
1−ρeiφ |
|
1−p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=ρp+1 |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dφ→0 , |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 −ρeiφ |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
так как |
p > −1 . |
Интеграл по большой окружности радиуса R, где |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z = Reiφ : |
|
z1−p (1− z)p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2π R1−p |
|
1− Reiφ |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dz |
≤ |
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Rdφ≤ |
|
|
|
const → 0 |
|||||||||||||||
|
|
(1+ z) |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
1+ Reiφ |
|
3 |
|
|
R |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
CR |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
при R →∞ . Таким образом, имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
J −e−2iπp J = |
2πi ei(1−p)π 2p p( p −1); |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
2p p( p −1) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J = |
πi |
|
eiπ e−ipπ |
= |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1−e−2πpi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
= − |
πi |
2p |
p( p −1) |
|
|
|
|
|
e−iπp (1−e2πpi ) |
|
|
|
|
|
= |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(1 |
−e−2πpi )(1−e2πpi ) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= − |
πi |
2p p |
( p −1) |
|
|
|
|
|
|
e−πpi −eπpi |
|
|
|
|
= |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
2 −(e2πpi +e−2πpi ) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
194
= − |
πi |
2p p(p −1) |
−2isin πp |
= − |
πi |
2p p(p −1) |
− |
i |
|
= |
4 |
2 −2cos 2πp |
4 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
2sin πp |
|
=π p (1 − p)2 p . 8 sin πp
Пример 13.12 ([3], № 4.181). Вычислить интеграл
1 |
x1−p (1− x)p |
(−1 < p < 2). |
||
∫ |
|
|
dx ; |
|
1+ x |
2 |
|||
0 |
|
|
|
Решение. Рассмотрим интеграл по тому же контуру С, что и в примере 13.11. Ветвящиеся функции те же самые, поэтому воспользуемся некоторыми результатами этого примера. Внутри контура С теперь две особые точки ±i с полюсом первого порядка в
них. Вычеты вычислим по формуле ψφ' , где φ(z) = z1−p (1− z)p ;
ψ(z) =1+ z2 . Ветви выделены те же, что и в примере 13.11. В точке z = i :
z1−p |
|
|
= e(1−p)i |
π |
|
= ei |
π |
|
e−i π2 p = ie−i π2 p ; |
|||||||||||||||||
|
|
2 |
2 |
|||||||||||||||||||||||
|
z=i |
|
|
|
|
p ln 2 −i π |
|
|
|
p |
|
π |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
(1− z) |
p |
|
|
|
|
|
|
−i |
p |
; |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
= e |
|
|
4 = 2 2 e |
|
4 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
z=i |
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
−i |
π |
p |
|
|
|
|
−i |
|
π |
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
res[f (z),i]= |
ie 2 |
2 2 |
e |
|
|
4 |
|
= 2 |
p |
−1 |
e−i |
3π |
p . |
|||||||||||||
|
|
|
2 |
4 |
||||||||||||||||||||||
|
2i |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В точке z = −i
z1−p |
|
|
|
|
|
|
(1−p)i |
3π |
|
|
|
|
|
−i |
3π |
|
p |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
= e |
|
2 = −ie |
2 |
; |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
(1− z) |
|
z=−i |
|
|
|
p ln 2 |
+i |
π |
|
|
|
p |
|
|
i |
π |
p |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
= e |
|
|
|
|
|
4 = 2 2 e |
4 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
z=−i |
−i |
3π |
p |
|
|
p |
|
|
i |
π |
p |
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
5π |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
res[f (z), −i]= |
|
−ie 2 |
2 2 |
e 4 = 2 |
−1 |
e−i |
p . |
|||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
4 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
−2i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
195
Интеграл по всему составному контуру равен:
|
|
p |
−1 |
e |
−i 5π p |
|
p |
−1 |
e |
−i |
3π p |
|
p |
|
−i |
5π p |
+e |
−i |
3π p |
||
2πi |
2 2 |
|
4 |
+ 2 2 |
|
|
4 |
|
= πi 2 2 e |
|
4 |
|
4 |
. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычислим интегралы по составным частям контура. Интеграл по верхнему берегу разреза равен J (искомый), по нижнему берегу −e−2πpi J (см. пример 13.11). Интегралы по малым окружностям обращаются в ноль при стремлении радиусов к нулю. Остается вычислить интеграл по большой окружности, который в данном случае в нуль не обращается (недостаточная степень убывания модуля подынтегральной функции при R →∞ ):
|
∫ |
z1−p (1− z)p |
dz = −2πires[f (z),∞]. |
|
|
|
1+ z2 |
|
|
||
|
CR |
|
|
|
|
В точке z =∞ |
f (z) имеет разложение в ряд Лорана, |
начинаю- |
|||
щееся с члена |
c |
, так как главный член имеет вид |
(−1)p |
. Для вы- |
|
−1 |
z |
||||
числения (−1)p |
z |
|
|
|
|
возьмем произвольную, удаленную от начала коор- |
динат точку, например, на действительной положительной полуоси. Тогда
|
|
|
|
z1−p |
= x1−p ; |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
(1− z)p = epLn(1−z) = ep(ln |
|
1−x |
|
−iπ) = e−iπp |
|
1− x |
|
p |
||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||
(пользуемся выделенной |
ранее |
ветвью). |
Таким образом, при |
||||||||||||||
x → +∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
z1−p (1 − z )p |
|
x1−p (x −1)p e−iπp |
|
e−iπp |
||||||||||||
|
1+ z2 |
|
|
1 + x2 |
|
|
|
|
x |
||||||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
z1−p (1 − z)p |
e−iπp |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
1+ z2 |
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(для любых z →∞ , так как z =∞ правильная точка подынтегральной функции). Следовательно,
res[f (z),∞]= −c−1 = −e−iπp .
196
Интеграл по большой окружности, таким образом, равен
−2πires[f (z),∞]= 2πie−iπp .
Приравняем интеграл, вычисленный по составным частям контура, интегралу, вычисленному с помощью вычетов:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
−i 5π p |
|
|
|
|
−i 3π p |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
J (1−e−2iπp )+ 2πie−iπp = πi 2 2 |
e |
|
4 |
|
+e |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
−i 5π p |
|
|
|
|
|
−i 3π p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
πi 2 2 |
e |
4 |
|
|
+e |
|
4 |
|
−2πie−iπp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1−e−2iπp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
−i 5π p |
+e |
−i |
3π p |
−2e−iπp |
|
|
|
−e2iπp ) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
πi 2 2 |
e |
4 |
|
|
4 |
|
|
|
|
(1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
)( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1−e−2iπp |
|
|
1−e2iπp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
−i 5π p |
+e |
−i 3π p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
i |
5π p |
+e |
i 3π p |
|
+ |
2eiπp |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
πi |
2 2 |
|
e |
|
4 |
|
|
|
4 |
−2e−iπp −2 2 |
e |
|
4 |
|
4 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 −2cos 2πp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
(e− |
5πpi |
|
|
5πpi |
|
|
p |
(e− |
3πpi |
|
|
|
3πpi |
|
) + 2(eiπp −e−iπp )] |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
= |
πi[2 |
2 |
|
4 |
|
|
−e |
4 |
|
) + 2 |
2 |
|
4 |
|
|
−e |
4 |
|
= |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2(1 −cos 2πp) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
πi[−2 |
|
2i sin 5πpi −2 |
|
|
2isin |
|
3πpi |
+4isin πp] |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 2sin2 |
πp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
πi[4isin πp −2i 2 |
p |
|
|
|
|
|
|
5πpi +sin |
3πpi )] |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
(sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4sin2 πp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
πp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
πp |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
−π(2sin πp −2 |
|
2sin πp cos |
|
|
) |
|
|
|
|
π(2 |
|
cos |
−1) |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2sin |
2 πp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin πp |
|
|
|
|
|
|
|
197
Пример 13.13 ([3], № 4.183). Вычислить интеграл
∫1 ( |
x |
) p |
dx |
(−1 |
< p <1; a > 0). |
|
|||||
1− x |
x +a |
|
|||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Решение. Рассмотрим интеграл |
∫( |
|
z |
)p |
dz |
|
по контуру С, |
||||
|
−z |
z +a |
|||||||||
|
|
|
|
|
C 1 |
|
|
представленному на рисунке 13.7. Составной контур С ограничивает двусвязную область извне окружностью с центром в начале координат достаточно большого радиуса R и изнутри окружностями малого радиуса ρ
сцентром в начале координат и с центром
вточке z =1 (точки ветвления подынтегральной функции), соединенными между собой верхним и нижним берегами разреза по действительной оси ρ < x < 1 – ρ. Ветвь, как обычно, выделяем условием
Рис. 13.7 |
аналитического продолжения подынте- |
||||||||||
гральной функции с верхнего берега раз- |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||
реза (0 < x <1) . Функция z p |
= e pLnz = e p (ln |
|
z |
|
+i arg z +i 2 πk ) . На верхнем бе- |
||||||
|
|
||||||||||
|
|
||||||||||
регу разреза |
|
z |
|
= x ; arg z = 0 |
и x p = e p (ln x +i 2 πk ) k = 0; следователь- |
||||||
|
|
но, интегрируется ветвь zp =ep(ln z +i arg z) .
Аналогично функция (1−z)p =ep(ln1−z +i arg(1−z)+i2πk) на верхнем берегу равна (1− x) p = ep(ln(1−x)+i 0+i2πk ) k = 0. Интегрируется ветвь (1− z) p = ep(ln 1−z +i arg(1−z)) . Внутри контура выделенная однозначная аналитическая ветвь имеет одну особую точку z = −a (полюс пер-
вого порядка). |
Вычислим вычет в этой точке по формуле ϕ/ψ′ , где |
||
|
z p |
ψ( z) = z + a. В точке z = −a функция |
|
φ(z) = |
|
, |
|
|
|||
|
1− z |
|
z p =ep(ln |
|
z |
|
+i arg z) |
z=−a |
=ep(ln a+iπ) = ap eiπp , |
|||||
|
|
||||||||||
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а функция |
|
|
|||||||||
(1− z) p = e p(ln |
|
1−z |
|
+i arg(1−z)) |
|
= e p(ln(1+a)+i 0) = (1 + a) p . |
|||||
|
|
|
|||||||||
|
|
||||||||||
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z=−a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
198
Интеграл равен
C∫ |
|
z p |
dz |
|
a peiπp |
|
|
||
|
|
|
|
|
= 2πi res[ f (z), −a] = 2πi |
|
|
. |
|
|
z +a |
(1+a) |
p |
||||||
|
1− z |
|
|
|
|
Вычислим этот же интеграл по составным частям контура С. Покажем, что интегралы по малым окружностям обращаются в 0
при ρ → 0. На окружности с центром в начале координат z = ρeiφ; dz = ρieiφdφ,
|
(ρeiφ) p |
|
|
ρieiφdφ |
|
2π |
|
ρp ρdφ |
|
|
|
|
p+1 |
|
||||||||||||
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
≤ ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ρ |
|
const → 0 |
(1−ρe |
iφ |
) |
p |
ρe |
iφ |
+ a |
|
|
1−ρe |
iφ |
|
p |
|
|
ρe |
iφ |
+ a |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Cρ |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при ρ → 0 , так как p > −1.
Аналогично оценивается интеграл по малой окружности с центром в точке z = 1. Вычислим интеграл по большой окружности, на
которой z = R eiφ , |
|
z p |
|
|
||
C∫ |
|
dz |
|
|||
|
|
|
|
|
= −2πi res[ f (z),∞]. |
|
|
|
|||||
|
1− z |
|
z +a |
|
Функция на бесконечности имеет правильную точку, ее предел в бесконечности равен 0 по любому направлению. Для простоты рассмотрим предел по действительной положительной полуоси:
|
z p |
|
1 |
|
|
xp |
|
|
|
|
1 |
|
|
iπp |
|
1 |
|
||||
f (z) = |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
. |
||||
|
z +a |
(x −1) |
p |
e |
−iπp |
x |
|
|
|
|
x |
||||||||||
|
1− z |
|
|
z=x |
|
|
|
|
+a x~→∞ |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
eiπp |
c |
= eiπp и ин- |
||||||||
То есть главный член функции имеет вид |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
теграл равен
−2πi (−c−1) = 2πieiπp .
Интеграл по верхнему берегу есть искомый интеграл J. Осталось рассмотреть интеграл по нижнему берегу разреза. Здесь
z p = x p ; (1−z)p =ep(ln1−z −2iπ) =e−2πpi (1−x)p.
Таким образом, интеграл по нижнему берегу при ρ → 0 равен
e2πpi 0∫ |
x |
p |
|
dx |
= −e2πpi J . |
|
x +a |
||||
1 |
1− x |
|
|
199
Приравняв интегралы, вычисленные разными способами, получим:
|
J −e2πpi J + 2πieiπp = 2πi |
|
|
a p |
|
|
eiπp |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
(1 |
+ a) p |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
2πi[( |
|
a |
|
) p −1] eiπp |
|
2πi eiπp [( |
|
|
a |
) p −1] (1−e−2πpi ) |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
+ a |
|
|
|
+ a |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
J = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|||||||
|
|
1−e2πpi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1−e2πpi )(1−e−2πpi ) |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
2πi[( |
|
a |
)p |
−1] 2isin πp |
[1−( |
|
a |
|
)p |
] 2π sin πp |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
+a |
|
+a |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
||||||||
|
|
2 −2cos 2πp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1−cos 2πp |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[1− |
|
|
a |
p |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
sin πp |
|
|
|
|
|
( |
|
) |
|
] |
|
|
||||||||||||
|
= 2π [1− |
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
1+ a |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
( |
|
|
) |
|
] |
|
|
|
= π |
|
|
|
. |
|
||||||||||||||||||||||||
|
1+a |
|
2sin2 πp |
|
|
|
sin πp |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
Пример 13.14 ([3], № 4.184). Вычислить интеграл |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
∫0 ( |
|
|
) |
p |
|
|
|
(−1 |
< p <1, a > 0). |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
1− x |
|
(x +a)2 |
|
|
|
|
|
|
Решение. Рассмотрим этот интеграл по контуру С, как и в при-
мере 13.13, только интеграл по большой окружности при R →∞ обращается в 0 (более высокая степень убывания функции на бесконечности, чем первая).
Точка z = −a теперь будет полюсом не первого, а второго порядка. Вычет в точке z = −a вычисляем по формуле
res[ f (z), −a] = lim |
d |
( |
|
z |
) p = p( |
|
z |
) p−1 |
|
1 |
|
|
= |
|||
|
|
− z |
|
− z |
(1 |
− z)2 |
||||||||||
z→−a dz 1 |
1 |
|
|
|
z=−a |
|||||||||||
|
= −peπpi |
|
a p−1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
(a +1) p+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Интеграл равен |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2πi res[ f (z), −a] = −2πipeπpi |
|
a p−1 |
|
. |
|
|
||||||||||
|
(a +1)p+1 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Интегралы по большой и малой окружностям в пределе обращаются в 0, а интеграл по нижнему берегу разреза равен −e J (см. предыдущий пример). Получаем равенство:
200