Демина Тселые и мероморфные функтсии 2015

5. Периодические мероморфные функции

которое имеет не более трех постоянных решений. Следовательно, существует конечное число рядов Лорана вида

k=0

удовлетворяющих уравнению (5.50). Ряды (5.68) не содержат произвольных коэффициентов, поскольку для выражения E2 = = −6w3 + αw2 + βw + γ нет индексов Фукса, а коэффициент d0 является решением уравнения (5.67).

Пусть теперь α = 0, β = 0, γ = 0. Тогда для построения рядов Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки нужно рассмотреть укороченное уравнение (5.52). Степенные решения и индексы Фукса в этом случае найдены выше. Мы имеем один целый индекс Фукса j = −2, удовлетворяющий неравенству j < < −1. Проверяя выполнение условия совместности, убеждаемся что уравнению (5.50) удовлетворяют ряды Лорана

где коэффициент b(−j2), j = 1, 2 произволен.

Тогда, если исходное уравнение имеет рациональные решения, то они выглядят следующим образом:

При этом h(0j) = 0, j = 1, 2, если α = 0, β = 0, γ = 0. В первом случае рациональная функция уже разложена в ряд Лорана как

в окрестности начала координат, так и в окрестности бесконечно

72

5. Периодические мероморфные функции

удаленной точки. Подставляя соотношение

в исходное уравнение и приравнивая нулю выражения, стоящие при отрицательной и нулевой степенях переменной z, мы приходим к следующей алгебраической системе:

γ+ h0(β + αh0 − 6h20) = 0.

Вравенствах (5.71), (5.72) мы опять опустили верхний индекс. Решая систему (5.72), находим:

Поступая аналогичным образом с рациональным решением, имеющим два полюса, мы приходим к несовместной системе.

Исходное уравнение является автономным, поэтому для каждого решения w(z) подстановка z 7→ z − z0 при произвольном z0 дает семейство решений w(z − z0). Мы рассмотрели всевозможные комбинации рядов Лорана и соответствующих решений. Следовательно, согласно теореме 5.8, мы нашли все мероморфные решения уравнения (5.50). Выпишем ответ задачи. Уравнение (5.50) имеет

1)два различных семейства простопериодических мероморфных решений с одним полюсом в полосе периодов:

73

2)одно семейство простопериодических мероморфных решений с двумя полюсами в полосе периодов:

и следующими ограничениями на параметры исходного

Задача 5.2. Найти все мероморфные решения алгебраического автономного обыкновенного дифференциального уравнения

где α, β, γ, δ C.

74

5. Периодические мероморфные функции

Рис. 5.2. Многоугольник уравнения (5.74) при δ ≠ 0.

Решение. Доминирующим дифференциальным мономом для уравнения (5.74) является моном w4. При α = 0, β = 0, γ = 0 и δ = 0 многоугольник уравнения (5.74) — это ребро, соединяющее точки Q1 = (−2, 2) и Q2 = (0, 4). В противном случае многоугольник представляет собой треугольник с вершинами

Q1 = (−2, 2), Q2 = (0, 4) и Q3, где

рис. 5.2.

Для построения рядов Лорана в окрестности конечных полюсов необходимо рассмотреть укороченное уравнение,

75

5. Периодические мероморфные функции

Будем искать первую вариацию от выражения E1 = wz2 − w4. Получим

Действуя оператором (5.78) на степенную функцию zj и подставляя вместо w(z) соответствующие асимптотики, найдем

Таким образом, мы имеем единственный индекс Фукса, равный −2. Условий совместности в этом случае нет, следовательно, уравнению (5.74) удовлетворяют два различных разложения в ряд Лорана в окрестности полюса z = 0:

В этом выражении все коэффициенты зависят только от параметров исходного уравнения. При необходимости каждый коэффициент может быть последовательно вычислен. Сначала проверим, имеет ли уравнение (5.74) двоякопериодические мероморфные решения. Эллиптической функции с одним простым полюсом в параллелограмме периодов не существует. Будем искать эллиптическое решение второго порядка. Такие решения необходимо должны иметь в параллелограмме периодов два простых полюса. Без ограничения общности будем считать, что один из них находится в начале координат, а второй

— в точке z = a. Необходимое условия существования искомых эллиптических решений выполняется автоматически. Действительно, c(1)−1 + c(2)−1 = 0. Общее выражение для эллиптических решений уравнения (5.74) выглядит следующим образом:

76

5. Периодические мероморфные функции

Раскладывая эту функцию в ряды Лорана в окрестности точек z = 0 и z = a, найдем:

уравнение (5.74) и приравнивая нулю выражения, стоящие при отрицательных и нулевой степенях z, мы получим систему:

Если подставить в уравнение (5.74) ряд w(2)(z) из соотношения (5.82) и приравнять нулю выражения, стоящие при отрицательных и нулевой степенях (z − a), мы придем к тем же самым алгебраическим уравнениям. Систему (5.84) нужно дополнить еще одним соотношением: B2 = 4A3 −g2A−g3. Решая построенную алгебраическую систему, находим:

Используя формулу сложения для функции ζ(z), мы можем преобразовать решение (5.81) к виду

77

5. Периодические мероморфные функции

β, γ, δ исходного уравнения. Следовательно, в силу теоремы единственности 5.5, других мероморфных решений уравнение (5.74) не имеет.

Если выполняются условия g23 − 27g32 = 0 и g2g3 ≠ 0, то решение (5.85) теряет один из периодов и превращается в простопериодическое. В свою очередь при g2 = 0 и g3 = 0 функция (5.85) становится рациональной.

Заметим, что при подстановке z 7→z − z0 в равенство (5.85) соответствующая функция w(z − z0) является общим решением уравнения (5.74).

Запишем ответ на исходную задачу. Мероморфные решения

где инварианты g2, g3 эллиптической функции Вейерштрасса(z − z0) определяются равенствами:

Задача 5.3. Найти все мероморфные решения алгебраического автономного обыкновенного дифференциального уравнения

78

5. Периодические мероморфные функции

при 4β = α2 мероморфные решения уравнения (5.88) являются рациональными

Замечание. Формулы (5.89), (5.90) дают общее решение уравнения (5.88) при соответствующем выборе параметров α и β.

Задача 5.4. Найти все мероморфные решения алгебраического автономного обыкновенного дифференциального уравнения

Замечание. Формула (5.92) дает общее решение уравнения (5.91).

Задача 5.5. Найти все мероморфные решения алгебраического автономного обыкновенного дифференциального уравнения

где инварианты g2, g3 эллиптической функции Вейерштрасса(z − z0) определяются равенствами

При выполнении условий α ≠ −4 и α ≠ −9 мероморфные решения (5.94) являются двоякопериодическими, в противном случае — простопериодическими.

79

5. Периодические мероморфные функции

Задача 5.6. Найти все эллиптические решения алгебраического автономного обыкновенного дифференциального уравнения

где α, β, γ, δ C.

Указание. Для построения рядов Лорана в окрестности конечных полюсов необходимо рассмотреть следующие укороченные уравнения

В первом случае соответствующие решения выглядят следующим образом:

Во втором случае эллиптические решения имеют два полюса в параллелограмме периодов и их можно представить в виде

w(z) = 144 2(z − z0) + 48α2 (z − z0) − 24α z(z − z0) + 11α4 , 4{36 (z − z0) + 11α2}

где инварианты g2, g3 эллиптической функции Вейерштрасса(z − z0) определяются равенствами

80