Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Ермолаева Сборник задач к выполнению индивидуалныкх домашникх заданиы 2015

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2022

Размер:

3.16 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 113 4 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

каждый. Найдите напряженность электрического поля, созданного системой зарядов, в четвертой вершине. Заряды находятся в диэлектрике с проницаемостью равной 2.

Дано:

СИ

Решение.

Воспользовавшись

q1 = q2 = q3 = 5.10-9 Кл

принципом

суперпозиции для

a = 40 см

0,4 м

напряженности

электрических

ε = 2

полей, запишем выражение для

E = ?

напряженности поля в четвертой

E = E + E + E

вершине (рис. 1.3)

где E1,

E2 ,

–

напряженности

полей,

создаваемых в

четвертой

вершине зарядами q1, q2, q3.

Так как заряды точечные, то для

модулей напряженностей имеем

E1 = E3 = k

E2 = k

E 2

2 ,

2 .

ε a

ε (a 2 )

E1, 3

3. Модуль вектора для векторно-

Рис. 1.3

го сложения E1,3 = E1

+ E3

найдем по

теореме Пифагора

E = E2

+ E2

kq 2

1,3

ε a2

Так как векторы E2	и E1,3	направлены по одной прямой, то мо-

дуль искомого вектора	E равен сумме модулей векторов E2 и

E1,3 , то есть
				1		+
			kq				2
			kq				2
E = E + E =				2				.
E = E + E =				ε a2				.
	2	1,3		ε a2
Подставив в эту формулу численные значения в системе СИ и
выполнив расчет, получим		(1 2 + 2 )
E = (9 109 5 10−9 )		(1 2 + 2 )			(2 0,42 ) = 268,6 В/м;

Ответ: Е = 268,6 В/м.

Задача 1.5. Рассчитать напряженность поля, создаваемого равномерно заряженным (τ = 5 нКл/м) тонким кольцом радиусом R = 15см в точке А. Точка А лежит на перпендикуляре к центру кольца, на расстоянии а = 10 см от него (рис. 1.4).

Дано:	СИ
τ = 5 нКл/м	5 10-9 Кл/м
R = 15см	0,15 м
ε = 1
а = 10 см	0,1 м
E = ?

Рис. 1.4

→ →

Решение. Поскольку кольцо не является заряженной материальной точкой, то для того, чтобы воспользоваться формулами для точечного заряда, разобьём его на элементарные отрезки длиной dl, несущие заряд dq = τ dl ( τ = q / l ). Тогда

полный заряд кольца будем рассчитывать по формуле

		dQ = ∫ dq = τ 2πR .				(1)
Воспользуемся					формулами для
точечного заряда:
dE =	1		dq	= k	dq	. (2)
			2		( a2 + R2 )2
	4πε0 r
					→
Разложим вектор					dE на две со-

ставляющие: dEy и dEx :
dEx = dE sin α , dEy = dE cosα ,	(3)

где

	сosα = a/r.		(4)
С учетом (3) и (4) получим из (1) соотношения:
dEу = k	аdq
		, dEх = dE sin α.	(5)

(	a2 + R2 )3/2

В силу симметрии для напряженности находим лишь интеграл:

Q			adQ					2πτaR
Eр = ∑dEy =∫k			adQ				= k	2πτaR		.	(6)
Eр = ∑dEy =∫k	(R	2	+ a	2	)	3/2	= k	(R2 + a2 )	3	.	(6)
0	(R		+ a		)			(R2 + a2 )

→

Сумма (интеграл) dEx будет равна нулю. Подставим в (6) числовые значения:

Eр = 9 10	9	2 3,14 5 10−9 0,1 0,15	= 723,5 В/м.
		(0,152 + 0,12 )3

Ответ: Е = 723,5 В/м.

Задача 1.6. Рассчитать напряженность поля, создаваемого равномерно заряженным цилиндром (τ = 5 нКл/м) радиусом r = 5 см в точках, удаленных от оси цилиндра на расстояния R1= 12 см и R2 = 2 см (рис. 1.5).

Дано:		СИ
τ = 5 нКл/м	5 10-9 Кл/м
R1= 12 см	0,12 м
R2 = 2 см	0,02 м
ε =1	0,1 м
r = 5 см	0,05 м
E1 = ? E2 = ?
Решение.
1. Применим для решения данной за-
дачи теорему Остроградского–Гаусса
		→ →	q ,
Φ E = E dS =			q ,	(1)
	S		ε0	Рис. 1.5
	∫			Рис. 1.5

где ФЕ – поток вектор напряженности				E электрического поля че-

рез некоторую замкнутую поверхность S; q – заряд тела.

2. В качестве замкнутой поверхности простейшей формы, охватывающей все заряженное тело, выберем цилиндр радиуса R (R > r). Будем считать, что весь поток вектора напряженности идет через боковую поверхность охватывающего цилиндра.

3. Площадь боковой поверхности цилиндра радиуса R рассчиты-

вается по формуле
S = 2πRl.	(2)
где l – длина цилиндра.
Тогда с учетом того, что q = τ l равенство (1)	можно перепи-
сать в виде
E 2πRl = τ l / ε0 ,	(3)

где l – длина образующей, охватывающей стержень цилиндрической поверхности.

Выразим из (3) напряженность:				τ		(R ≥ r).
		E =							(4)
		E =	2πε0 R						(4)
			2πε0 R
Подставим в (4) числовые значения:
	=	5 10−9				= 749,7	В
E1								.
E1		3,14 8,85 10−12			0,12			.
	2	3,14 8,85 10−12			0,12		м

7. При R ≤ r поле внутри цилиндра равно нулю, так как нет зарядов, охватываемых воображаемой поверхностью q = 0, ФЕ = 0, следовательно, Е2 = 0.

Ответ: Е1 = 749,7 В/м, Е2 = 0.

Задача 1.7. Если заряд q, помещенный в точку A (рис. 1.6), создает в точке В электрическое поле, потенциал которого равен ϕ, то каков будет потенциал точки В при помещении дополнительно еще одного такого же заряда в точку С?

Дано: Решение. Воспользовавшись принципом супер- q, φ позиции для потенциала электрических полей, за- φВ = ? пишем выражение для потенциала поля в двух слу-

чаях:

1) поле в точке В создается одним зарядом,

находящимся в точке А: ϕВ = ϕ = k q ;

2) поле в точке В создается двумя зарядами, находящимися в точках А и С:

Рис. 1.6	ϕВ	= ϕ1 + ϕ2	= k	q	+ k	q	=
				AB
						CB

= ϕ + k

= ϕ +

ϕ =

ϕ.

+ АС

АВ

Ответ: ϕВ

ϕ .

Задача 1.8. Десять одинаковых капель ртути, заряженных до потенциала φ = 10 В, сливаются в одну большую каплю. Каков потенциал φN образовавшейся капли? Потенциал поля, создаваемого заряженной шарообразной каплей, при расстоянии от ее центра больше ее радиуса находить по формуле как для точечного заряда.

Дано:

Решение. Потенциал

каждой малой капли

N = 10

φ = 10 В

ϕ = k

, а потенциал большой капли ϕN = k

φN = ?

Из равенства объемов большой капли и сум-

мы малых капель N

πr3 =

πR3

получим

R = r 3 N . Отсюда:

ϕN

= k

= Nk

= ϕ 3 N 2 .

r 3 N

Проведем вычисления по полученной формуле и найдем

ϕN = 103 102 = 46,4B .

Ответ: ϕN = 46,4 B.

Задача 1.9. Какую скорость приобретет электрон, приблизившись к поверхности равномерно положительно заряженного шара радиуса r с объемной плотностью заряда ρ, если электрон начал двигаться из бесконечности со скоростью v0 с и вектор скорости

направлен вдоль радиуса шара.

Дано:

Решение.

e, υ0, me,

1. По закону сохранения энергии имеем равен-

φ1(∞)=0

ство изменения кинетической энергии электрона

v = ?

работе сил поля: Eкин

= Aполя , тогда

m υ2

= A = e(ϕ2 − ϕ1 ) = eϕ2 .

(1)

2. Для шара потенциал на его поверхности равен

πR3

= k ρV

ϕ2

= k

kρπR2 ,

(2)

с учетом чего из (1) имеем

υ =

2kρπR2

− υ02 .

Ответ: υ =

2kρπR2

− υ02 .

Задача 1.10. Электростатическое поле создано точечным зарядом q0 = 10e в воде (ε = 81). При перемещении положительного заряда q из точки А, находящейся на расстоянии r1 = 0,1 мм от заря-

да q0, в точку В, находящуюся на расстоянии r2 = 0,2 мм от заряда q0, силами электрического поля совершена работа 0,1 мкДж. Найдите величину заряда q.

Дано:	СИ	Решение. Точечный заряд q0
q0 = 10e		создает в точке А потенциал ϕ1, а в
e = 1,6 10-19 Кл	10-4 м	точке В – потенциал ϕ2:
r1 = 0,1 мм		1		q0	1		q0
	2 10-4 м	ϕ1 =			, ϕ2 =			, (1)
r2 = 0,2 мм			4πε0	εr1		4πε0	εr2
А = 0,1 мкДж	10-7 Дж	где ε – диэлектрическая проницае-
q = ?		мость среды (для воды ε = 81).

Работа электрического поля по перемещению положительного

заряда q из точки А в точку В равна

A = q·(ϕ1 – ϕ2),

(2)

Подставим (1) в формулу (2)

А = q

−

= q

−

(3)

4πε0

εr1

4πε0

εr2

Выразим из уравнения (3) величину заряда q

q =

4πε0εA

(4)

−

Подставим в (4) числовые значения:

q =

4 3,14 8,85 10−12 81 10−7

= 138,945 10−5 Кл = 1,39 мКл.

10 1,6 10−19

−

10−

Ответ: q = 1,39 мКл.

Задача 1.11. Три одинаковых плоских конденсатора соединены последовательно. Электроемкость C такой батареи конденсаторов равна 89 пФ. Площадь S каждой пластины равна 100 см2. Диэлек-

трик – стекло. Какова толщина d стекла?
Дано:	СИ	Решение.	По	условию	задачи
Дано:	СИ	Решение.	По	условию	задачи
Cобщ = 89 пФ	89·10-12 Ф	С1 = С2 = С3 = С.
S = 100 см2	10-2 м2	Электроемкость батареи			конден-
ε = 7		саторов при	их	последовательном
d = ?		соединении (рис. 1.7):
d = ?

;

Cобщ C1 C2 C3

Cобщ =

(1)

Рис. 1.7

Электроемкость каждого плоского конденсаторы вычисляется

по формуле

С = ε0εS .

(2)

Тогда для батареи из трех конденсаторов:

Cобщ

= ε0εS

(3)

d 3

Выразим из (3) величину d:

d =

ε0εS

(4)

3 C

общ

Подставим в (4) числовые значения:

d =

8,85 10−12 7 10−2

61,95 10−14

= 0,232 10−2

м = 2,32 мм

3 89 10−12

267 10−12

Ответ: d = 2,3 мм.

Задача 1.12. Конденсаторы электроемкостями C1 = 10 нФ, С2 = = 40 нФ, C3 = 2 нФ и C4 = 30 нФ соединены так, как это показано на рис. 1.8. Определите электроемкость C соединения конденсаторов.

Дано:		СИ
C1	= 10 нФ	10·10-9	Ф
C2	= 40 нФ	40·10-9	Ф
C3	= 2 нФ	2·10-9 Ф
C4	= 30 нФ	30·10-9Ф		Рис.1.8
	С = ?			Рис.1.8
	С = ?

Решение. Конденсаторы С1 и С2 (так же, как С3 и С4) соединены последовательно (см. рис. 1.8), поэтому

			1		=	1	+		1	,	1			=	1	+	1		.

			C12 C1						C2		C34 C3						C4
1		1						1			5						1
	=						+					=					=			,
C				10 10−9				40 10−9					40 10−9					8 10−9
12

			С12 = 8·10-9 Ф = 8 нФ;
1	=	1	+	1	=	16	=	1	;

C34		2 10−9		30 10−9		30 10−9		1,875 10−9

С34 = 1,875·10-9 Ф = 1,9 нФ.

Преобразуем исходную электрическую схему в эквивалентную (рис. 1.9).

Рис. 1.9

Конденсаторы С12 и С34 соединены параллельно, поэтому С = С12+ С34 = 8,0 +1,9 = 9,9 нФ.

Ответ: С = 9,9 нФ.

Задача 1.13. Два конденсатора электроемкостями C1 = 3 мкФ и C2 = 6 мкФ соединены между собой и присоединены к батарее с ЭДС ξ =120 В. Определите заряды Q1 и Q2 конденсаторов и разности потенциалов U1 и U2 между их обкладками, если конденсаторы соединены: 1) последовательно (рис.1.10); 2) параллельно (1.11).

Дано:

СИ

Решение.

C1 = 3 мкФ

3·10-6 Ф

1. Рассмотрим последовательное со-

C2 = 6 мкФ

6·10-6 Ф

единение конденсаторов (рис. 1.10).

ξ = 120 В

Общая

емкость

конденсаторов при

Ui = ? Qi =?

последовательном соединении:

3 10−6

6 10−6

общ

C C

10−

3 10−

2 2

10−

Следовательно, Собщ = 2·10-6 Ф.

Рис. 1.10

При

последовательном

соединении

заряды на конденсаторах одинаковы:

q = q1 = q2 = Cобщ·ξ,

q = 2·10-6 ·120 = 240·10-6 Кл = 240 мкКл.

Напряжения на конденсаторах найдем, используя формулу

q = CU:
U1	=	q	=		240 10−6		=		240	= 80 В ,
		C1			3	10−6			3

U2	=	q		=	240 10−6			=	240	= 40 В .
		C2			6	10−6			6

2. Рассмотрим параллельное соединение конденсаторов (рис. 1.11). При параллельном соединении конденсаторов напряжения на них равны:

U1 = U2 = ξ = 120 В.

Заряд каждого конденсатора найдем с помощью формулы Рис. 1.11 q = CU:

q1 = C1U1 = 3·10-6·120 = 360·10-6 Кл = 360 мкКл; q2 = C2U2 = 6·10-6·120 = 720·10-6 Кл = 720 мкКл.

Ответ: 1) при последовательном соединении q1 = q2 = 240 мкКл, U1 = 80 В, U2 = 40 В; 2) при параллельном соединении U1 = U2 = = 120 В, q1 = 360 мкКл, q2= 720 мкКл.

Задача 1.14. На пластинах плоского конденсатора равномерно распределен заряд с поверхностной плотностью σ = 0,2 мкКл/м2. Расстояние d между пластинами равно 1 мм. На сколько изменится разность потенциалов на его обкладках при увеличении расстояния d между пластинами до 3 мм?

Дано:

СИ

Решение.

σ = 0,2 мкКл/м2

2·10-7 Кл/м2

Заряд на пластинах конденса-

= 1мм

10-3м

тора

q = σ·S.

Емкость плоского

= 3 мм

3·10-3м

конденсатора

С =

ε0

εS

U = ?

Напряжение на обкладках конденсатора

U =

σS d

σd

εε0 S

εε0

Изменение разности потенциалов

U = U2

− U1 =

(d2 − d1 ) .

εε0

Подставим в последнюю формулу числовые значения:

U =

2 10−7

(3 10−3 −1 10−3 ) =

2 10−7

(3 10−3

−1 10−3 ) =

1 8,85

10−12

1 8,85 10−12

2 2 10−10

= 0,452 10

= 45,2 В.

8,85 10−12

Ответ:

U = 45,2 В.

Задача 1.15. Вычислите силу взаимодействия обкладок сферического конденсатора, если он заполнен диэлектриком с проницаемостью ε = 7, радиус внутренней сферы составляет R1 = 5 см, радиус внешней сферы равен R2 = 7 см. Конденсатор подключен к источнику с разностью потенциалов Δϕ = 220В.

Дано:

СИ

Решение. Потенциальная энергия

кон-

ε = 7

денсатора равна

CΔϕ2

R1 = 5 см

0,05 м

W =

(1)

R2 = 7 см

0,07 м

Δϕ = 220 В

Емкость сферического конденсатора рас-

F = ?

считывается по формуле

C =

q 4πεε0

4πεε0

(2)

−

= 1

−

где R1, R2 – радиусы внутренней и внешней сфер соответственно.

Подставив (2) в (1), получим

W =

4πεε0Δϕ2

2πεε0Δϕ2

2πεε0Δϕ2 R1R2

(3)

2 (

−

R2 − R1

)

Тогда сила, действующая на внешнюю обкладку, равна

F = −

∂W =

2πεε0Δϕ2 R12

(4)

∂R2

(R2 − R1 )

Подставим в (4) числовые значения:

<<< < Предыдущая 1 23 / 113 4 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
12.11.20222.61 Mб18Дураковскиы Отсенка зашчишченности речевоы информатсии.Ч3 2015.pdf
#
12.11.20221.87 Mб11Елманов Исследование топологии поверхности методом 2011.pdf
#
12.11.202210.73 Mб10Елманов Физические свойства 2014.pdf
#
12.11.20224.84 Mб52Елохин Автоматизированные системы контроля радиационной обстановки окружаюсчей среды 2012.pdf
#
12.11.20225.19 Mб11Елютин Експерименталная физика.Лабораторный практикум 2011.pdf
#
12.11.20223.16 Mб8Ермолаева Сборник задач к выполнению индивидуалныкх домашникх заданиы 2015.pdf
#
12.11.20222.41 Mб13Ермолаева Физика разделы Колебания и волны Оптика 2015.pdf
#
12.11.20222.1 Mб3Ершова Теория и моделирование структуры и характеристик 2012.pdf
#
12.11.2022918.46 Кб0Журавлева Сборник дополнителных грамматических 2014.pdf
#
12.11.2022369.87 Кб2Журавлева Сборник текстов для подготовки аспирантов-економистов 2011.pdf
#
12.11.2022409.48 Кб3Журавлева Сборник текстов для подготовки аспирантов-физиков 2011.pdf