Демина Тселые и мероморфные функтсии 2015

5. Периодические мероморфные функции

Далее откажемся от требования эллиптичности и построим

функции, связанные с функцией Вейерштрасса (z) так же, как ctg (ωπ z) и sin (ωπ z) связаны с cosec2 (ωπ z).

Начнем с целой функции, имеющей простые нули в точках последовательности {Ωn1,n2 = n1ω1 + n2ω2, n1, n2 Z}. Заметим, что ряд

сходится при µ > 2. Следовательно, искомая функция выглядит следующим образом:

где g(z) — некоторая целая функция. Если в равенстве (5.15) положить g(z) = 0, то мы получим так называемую сигмафункцию Вейерштрасса

Логарифмическая производная сигма-функции ζ(z) = = {ln σ(z)}z:

обладает простыми полюсами в точках последовательности

{Ωn1,n2 = n1ω1 + n2ω2, n1, n2 Z}. Функцию (5.17) называют дзета-функцией Вейерштрасса. Сигма- и дзета-функции

связаны с эллиптической функцией Вейерштрасса посредством соотношений: {ln σ(z)}z = ζ(z), {ζ(z)}z = − (z). Из соответствующих разложений на простейшие дроби и

51

5. Периодические мероморфные функции

представления в виде бесконечного произведения можно сделать вывод, что функции σ(z), ζ(z), z(z) являются нечетными, а функция (z) — четной.

Двоякопериодическая мероморфная функция f(z) имеет лишь конечное число полюсов в каждом из параллелограммов периодов. Следовательно, разложив эллиптическую функцию f(z) на простейшие дроби, можно сделать вывод, что произвольная эллиптическая функция представима в виде

ζ(z − aj) + h0,

Если это условие не выполнено, то функция (5.18) не будет эллиптической.

Отметим еще одно свойство простопериодических и двоякопериодических мероморфных функций. Говорят, что функция f(z) обладает алгебраической теоремой сложения, если существует такой многочлен своих аргументов L, что для любых значений z C и s C выполняется соотношение

52

5. Периодические мероморфные функции

Среди всех однозначных функций только рациональные,

рациональными от экспоненты e ω , и эллиптические обладают алгебраической теоремой сложения.

Второе из этих соотношений записано в наиболее удобном для приложений виде. Функция z(z) алгебраически связана с функцией Вейерштрасса (z) (см. выражение (5.36)). Следовательно, формулу (5.22) можно привести к виду (5.20).

Заметим, что для функции ζ(z), не являющейся

является таковой в смысле определения данного выше, поскольку эллиптическую функцию Вейерштрасса (z) нельзя алгебраически выразить через дзета-функцию ζ(z).

Важной задачей аналитической теории обыкновенных дифференциальных уравнения является задача интегрирования

53

5. Периодические мероморфные функции

Теорема 5.4 (Теорема Виттиха). Если алгебраическое обыкновенное дифференциальное уравнение (5.24) содержит только один доминирующий дифференциальный моном, то оно не может иметь целых трансцендентных решений.

Дадим определение доминирующего дифференциального монома. Дифференциальное уравнение (5.24) представляет собой сумму дифференциальных мономов вида

Каждому дифференциальному моному может быть поставлен в соответствие векторный показатель степени Q = (q1, q2) по следующим правилам:

3)при произведении мономов их векторные показатели складываются как векторы.

Определение 5.1. Дифференциальный моном уравнения (5.24) называется доминирующим, если он имеет наибольшую среди всех мономов дифференциального уравнения вторую компоненту q2 векторного показателя степени.

Приведем примеры. Обыкновенное дифференциальное уравнение

имеет только один доминирующий моном: w2wzz. В свою очередь, для уравнения

54

5. Периодические мероморфные функции

доминирующими мономами являются: 4wz2, −2wwzz.

Из теоремы 5.4 следует, что мероморфные решения уравнения (5.24) с одним доминирующим мономом являются или полиномами, или имеют хотя бы один полюс. Уравнение (5.24) необходимо имеет мероморфные трансцендентные решения только тогда, когда этому уравнению удовлетворяет хотя бы один ряд Лорана

где параметр m N обозначает порядок полюса в точке z = z0 и c−m ≠ 0.

Опишем алгоритм построения рядов Лорана, удовлетворяющих уравнению (5.24). Сначала будем искать ряды Лорана в окрестности точки z = 0. Другими словами, предположим, что в соотношении (5.27) выполнено z0 = 0.

Следуя работам [9], введем понятие многоугольника Ньютона для обыкновенного дифференциального уравнения. Отметим на плоскости переменных (q1, q2) точки, соответствующие векторным показателям всех мономов дифференциального уравнения (5.24). Замыкание выпуклой оболочки этих точек дает выпуклый многоугольник N, который будем называть многоугольником Ньютона дифференциального уравнения. Примеры многоугольников Ньютона будут приведены ниже. Граница многоугольника N включает в себя вершины и ребра. Каждой обобщенной грани (вершине или ребру), соответствует укороченное уравнение, состоящее из мономов дифференциального уравнения (5.24), показатели степеней которых принадлежат данной обобщенной грани. Далее для каждого укороченного уравнения найдем все степенные решения w(z) = crzr. С этой целью в укороченных уравнениях выполним подстановку w(z) = crzr.

Если степенная функция w(z) = crzr удовлетворяет укороченному уравнению, соответствующему ребру, то

55

5. Периодические мероморфные функции

параметры r и cr определяются однозначно, при этом для cr может получиться несколько значений. Если же степенная функция w(z) = crzr удовлетворяет укороченному уравнению, соответствующему вершине, то коэффициент cr произволен, а для параметра r может возникнуть некоторое множество значений. Решения укороченных уравнений порождают асимптотики решений исходного уравнения (5.24). Пусть при подстановке решения укороченного уравнения w(z) = crzr в уравнение (5.24) мономы, не входящие в соответствующее укорочение, дают степени {p1, . . . , pM } такие, что pj > r, где j = 1, . . . , M. Тогда для соответствующей асимптотики мы имеем z → 0. В свою очередь, при pj < r, где j = 1, . . . , M, выполнено z → ∞. Если же многоугольник N вырождается в ребро или вершину, то необходимо рассматривать оба случая: z → 0 и z → ∞.

Нас интересуют разложения в ряд Лорана в окрестности полюса z = 0, поэтому на этом шаге необходимо отобрать укороченные уравнения, которые порождают степенные асимптотики при z → 0 с целыми отрицательными степенями r Z, r < 0. Пусть уравнение (5.24) имеет асимптотику w(z) = = c−mz−m при z → 0. Тогда эта асимптотика может порождать ряд вида (5.27) при z0 = 0. Далее необходимо проверить существование этого ряда. Подставляя рассматриваемый ряд в уравнение (5.24), мы придем к системе относительно его коэффициентов

где j = −m+1, −m+2, . . ., {Pj} — многочлены своих аргументов. Функция S(j) также является многочленом. Корни многочлена S(j) называют индексами Фукса. Для каждого индекса Фукса j0 такого, что j0 > −m, j0 Z, коэффициент cj0 оказывается произвольным при выполнении условия совместности

56

5. Периодические мероморфные функции

Если же для какого-либо индекса Фукса j0 такого, что j0 > > −m, j0 Z, условие совместности (5.29) не выполнено, то ряд Лорана с соответствующим старшим слагаемым не удовлетворяет уравнению (5.24). Заметим, что выполнимость условий совместности может зависеть от параметров исходного уравнения (5.24) и от коэффициентов {ck} с номерами, соответствующими меньшим индексам Фукса. Таким образом, чтобы убедиться в том, что асимптотика y(z) = c−mz−m порождает ряд Лорана вида (5.27) при z0 = 0, необходимо провести расчеты по формуле (5.28) до наибольшего целого индекса Фукса.

Индексы Фукса могут быть найдены и без подстановки соответствующего ряда в исходное уравнение (5.24). Для каждого укороченного уравнения Ep = 0 введем в рассмотрение линейный дифференциальный оператор L по следующим

L (f + g) = L (f) + L (g) , L (fg) = gL (f) + fL (g) ,

где f, g — дифференциальные мономы. Назовем этот оператор первой вариацией.

Вычисляя первую вариацию от левой части Ep соответствующего укороченного уравнения Ep = 0 на решениях w = c−mz−m и действуя результатом как оператором на функцию zj, получаем

где S(j) — искомый многочлен. Если укороченное уравнение Ep = 0 является автономным, т.е. в явном виде не содержит независимую переменную z, то многочлен S(j) всегда имеет корень −m − 1. С помощью описанного алгоритма могут быть

57

5. Периодические мероморфные функции

построены все ряды Лорана вида (5.27) при z0 = 0, а также, при необходимости, ряды Лорана в окрестности точки z = ∞:

∑m1

Чтобы получить ряды (5.32), необходимо для асимптотик w(z) = = dm1zm1, z → ∞, m∞ Z вычислить индексы Фукса и проверить условия совместности для каждого индекса j0 такого, что j0 Z, j0 < m∞. Индексы Фукса могут быть найдены так же как и в предыдущем случае действием соответствующей первой вариации на степенную функцию zj. Подстановка ряда (5.32) в уравнение (5.24) дает выражение

могут быть найдены, если в уравнении (5.24) перейти от переменной z к переменной z˜ = z − z0. В результате такой замены мы опять получим алгебраическое обыкновенное дифференциальное уравнение

где y(˜z) = w(˜z + z0). Для уравнения (5.34) можно повторить описанную выше процедуру и найти все ряды Лорана в окрестности точки z˜ = 0, а затем вернуться к переменной z.

Заметим, что описанный выше алгоритм, вообще говоря, позволяет получать асимптотические ряды. Однако, известно, что найдется такое число ε > 0, что ряд Лорана (5.27), удовлетворяющий уравнению (5.24), будет сходиться в кольце 0 < |z − z0| < ε. Если хотя бы одно из условий совместности не выполняется, то в коэффициенты соответствующего ряда необходимо вводить логарифмические слагаемые: lnk(z − z0),

58

5. Периодические мероморфные функции

k N. Такие ряды, часто называемые Ψ-рядами, не могут порождать мероморфные решения, поэтому далее мы не будем останавливаться на этом вопросе.

Полученную локальную информацию о решениях можно использовать для получения глобальной информации и, в некоторых случаях, для построения решений в явном виде. Справедливы следующие теоремы.

Теорема 5.5. Пусть ряд Лорана (5.27) с фиксированными коэффициентами {ck} и параметром z0 удовлетворяет алгебраическому обыкновенному дифференциальному уравнению (5.24). Тогда уравнение не может иметь более одного мероморфного решения, раскладывающегося в окрестности точки z = z0 в рассматриваемый ряд.

доминирующий дифференциальный моном, то оно не может иметь мероморфных трансцендентных решений с конечным числом полюсов.

Утверждение теоремы 5.5 можно доказать, пользуясь единственностью разложения в ряд Лорана и единственностью аналитического продолжения. Теорема 5.6 является следствием теоремы 5.4.

Существует эффективный алгоритм, позволяющий находить меромофные решения алгебраических автономных обыкновенных дифференциальных уравнений [11, 12]. Обыкновенное дифференциальное уравнение называют автономным, если оно не содержит независимую переменную z в явном виде:

59

5. Периодические мероморфные функции

для любого решения w(z) мы на самом деле имеем семейство решений w(z − z0). Без ограничения общности будем опускать постоянную z0.

Теорема 5.7. Любая эллиптическая функция удовлетворяет некоторому алгебраическому автономному обыкновенному дифференциальному уравнению первого порядка.

Например, такое уравнение для эллиптической функции

Параметры g2, g3 называют инвариантами, они связаны с периодами ω1, ω2 посредством соотношений:

Далее детально рассмотрим алгоритм нахождения в явном виде любого эллиптического решения уравнения (5.35).

Шаг 1. Построить все ряды Лорана в окрестности полюса z = 0, которые удовлетворяют уравнению (5.35).

Шаг 2. Зафиксировать порядок M искомого эллиптического решения w(z) и выбрать K различных рядов Лорана

среди найденных на шаге 1 так, чтобы выполнялись следующие условия:

60