Демина Тселые и мероморфные функтсии 2015

1. Целые функции

Задача 1.4. Найти порядок и тип целой функции f(z) = sin z+ + e2z.

Решение. Действуя так же как и при решении примера 1.2,

Задача 1.5. Найти порядок и тип целой функции f(z),

где α > 0.

11

1. Целые функции

Решение. Воспользовавшись соотношением (1.13), получим

Целая функция f(z) имеет конечный положительный порядок. Вычислим ее тип:

(σeϱ)α = lim nα (ln n)α = lim (ln n)α = ∞.

n→∞ n n→∞

Таким образом, ответ исходной задачи имеет вид

Задача 1.9. Пусть целая трансцендентная функция f(z) имеет порядок 0 < ϱf < ∞ и тип σf . Найти порядок и тип функции g(z) = P (z)+Q(z)f(z), где P (z), Q(z) ̸≡0 — некоторые многочлены.

12

2. Разложение целых функций в бесконечные произведения

Ответ: ϱg = ϱf , σg = σf .

Задача 1.10. Найти порядок целой функции f(z), заданной степенным рядом

n=0

Ответ: ϱf = 0.

Задача 1.11. Найти порядок и тип целой функции f(z), заданной степенным рядом

Задача 1.12. Найти порядок и тип целой функции f(z),

Указание. Воспользоваться формулой Стирлинга, дающей асимптотическое представление для факториала.

Ответ: ϱf = 1, σf = 1.

2.Разложение целых функций в бесконечные произведения

Вэтом разделе мы будем интересоваться общим видом целой трансцендентной функции в зависимости от поведения последовательности ее нулей. Нетрудно убедиться в том, что количество нулей целой функции f(z) ̸≡const конечно или счетно. Прежде всего рассмотрим случай конечного числа нулей.

13

2. Разложение целых функций в бесконечные произведения

Теорема 2.1. Каждую целую трансцендентную функцию f(z), имеющую нули кратности k1, . . ., kn в точках z1, . . ., zn (zj ≠ ≠ zk, j ≠ k) и только в них, можно представить в виде

где g(z) — некоторая целая функция.

Из этой теоремы следует, что целая трансцендентная функция, вообще не имеющая нулей, выглядит следующим образом: f(z) = eg(z), где g(z) — целая функция.

Пусть теперь целая трансцендентная функция f(z) обладает бесконечным множеством нулей. В каждом круге |z| ≤ R будет содержаться лишь конечное число нулей. Следовательно, их все можно пронумеровать в порядке неубывающих модулей. Пусть f(0) ≠ 0. Тогда, повторяя каждый нуль столько раз, какова его кратность, получим последовательность комплексных чисел

обладающую свойствами 0 < |zn| ≤ |zn+1|, lim |zn| = ∞. Если

n→∞

же f(0) = 0, то функция f(z) будет иметь в начале координат еще один нуль некоторой кратности λ N. Справедливо утверждение, обобщающее теорему 2.1 на случай бесконечного числа нулей.

Теорема 2.2. Каждую целую трансцендентную функцию f(z) с нулями в точках последовательности Z и, быть может, в начале координат, можно представить в виде

— многочлены, обеспечивающие сходимость бесконечного произведения.

14

2. Разложение целых функций в бесконечные произведения

Отметим, что под (равномерной) сходимостью бесконечного произведения понимается (равномерная) сходимость последовательности частичных произведений. Можно показать, что при надлежащем выборе многочленов, бесконечное произведение в соотношении (2.3) равномерно сходится на любом компакте K C. В самом общем случае в качестве многочлена pk(z) можно взять выражение

отличающееся знаком от суммы первых k членов ряда Тейлора

( )

для функции ln 1 − z в окрестности точки z = 0. zk

Если целая трансцендентная функция f(z) имеет конечный порядок ϱ < ∞, то формулы (2.3), (2.4) допускают упрощения. Во-первых, целая функция g(z) на самом деле является многочленом, причем deg g(z) ≤ [ϱ]. Во-вторых, многочлены, стоящие в показателе экспоненты, можно выбрать так, чтобы их степень не возрастала бесконечно вместе с ростом k, но сохраняла одно и то же значение, которое связано с величинами параметра µ, обеспечивающими сходимость числового ряда вида

Точная нижняя грань значений µ, для которых ряд I сходится, называется показателем сходимости последовательности Z. Обозначим эту точную нижнюю грань символом τ. Таким образом, τ является неотрицательным числом и определяется по правилу

15

2. Разложение целых функций в бесконечные произведения

Показатель сходимости τ, вообще говоря, не является целым. В то же время, существует число { N+, задаваемое следующими условиями. Ряд I расходится при µ = { и сходится при µ = {+1, т.е.

Другими словами, { — это наибольшее целое число, для которого ряд I при µ = { расходится. Имеет место неравенство { ≤ ≤ [τ]. Тогда многочлены pk(z) в формуле (2.3) можно определить следующим образом:

Следовательно, целая трансцендентная функция конечного порядка ϱ < ∞ представима в виде

характеризует целую трансцендентную функцию f(z) конечного порядка. Любое другое подобное представление для этой же самой функции f(z) отличается от (2.10) перенумерацией нулей с одинаковым модулем и наличием аддитивного слагаемого 2πim, m Z в многочлене p(z).

Вейерштрасс доказал теорему обратную по отношению к теореме 2.2.

16

2. Разложение целых функций в бесконечные произведения

Теорема 2.3 (Теорема Вейерштрасса). Для любой последовательности комплексных чисел вида Z всегда существует целая трансцендентная функция f(z), нули которой совпадают с числами этой последовательности.

Отметим еще одно важное свойство целых трансцендентных функций.

Теорема 2.4 (Малая теорема Пикара). Целая трансцендентная функция f(z) принимает любое конечное значение A C за исключением, быть может, одного в бесконечном множестве точек.

Из малой теоремы Пикара следует, что уравнение

имеет бесконечно много решений для всех значений A C кроме, возможно, одного, которое принято называть исключительным. Пусть для целой трансцендентной функции f(z) существует значение A0 C, принимаемое в конечном числе точек z1, . . . , zn с кратностями k1, . . . , kn. Тогда имеет место соотношение

Если же уравнение (2.11) не имеет решений при некотором A0C, то целая функция f(z) выглядит следующим образом:

В равенствах (2.12) и (2.13) g(z) — некоторая целая функция.

Задача 2.1. Разложить целую функцию f(z) = sin z в бесконечное произведение.

17

2. Разложение целых функций в бесконечные произведения

(см. раздел 1). Он конечен и равен 1, поэтому мы можем воспользоваться тем фактом, что в соотношении (2.3) функция g(z) является многочленом, степень которого не превосходит единицы. Положим g(z) = C1z + C0. Для определения многочленов {pk(z)}, стоящих в показателе экспонент, нам необходимо рассмотреть ряд

k=1

Этот ряд расходится при µ = 1 и сходится при µ = 2. Следовательно, { = 1. Тогда

Нам осталось определить параметры eC0 и C1. Заметим, что функция

является четной. Следовательно, при любых значениях z C справедливо равенство

В результате находим C1 = 0. Далее в соотношении (2.15) перейдем к пределу при z → 0, получим eC0 = 1. Тогда ответ исходной задачи примет вид

18

2. Разложение целых функций в бесконечные произведения

Задача 2.2. Разложить целую функцию f(z) = ez − 1 в бесконечное произведение.

Решение. Найдем нули функции f(z) = ez −1. Имеем z = 2πki, k Z. Все нули простые, поэтому последовательность Z имеет вид: Z = {2πi, −2πi, 4πi, −4πi, . . .}. Порядок ϱ функции f(z) = = ez −1 конечен и равен 1. Тогда в соотношении (2.3) мы можем положить g(z) = C1z + C0. Как и в примере 2.1 ряд

k=1

расходится при µ = 1 и сходится при µ = 2, поэтому { = 1. Тогда

Перейдем в этом равенстве к пределу при z → 0, в результате найдем eC0 = 1. Далее, чтобы определить коэффициент C1, рассмотрим функцию

19

2. Разложение целых функций в бесконечные произведения

где мы уже учли, что eC0 = 1, и вычислим предел при z → 0.

Задача 2.3. Разложить целую функцию f(z) = ch z − cos z в бесконечное произведение.

Решение. Будем искать нули функции f(z) = ch z−cos z. С этой целью воспользуемся соотношениями:

Таким образом, множество нулей функции f(z) состоит из всех корней уравнений e(1+i)z = 1 и e(1−i)z = 1. Решая эти уравнения,

получаем z = (1 + i)πn и z = (1 − i)πm, где n, m Z. Далее нам требуется определить кратности нулей. Вычисляя производную

20