Михайлов ТФКП Практикум 2013

как в точку w =∞ переходит только точка

z = −i , не принадлежа-

щая

первой

четверти). Следовательно,

обе границы области

({

x

= 0; 0 < y

} )

и

{

}

<1

y = 0; 0 < x < ∞

переходят в окружности, а

u +iυ=

x −i

(x −i)2

x2 −1

2ix

=

=

−

;

x +i

x2

x2 +1

x2 +1

+1

u =

x2 −1

;

υ = −

2x

u2 +υ2 =1,

x2 +1

x2 +1

i = λ

−α

;

−1 = λ

1 −α

.

Решаем эту систему:

−β

1 −β

β+1 = λ(1+α),

2β = 2λ,

iβ = βα α = i ,

iβ = λα,

−α)

iβ = λα

−1+β = λ(1

w = −i

x −i

=

−1−ix =

(−1−ix)(x −i) =

−2x −i(x2 −1)

;

x +i

x2 +1

x +i

x2 +1

u = −

2x

; υ=1− x2

u2 +υ2 =

4x2 +(1− x2 )2

=1

;

x2 +1

(x2 +1)2

x2 +1

4.1 ([3],

№ 1.187 (3)); 4.2 ([3], № 1.188 (2,4));

4.8 ([3],

№ 2.8 (2)); [3], № 2.14 (1).

Отображаемая область

Образ отображения

Отображающая

(или множество)

функция w = f (z)

Круг

z − z0

< R

Единичный круг с цен-

Целая

линейная

тром в начале коорди-

функция

нат

w

<1

w =

e

iα

(z − z0 )

R

(α

–

произвольное

действительное чис-

ло)

Окружности

в

обобщен-

Окружности

в

обоб-

Дробно-линейная

ном смысле (включая

щенном смысле

функция

прямые как

окружности

w = λ

z −α

бесконечного радиуса).

z −β

Симметричные

относи-

Симметричные

относи-

тельно окружности или

тельно образа точки

прямой точки

Единичный круг

z

<1

Единичный круг

w

<1

w = eiα

z − z0

с переходом внутренней

z z0 −1

точки z0 в центр круга

(α

–

произвольное

действительное чис-

ло)

Отображаемая область

Образ отображения

Отображающая

(или множество)

функция w = f (z)

Единичный круг

z

<1

Верхняя полуплоскость

w = i

1− z

Im w > 0

1+ z

(возможны и другие

функции)

Верхняя полуплоскость

Единичный круг

w

<1

w = e

iα

z −β

,

Im z > 0

z −β

Im β > 0,

α –

любое

действительное

чис-

ло

Двуугольник (“луночка”)

Верхняя

полуплоскость

−i

α0

π

Im w > 0

z − z

α

w

= e

α

1

z2 − z

(α – некоторое дей-

ствительное

число,

определяемое

поло-

жением

двуугольни-

ка)

Верхний полукруг

z

<1 ,

Верхняя

полуплоскость

w =

1

+ z 2

,

Im w > 0

Im z > 0

1

− z

а

также

функция

Жуковского с мину-

сом w = −

1

1

2

z +

z

Отображаемая область

Образ отображения

Отображающая

(или множество)

функция w = f (z)

Плоскость за вычетом

Плоскость с разрезом по

w =

z − z1

отрезка прямой, соеди-

действительной поло-

z2 − z

няющего точки z1 и z2

жительной полуоси

Плоскость с разрезом по

Плоскость с разрезом по

w =

z1

− z

внешности отрезка пря-

действительной поло-

z2

− z

мой, соединяющего точ-

жительной полуоси

ки z1 и z2

Плоскость с разрезом по

Верхняя полуплоскость

w = z

действительной положи-

Im w > 0

тельно й полуоси

Верхняя полуплоскость с

Верхняя полуплоскость

w =

z − x

2

+h2

разрезом z = x0 + iy

Im w > 0

0

Отображаемая область

Образ отображения

Отображающая

(или множество)

функция w = f (z)

Единичный круг

z

<1

Плоскость с разрезом по

Функция

Жуковско-

отрезку действительной

го

оси −1 ≤ u ≤1

w =

1

1

2

z +

z

(а также внешность этого

круга)

Нижний полукруг

z

<1 ,

Верхняя полуплоскость

1

1

Im w > 0

w =

2

z +

z

Im z < 0

Полукруг

z

<1 ,

Круг

w

<1

В два этапа:

Im z > 0

w1

=

1

+

1

2

z

z

w

= −

w1 +i

= w

2

w1

−i

Отображаемая область

Образ отображения

Отображающая

(или множество)

функция w = f (z)

Плоскость с разрезом

по

Единичный круг

w

<1

Функция,

обратная

отрезку действительной

функции Жуковского

оси −1 ≤ x ≤1

w = z + z2 −1 (вто-

рая ветвь этой функ-

ции отображает во

внешность

этого

круга)

Единичный круг

z

<1

с

Верхняя полуплоскость

В 3 этапа:

Im w > 0

w1 = e−iα

z0 − z

разрезом по отрезку ра-

z z0 −1

диуса arg z = α ;

z0

≤

z

≤1

w = w3 =

1

1

= −

2

w2 +

w

2

Единичный круг

z

<1 с Единичный круг

w

<1

В 2 этапа:

z − z

разрезом по отрезку ра-

w1 = e

−iα

;

zz0 −1

диуса:

arg z = α ;

z0

≤

z

≤1

w =

w

2

1

Отображаемая область

Образ отображения

Отображающая

(или множество)

функция w = f (z)

(а далее см. преобра-

зовани е полукруга в

круг)

Полоса 0 < y <2π

Плоскость с разрезом по

действительной поло-

жительной полуоси.

w =ez

Полоса 0 < y < π

Верхняя

полуплоскость

Im w > 0

w =ez

Полуполоса

Верхняя

полуплоскость

{0 < x < +∞, 0 < y < π}

Im w > 0

w =chz

Отображаемая область

Образ отображения

Отображающая

(или множество)

функция w = f (z)

Полоса

Плоскость с разрезом по

{0 < x < π, −∞ < y < +∞}

действительной оси

w = cos z

u

(

−∞; −1 1; +∞

)

;

{

] [

υ= 0}

Верхняя полуполоса

Нижняя полуплоскость

{0 < x < π; 0 < y < +∞}

Im w < 0

w = cos z

π

< x <

π

Плоскость с разрезом по

Полоса −

;

действительной

оси

2

2

{u (−∞;−1] [1;+∞),

−∞ < y < +∞}

υ= 0}

w = sin z

π

< x <

π

Верхняя

полуплоскость

w = sin z

Полуполоса

−

;

Im w > 0

2

2

0 < y < +∞}