Ермолаева Сборник задач к выполнению индивидуалныкх домашникх заданиы 2015
.pdf
L = |
1 12,56 10−7 32 0,2 3,14 42 10−4 |
= 0,28 Гн. |
|
4 1 10−8 |
|||
|
|
Объемная плотность энергии магнитного поля:
w = |
B H |
= |
3,8 10−3 |
3000 |
= 5,7 |
Дж |
||
|
|
|
|
|
. |
|||
2 |
2 |
|
м |
3 |
||||
|
|
|
|
|
|
|||
Энергия магнитного поля соленоида
W = LI 2 = 0,28 0,12 = 1,4 10−3 Дж.
22
Ответ: H = 3000 A/м; В = 3,8·10-3Тл; L = 0,28 Гн; w = 5,7 Дж/м3; W =1,4·10-3 Дж.
Задача 2.12. В магнитном поле, изменяющемся по закону В = = В0cos(wt) (В0= 0,1 Тл, w = 4 с-1), помещена квадратная рамка со стороной а = 50 см. Нормаль к рамке образует с направлением поля угол α = 45°. Определите ЭДС индукции, возникающую в рамке в момент времени t = 5 с.
Дано: |
СИ |
Решение. По закону Фарадея ЭДС ин- |
||
В = В0cos(wt) |
|
дукции равна |
||
В0 = 0,1 Тл |
|
|
|
ξi = –dФ/dt, |
w = 4 с-1 |
|
где Ф = В S cos(α). |
||
а = 50 см |
0,5 м |
2.Учитывая, что площадь квадрата S = |
||
α = 45° |
|
|||
|
= a2, получим |
|||
t = 5 с |
|
ξi = − |
d |
(B0а2 cos(wt) cos α) = |
ξi = ? |
|
|
||
|
|
|||
|
|
dt |
||
|
|
|||
= −B0a2 cos α d (cos(wt)) = B0а2wcos α sin(wt) . dt
Подставим числовые значения в полученную формулу: ξi = 0,1 0,52 4соs45°·sin(4·5) = 64 мВ.
Ответ: ξi = 64 мВ.
Задача 2.13. Два соленоида с индуктивностями L1 = 0,5 Гн и L2 = 0,3 Гн соответственно вставлены друг в друга. Длина и сечение соленоидов практически одинаковые. Определите взаимную индуктивность соленоидов L21.
71
Дано: |
|
Решение. Коэффициент взаимной индуктивности |
||||
L21 |
рассчитаем по формуле: |
|||||
L1 |
= 0,5 Гн |
|||||
|
|
N1N2 |
|
|||
L2 |
= 0,3 Гн |
|
L21 = μ0μ |
S , |
||
|
|
|||||
L21 = ? |
|
|
l |
|||
|
|
|
|
|||
где N – число витков соленоида, l – его длина, S – площадь сечения, μ – магнитная проницаемость вещества, из которого сделан сердечник соленоида.
Индуктивность соленоида определяется по формуле:
|
|
L = μμ0 |
N 2S |
. |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
Следовательно: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L1 = μμ0 |
N 2S |
, |
L2 = μμ0 |
N |
2S |
||||||
1 |
|
2 |
|
. |
|||||||
|
|
l |
|
|
|
|
l |
||||
Выразим из этих формул величины N2 , N1: |
|
|
|
||||||||
N1 = |
|
L1l |
|
N2 = |
|
L2l |
|||||
|
|
, |
|
. |
|||||||
Sμμ0 |
Sμμ0 |
||||||||||
Подставив эти выражения в формулу для L12, получим
L21 = μ0μ |
S |
|
L1l |
|
L2l |
= L1L2 . |
l |
Sμμ0 |
Sμμ0 |
Теперь вычислим числовое значение коэффициента взаимной индуктивности L21:
L21 = 0,5 0,3 = 0,387 Гн. Ответ: L21 = 0,387 Гн.
Задача 2.14. Трансформатор с коэффициентом трансформации 0,1 понижает напряжение с U1 = 220 В до U2 = 10 В. Сопротивление
вторичной обмотки трансформатора составляет R2 |
= 4 Ом. Опре- |
|||||
делите силу тока I2 во вторичной обмотке трансформатора, пре- |
||||||
небрегая потерями энергии в первичной обмотке. |
|
|||||
Дано: |
|
Решение. Запишем связь между коэффициентом |
||||
|
||||||
|
трансформации k и ЭДС в обмотках трансформатора: |
|||||
k = 0,1 |
|
|||||
|
ξ2 = |
N2 |
|
|
||
U1 = 220 B |
|
= k, |
(1) |
|||
|
||||||
U2 = 10 B |
|
ξ1 N1 |
|
|||
R2 = 4 Ом |
|
где N2, N1 – число витков во вторичной и первичной |
||||
I2 = ? |
|
обмотках трансформатора соответственно. |
||||
72
Из (1) получим |
|
ξ2 = kξ1. |
(2) |
ЭДС на входе трансформатора ξ1 равна напряжению на первич-
ной обмотке U1: |
|
ξ1 = U1. |
|
||
|
|
|
(3) |
||
ЭДС во вторичной обмотке ξ2 связана с напряжением U2 в этой |
|||||
обмотке соотношением: |
|
|
|
|
|
|
ξ2 = I2 R2 + U2 . |
(4) |
|||
Подставив (2) в (4) имеем |
|
|
|
|
|
|
kξ1= I2R2 + U2 , |
|
|||
или с учетом (3) |
|
|
|
|
|
|
kU1 = I2 R2 + U2 , |
(5) |
|||
Выразим из (5) ток I2: |
|
|
|
|
|
I2 = |
(kU1 − U2 ) |
= |
0,1 220,0 −10,0 |
= 3 A . |
|
R2 |
|
|
|||
|
4,0 |
|
|
||
Ответ: I2 = 3 А.
Задача 2.15. В однородное магнитное поле вносится длинный вольфрамовый стержень (магнитная проницаемость вольфрама μ = = 1,0176). Определите, какая доля суммарного магнитного потока в
стержне определяется молекулярными токами. |
|
||
Дано: |
|
Решение. Вектор магнитной индукции внешнего |
|
|
|||
|
поля равен: |
|
|
μ = 1,0176 |
|
|
|
|
В = μμ0Н, |
(1) |
|
B′ / B = ? |
|
||
|
где μ0 – магнитная постоянная, μ0 = 4π·10 –7 Гн/м; Н – |
||
|
|||
вектор напряженности магнитного поля, μ – магнитная проницаемость среды.
Вектор собственной магнитной индукции вещества равен: |
|
В′ = μ0 J , |
(2) |
где J – намагниченность вещества. |
|
J = χH , |
(3) |
где χ – магнитная восприимчивость вещества, |
|
χ = μ −1. |
(4) |
Подставив (3) и (4) в (2), получим |
|
В′ = μ0 (μ −1)Н . |
(5) |
73
Найдем искомую долю суммарного магнитного потока, создаваемую молекулярными токами:
В′ |
= |
μ0 (μ − 1)Н = |
μ − 1 . |
(6) |
|
||||
В |
μ0μН |
μ |
|
|
Подставим в (6) числовые значения:
В′ = 1,0176 −1 =
0,0173 .
В1,0176
Ответ: В′ = 0,0173 .
В
Задача 2.16. Принимая, что электрон в невозбужденном атоме водорода движется по круговой орбите радиусом r = 52,8 пм, оп-
ределите магнитный момент рm эквивалентного кругового тока. |
|||
Дано: |
СИ |
Решение. Запишем второй закон Нью- |
|
тона для движения электрона по круговой |
|||
r = 52 пм |
52·10-12 м |
||
|
|
орбите радиуса r, учитывая, что на элек- |
|
|
трон действует сила Кулона FK = |
e2 |
|
||||||
pm = ? |
: |
||||||||
|
|||||||||
4πε0r2 |
|||||||||
|
|||||||||
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
||
|
|
mυ |
= |
e |
|
, |
|
(1) |
|
|
|
|
4πε0r |
2 |
|
||||
|
|
r |
|
|
|
|
|||
где m, е – масса и заряд электрона, me= 9,11·10 –31 кг, e =1,60·10 –19 Кл; ε0 – диэлектрическая постоянная, ε0 = 8,85 10-12Ф/м; υ – скорость движения электрона по круговой орбите радиуса r.
Выразим из (1) скорость электрона:
υ = |
e |
. |
(2) |
|
|
||||
4πε0mr |
||||
|
|
|
Магнитный момент рm эквивалентного кругового тока равен:
pm = IS , |
(3) |
||||
где S = πr2 – площадь круговой орбиты, I – сила тока: |
|
||||
I = |
e |
, |
|
(4) |
|
|
|||||
|
|
T |
|
||
где Т – период обращения электрона по круговой орбите: |
|
||||
Т = |
2πr |
. |
(5) |
||
|
|||||
|
|
υ |
|
||
74
Подставим (2), (4), (5) в (3):
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pm |
= |
eυr |
= |
e |
|
r |
. |
|
|
|
(6) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
2 |
4 |
|
πε0m |
|
|
|
|
||||
Подставим в (6) числовые значения: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
(1,6 10−19 )2 |
|
|
52,8 10−12 |
|
|
|
24 |
|
2 |
|
||||
pm |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 9,25 10− |
А м |
|
. |
4 |
|
3,14 8,85 10−12 9,1 10−31 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Ответ: pm = 9,25 10−24 А м2.
Задача 2.17. По круговому контуру радиусом r = 30 см, погруженном в жидкий кислород, течет ток I = 2 А. Определите намагниченность в центре этого контура. Магнитная восприимчивость
жидкого кислорода χ = 3,4·10-3. |
|
||||||||||
Дано: |
|
СИ |
|
Решение. Намагниченность вещества |
|
||||||
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
J = χH , |
(1) |
|||
r = 30 см |
0,3 м |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
I = 2 А |
|
|
|
|
где Н – вектор напряженности магнитного |
||||||
χ = 3,4·10-3 |
|
|
|
|
поля. |
|
|
|
|
|
|
J -? |
|
|
|
|
Вектор напряженности магнитного поля в |
||||||
|
|
|
|
центре кругового витка с током равен |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
Н = |
I |
, |
(2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2r |
|
|
где r – радиус контура. |
|
|
|
|
|
||||||
Подставив (2) в (1), получим |
|
||||||||||
J = χ |
I |
= 3,4 10−3 |
|
2 |
= 11,33 10−3 А/м = 11,33 мА/м . |
|
|||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
2r |
|
2 |
0,3 |
|
|||||
Ответ: J = 11,33 мА/м.
Задача 2.18. В обмотке длинного соленоида радиусом R изменяется ток так, что магнитная индукция внутри соленоида изменяется во времени по закону В = At2 + Ct. Определите плотность тока смещения внутри соленоида (r < R).
Дано: |
|
Решение. Плотность тока смещения определяет- |
|
|
|||
|
∂D |
|
|
R , r |
|
|
|
|
ся формулой Jсмещ = ∂t |
, в данном случае D = ε0 E . |
|
В = At2+ Ct |
|
||
r < R |
|
Зная связь Е и В (первое уравнение Максвелла |
|
J смещ = ? |
|
|
|
75
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
∫ |
→ → |
∫ |
→ |
|
|
|
|
|
|
|
∂B dS ) найдем и |
|
плотность |
||||||
E dl = − |
|
||||||||
L |
|
S |
∂t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
∫ |
→ → |
∫ |
→ |
|
|
|
|
|
|
|
∂B dS |
|
имеем |
|||
∂B = 2At + C , тогда из E dl = − |
|
||||||||
∂t |
|
L |
|
S |
∂t |
|
|
|
|
|
|
|
E2πr = − (2At + C )πr2 (r < R), |
||||||
|
|
|
|
E = − (2At + C ) |
r |
, |
|||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
Jсмещ |
= ∂D = |
∂(ε0 E) |
= −ε0 Ar |
|||
|
|
|
|
∂t |
|
∂t |
|
|
|
Ответ: jсмещ = −ε0 Ar , r < R.
тока смещения
.
2.3.ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
2.1.По проводнику длиной l течет ток I = 75 А. Напряженность магнитного поля Н в точке, удаленной от концов проводника на расстояние r, равна 25 А/м. Определите l при: а) r = 1 м; б) r = 1,5 м.
2.2.По проводнику длиной 3,5 м течет ток I = 50 А. Определите магнитную индукцию B и напряженность Н в точке О, удаленной от концов проводника на расстояния 1,5 м и 2 м соответственно.
2.3.Напряженность Н магнитного поля в центре кругового витка радиусом r = 12 см равна 25 А/м. Определите ток, текущий по витку.
2.4.Определите индукцию магнитного поля в центре проволочной квадратной рамки со стороной а = 10 см, если по рамке течет ток I = 4,5 А.
2.5.Индукция магнитного поля в центре проволочной квадратной рамки со стороной а = 20 см, составляет В = 100 мкТл. Определите значение силы тока, протекающего по рамке.
2.6.Определите магнитную индукцию ВА на оси тонкого кругового проволочного витка радиусом R = 15 см, в точке, расположенной на расстоянии d = 25 см от центра кольца, если при протекании тока по кольцу в центре кольца В = 65 мкТл.
76
2.7. По тонкому кольцу течет ток |
|
I = 50 А. Определите магнитную ин- |
|
дукцию B в точке A, равноудаленной |
|
от точек кольца на расстояние r = 30 |
|
см (рис. 2.11). Угол α = π/4. |
|
2.8. По двум бесконечно длин- |
|
ным прямым проводникам, расстоя- |
|
ние между которыми d = 17 см, те- |
|
кут токи I1 = 32 А и I2 = 64 А в од- |
Рис. 2.11 |
|
|
ном направлении. Определите маг- |
|
нитную индукцию В в точке А, удаленной от первого проводника на r1 = 10 см и от второго – на r2 = 18 см.
2.9.По двум бесконечно длинным, прямым параллельным проводам текут одинаковые токи I = 36 А. Расстояние между проводами 13 см. Определите магнитную индукцию B в точке A, равноудаленной от проводов на расстояние d = 8 см.
2.10.По двум бесконечно длинным, прямым параллельным проводам текут одинаковые токи I = 42 А. Определите расстояние между проводами l, если магнитная индукция в точке A, равноудаленной от проводов на расстояние d = 2l, составляет B = 25 мкТл.
2.11.По двум бесконечно длинным проводам, скрещенным под прямым углом, текут токи I1 и I2 = 2I1 (I1 = 50 А). Расстояние между проводами 15 см. Определите магнитную индукцию B в точке A, равноудаленной от проводов на расстояние d = 15 см
2.12.По двум скрещенным под прямым углом бесконечно длинным проводам текут токи I и 2I. Магнитная индукция в точке A, равноудаленной от проводов на расстояние d = 20 см составляет B = 175 мкТл. Определите силу тока I, если расстояние между проводами d = 20 см.
2.13.По двум бесконечно длинным прямым проводникам, расстояние между которыми d = 35 см, текут токи I1 = 55 А и I2 = 35 А
впротивоположных направлениях. Определите магнитную индукцию: а) в точке А, удаленной от первого проводника на r1 = 15 см и от второго – на r2 = 45 см; 2) в точке C, удаленной от первого проводника на r1 = 20 см и от второго на r2 = 30 см.
2.14.По двум параллельным проводам длиной L = 3 м каждый текут одинаковые токи I = 150 А. Расстояние d между проводами равно 25 см. Определите силу F взаимодействия проводов.
77
2.15.По двум параллельным проводам длиной L каждый текут одинаковые токи I = 200 А. Расстояние d между проводами равно 20 см. Определите L, если сила взаимодействия проводов F = 5 Н.
2.16.Квадратная проволочная рамка расположена в одной плоскости с длинным прямым проводом так, что две ее стороны параллельны проводу. По рамке и проводу текут одинаковые токи силой I = 200 А. Определите силу, действующую на рамку, если ближайшая к проводу сторона рамки находится от него на расстоянии, равном ее длине.
2.17.По двум одинаковым квадратным плоским контурам со стороной a = 18 см текут токи I = 35 А в каждом. Определите силу F взаимодействия контуров, если расстояние d между соответственными сторонами контуров равно 9мм.
2.18.Магнитный момент тонкого проводящего кольца равен pm = 7 А·м2. Определите магнитную индукцию в точке A, находящейся на оси кольца и удаленной от точек кольца на расстояние r = 22 см (рис. 2.12).
2.19.По кольцу радиусом R течет ток. На оси кольца на расстоянии d =
= 0,7 м от его плоскости магнитная Рис. 2.12 индукция B = 32 нТл. Определите магнитный момент рm кольца с током. Считать R много меньшим d.
2.20.Тонкий провод длиной L = 28 см изогнут в виде полукольца и помещен в магнитное поле (B = 12 мТл) так, что площадь полукольца перпендикулярна линиям магнитной индукции. По проводу пропустили ток I = 73 А. Определите силу F, действующую на провод. Подводящие провода направлены вдоль линий магнитной индукции.
2.21.Тонкое проводящее кольцо массой m = 2,5 г свободно подвешено на неупругой нити в магнитном поле. По кольцу течет ток I = 4,5 A Период Т малых крутильных колебаний относительно вертикальной оси равен 1,6 с. Найдите магнитную индукцию поля.
2.22.Тонкое проводящее кольцо с током I = 62 A помещено в однородное магнитное поле (B = 230 мТл). Плоскость кольца перпендикулярна линиям магнитной индукции. Радиус кольца R = 14 см. Найдите силу F, растягивающую кольцо.
78
2.23.Тонкое проводящее кольцо с током I = 75 A помещено в однородное магнитное поле. Плоскость кольца перпендикулярна линиям магнитной индукции. Радиус кольца R = 15 см. Найдите индукцию магнитного поля, если известно, что оно растягивает кольцо с силой F=0,5Н.
2.24.Протон движется по окружности радиусом R = 1,125 см с линейной скоростью υ = 2,8·106 м/с. Определите магнитный момент pm, создаваемый эквивалентным круговым током.
2.25.Электрон в атоме водорода движется вокруг ядра (протона) по окружности радиусом R = 52,5 пм. Определите магнитный момент pm эквивалентного кругового тока.
2.26.Определите силу Лоренца F, действующую на электрон, влетевший со скоростью υ = 3 Мм/с в однородное магнитное поле
под углом α = 30° к линиям индукции. Магнитная индукция поля равна 0,8 Тл.
2.27.Вычислить радиус R окружности, которую описывает протон в магнитном поле с индукцией В = 25 мТл, если скорость протона равна 4 Мм/с.
2.28.Вычислить скорость протона, если радиус окружности, которую он описывает в магнитном поле с индукцией В = 15 мТл, составляет R= 0,2см.
2.29.Электрон, ускоренный разностью потенциалов U = 0,45 кВ движется параллельно прямолинейному длинному проводнику на расстоянии r = 1,1 см от него. Определите силу, действующую на электрон, если через проводник пропускать ток I = 12 А.
2.30.Протон, ускоренный разностью потенциалов U = 0,6 кВ, влетая в однородное магнитное поле с магнитной индукцией В = 3 мТл, движется по окружности. Определите радиус этой окружности.
2.31.Электрон разгоняется электрическим полем на участке с разностью потенциалов 2кВ и влетает в однородное магнитное поле с индукцией В = 4 мТл в направлении, перпендикулярном линиям индукции. Определите радиус траектории и период обращения электрона в магнитном поле.
2.32.Два иона, имеющие одинаковые заряды и одинаковые кинетические энергии, но различные массы, влетели в однородное магнитное поле. Первый ион описал окружность радиусом 2,5 см, а второй – 3,5 см. Вычислить отношение масс ионов.
79
2.33.Заряженная частица, прошедшая ускоряющую разность потенциалов U = 3 кВ, движется в однородном магнитном поле с индукцией B =12,5 мТл по окружности радиусом R = 0,8 см. Определите отношение |e|/m заряда частицы к ее массе и скорость υ частицы.
2.34.Электрон движется в однородном магнитном поле с индукцией B = 10 мТл по винтовой линии, радиус R которой равен 1,25 см и шаг h = 5,5 см. Определите период Т обращения электрона и его скорость υ.
2.35.Протон, ускоренный разностью потенциалов U, влетая в однородное магнитное поле с магнитной индукцией В = 3 мТл, движется по окружности радиуса R=1 см. Найдите U.
2.36.Перпендикулярно магнитному полю с индукцией B = 0,15 Тл возбуждено электрическое поле напряженностью E = 125 кВ/м. Перпендикулярно обоим полям движется, не отклоняясь от прямолинейной траектории заряженная частица. Вычислить скорость υ частицы.
2.37.Электрон движется в магнитном поле с индукцией B = 0,02 Тл по окружности радиусом R = 1 см. Определите кинетическую энергию Т электрона.
2.38.Проволочный контур в виде окружности радиусом R = 25 см, находящийся в однородном магнитном поле, деформировали в квадрат, не изменяя ориентацию плоскости контура в пространстве. Как изменится магнитный поток, пронизывающий площадь, ограниченную контуром?
2.39.Проволочный контур в виде квадрата со стороной а = 10 см, находящийся в однородном магнитном поле, деформировали в окружность, не изменяя ориентацию плоскости контура в пространстве. Как изменится магнитный поток, пронизывающий площадь, ограниченную контуром?
2.40.Проволочный контур в виде прямоугольника со сторонами
а= 12 см и b = 24 см, находящийся в однородном магнитном поле, деформировали в окружность, не изменяя ориентацию плоскости контура в пространстве. Как изменится магнитный поток, пронизывающий площадь, ограниченную контуром?
2.41.Какой заряд протекает по проводнику сопротивлением 19 Ом, имеющем форму окружности радиуса 0,25 м и расположенном в однородном магнитном поле с индукцией 1,02 Тл, перпенди-
80