Ермолаева Сборник задач к выполнению индивидуалныкх домашникх заданиы 2015

2.ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ

Вданном разделе рассмотрены следующие темы: 1. Магнитное поле постоянного тока.

2. Взаимодействие магнитного поля и проводников с током.

3. Движение заряженных частиц в электрических и магнитных

полях.

4.Магнитный поток. Работа по перемещению проводника с током в магнитном поле.

5.Явление электромагнитной индукции.

6.Самоиндукция, индуктивность. Электротоки замыкания и размыкания.

7.Взаимная индукция, Трансформаторы. Энергия магнитного

поля.

8.Магнитное поле в веществе.

9.Полная система уравнений Максвелла для электромагнитных полей

2.1.ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ И ФОРМУЛЫ

2.1.1. Магнитное поле постоянного тока

Количественной характеристикой магнитного поля является

вектор магнитной индукции B . Его используют также в качестве силовой характеристики, численно приравнивая максимальному вращающему моменту, действующему на рамку с магнитным моментом, равным единице.

Принцип суперпозиции: магнитная индукция, создаваемая произвольным проводником с током, равна геометрической сумме магнитных индукций, создаваемых элементами данного проводника:

n

= ∑

B Bi .

i=1

Закон Био–Савара–Лапласа для проводника с током I, элемент dl

которого создает в некоторой точке А индукцию поля dB (рис. 2.1):

51

Магнитная индукция поля, создаваемого отрезком провода с током на расстоянии R от него (см. рис. 2.1).

B = μ0 I (cos α1 − cos α2 ). 4πr

где r – расстояние от оси проводника до точки, в которой вычисляется магнитная индукция; I – сила тока в проводнике; α1 и α2 – углы между проводником и отрезками, проведенными из его концов в точку наблюдения.

Магнитная индукция поля, создаваемого бесконечно длинным прямым проводником с током (в этом случае α1 = 0, α2 = π (см.

рис. 2.1), следовательно, cosα1 = 1 и cosα2 = –1):

B = μμ0 I ,

2πr

где r – расстояние от оси проводника до точки, в которой вычисляется магнитная индукция;

Магнитная индукция в центре кругового тока (рис. 2.2) равна

B = μμ0 I ,

2R

52

где R – радиус кругового витка.

Магнитная индукция на оси кругового тока (рис. 2.3) равна

где a – расстояние от центра витка до точки, в которой вычисляется магнитная индукция.

где n – число витков, приходящееся на единицу длины соленоида; I – сила тока в соленоиде.

2.1.2. Взаимодействие магнитного поля

и проводников с током

Рис. 2.3

Закон Ампера, определяющий силу, действующую на проводник с током в магнитном поле, имеет вид

где I – сила тока в проводнике; l – вектор, равный по модулю дли-

не проводника и совпадающий по направлению с током; B – индукция магнитного поля.

Модуль силы Ампера равен

F = IBl sin α ,

где α – угол между направлением тока в проводе и вектором магнитной индукции.

Если поле неоднородно и провод не является прямым, то закон Ампера можно применять к каждому его элементу dl в отдельности:

53

Сила взаимодействия двух прямых, бесконечно длинных параллельных проводников с токами I1 и I2, находящихся на расстоянии d друг от друга, рассчитанная на отрезок проводника длиной l:

F = μ0μ I1I2 l .

2π d

Магнитный момент плоского контура с током равен

где I – сила тока в контуре; S – вектор, равный по модулю площади, охватываемой контуром, и совпадающий по направлению с нормалью к его плоскости.

Механический момент, действующий на контур с током, помещенный в однородное магнитное поле:

2.1.3. Движение заряженных частиц в электрических и магнитных полях

Сила Лоренца, действующая на заряд q, движущийся в магнитном поле со скоростью υ, равна

F = q υBsin α ,

где B – индукция магнитного поля; α – угол между вектором скорости и вектором магнитной индукции.

Если α = 90°, то сила Лоренца постоянна по величине и сообщает частице центростремительное ускорение ацс. Частица начинает двигаться по окружности радиусом r:

r = mυ / (qB) .

Период обращения частицы при условии υ << c ( m = const ):

T= 2πr = 2πm ,

υqB

54

где m – масса частицы.

Если скорость направлена под углом α к вектору магнитной ин-

дукции B , то траектория движения заряженной частицы – винто-

вая линия с шагом h = 2πmυcos α . qB

2.1.4.Магнитный поток. Работа по перемещению проводника

стоком в магнитном поле

Магнитный поток Ф через плоский контур площадью S равен:

Потокосцепление, т.е. полный магнитный поток, сцепленный

со всеми витками контура, равен

ψ = NΦ ,

где N – число витков контура; Ф – магнитный поток сквозь один виток.

Работа по перемещению замкнутого контура с током в посто-

янном магнитном поле равна

A = I Φ ,

где I – сила тока в контуре; ΔΦ – изменение магнитного потока, пронизывающего поверхность, ограничивающую контур.

2.1.5. Явление электромагнитной индукции

Основной закон электромагнитной индукции имеет вид

ξi = − N dϕ = − dψ . dt dt

Частные случаи применения основного закона электромагнитной индукции:

а) разность потенциалов U на концах проводника длиной l, движущегося со скоростью v в однородном магнитном поле, равна

U = Blυsin α ,

где α – угол между направлениями векторов скорости и индукции магнитного поля;

55

б) электродвижущая сила индукции, возникающая в рамке, равномерно вращающейся в однородном магнитном поле, равна

ξi = NBSωsin ωt,

где N – число витков в рамке; В – индукция поля; S – площадь одного витка; ω – угловая скорость вращения рамки; t – время.

Заряд, протекающий по замкнутому контуру при изменении по-

токосцепления Δψ, равен

Q = Δψ ,

R

где R – сопротивление контура.

2.1.6. Самоиндукция, индуктивность. Электрические токи замыкания и размыкания

Индуктивность контура равна

L = ψ , I

где I – сила тока в контуре; ψ – потокосцепление самоиндукции. ЭДС самоиндукции определяется по формуле

ξS = −L dI . dt

Индуктивность соленоида равна

L = μμ0n2lS ,

где n – число витков соленоида на единице его длины; V – объём соленоида; μ – магнитная проницаемость среды внутри соленоида,

которую можно определить из соотношения μ = B .

μ0 H

Мгновенное значение силы тока в цепи, обладающей сопротивлением R и индуктивностью L, равно:

а) после замыкания цепи I = ξ (1− exp(−Rt / L)) , где ξ – ЭДС ис-

R

точника;

б) после размыкания цепи I = I0 (1− exp(−Rt / L)) , где I0 – начальное значение силы тока в цепи.

56

2.1.7. Взаимная индукция. Трансформаторы. Энергия магнитного поля

Трансформатор – электрическое устройство, имеющее две или более индуктивно связанные обмотки и предназначенное для повышения или понижения переменного тока посредством электромагнитной индукции.

На одну из обмоток, называемую

первичной обмоткой (число витков n1), подаётся напряжение от внешнего источника (рис. 2.4).

Вторичная обмотка (число витков n2) подключается к нагрузке (сопротивление Rн). Первичная и вторичная катушки (обмотки), укреплены на замкнутом железном сердечнике.

При пропускании через первичную катушку переменного тока во вторичной обмотке возникает ЭДС:

ξ2 = − N2 ξ1,

N1

где знак минус показывает, что ЭДС в первичной и вторичной обмотках противоположны по фазе.

Коэффициент трансформации:

I1 = N2 = k . I2 N1

Если k > 1, то трансформатор повышающий, если k < 1, то

понижающий.

Энергия магнитного поля, создаваемого током в замкнутом контуре с индуктивностью L:

W = LI 2 .

2

Объёмная плотность энергии магнитного поля равна

57

2.1.8. Магнитное поле в веществе

Орбитальный магнитный момент электрона pm = IS = eνS ,

где I = eν – сила тока; ν – частота вращения электрона по орбите; S – площадь орбиты

Модуль орбитального механического момента импульса

электрона:

Le = mυr = 2mνS,

где r – радиус орбиты; υ- скорость электрона, υ = 2πνr; S – площадь орбиты, S = πr2 .

Связь между векторами Le и рm

pm = gLe ,

где g – гиромагнитное отношение орбитальных моментов, g = − e .

2m

Собственный (спиновый) магнитный момент электрона

pms = gs Les ,

где gs – гиромагнитное отношение спиновых моментов.

Проекция собственного магнитного момента рzsВ на направление вектора магнитной индукции В может принимать только два значения:

pmsB = ± e = ±μB , 2m

где = h / (2π) – штрихованная постоянная Планка, =1,05·10–34

Дж·с; μВ – магнетон Бора, μВ = 9,27·10 –24 Дж/Тл.

Общий магнитный момент атома определяется векторной суммой магнитных моментов входящих в атом электронов:

ZZ

Намагниченность (количественная характеристика намагниченного состояния вещества):

V i=1

где Pmi – магнитный момент i-го атома (молекулы) из общего числа n атомов (молекул), содержащихся в объеме V.

58

Магнитная проницаемость вещества – физическая величина, показывающая, во сколько раз магнитная индукция в веществе отличается от магнитной индукции внешнего поля в вакууме:

μ = В .

В0

Также магнитная проницаемость вещества может быть опреде-

лена по формуле

μ = 1+ χ

где χ – безразмерная величина, называемая магнитной восприимчивостью вещества.

2.1.9. Полная система уравнений Максвелла для электромагнитных полей

Основу теории Максвелла составляют четыре структурных уравнения, которые записываются в интегральной и дифференциальной формах. В интегральной форме они выражают соотношения для мысленно проведенных в электромагнитном поле (ЭМП) контуров и замкнутых поверхностей, а в дифференциальной – показывают, как связаны между собой характеристики ЭМП и плотности электрических зарядов и токов в каждой точке пространства.

Дифференциальная и интегральная формы получаются друг из друга путем применения теорем векторного анализа.

Первое уравнение Максвелла (получено на основе закона электромагнитной индукции Фарадея) в интегральной и дифференциальной формах:

Второе уравнение Максвелла (получено на основе закона полного тока для магнитного поля в веществе) в интегральной и дифференциальной формах:

59

Третье уравнение Максвелла (получено на основе теоремы Остроградского–Гаусса для электростатического поля в диэлектрике) в интегральной и дифференциальной формах:

Четвертое уравнение Максвелла (получено на основе теоремы Остроградского–Гаусса для магнитного поля в вакууме) в интегральной и дифференциальной формах:

Данные четыре структурных уравнения дополняются тремя материальными уравнениями, характеризующими свойства среды. Для изотропных не сегнетоэлектрических и неферромагнитных сред материальные уравнения имеют вид соответственно:

Также, полную систему уравнений Максвелла дополняют граничными условиями для электрического и магнитного полей:

Для стационарных электрического и магнитного полей струк-

2.2. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача 2.1. Бесконечно длинный провод с током I = 100 А изогнут так, как это показано на рис. 2.5. Определите магнитную индукцию B в точке О. Радиус дуги R = 10 см.

60