Демина Тселые и мероморфные функтсии 2015

4. Суммирование некоторых рядов

справедливы равенства

Заметим, что можно отказаться от условия несовпадения полюсов {a1, a2, . . . , aN } мероморфной функции F (z) с точками последовательности Zj. В этом случае соответствующие значения k нужно просто исключить из суммы рядов в левой части равенств (4.3). При этом в правой части (4.3) для каждого такого k0, что an0 = zk0 , требуется найти вычеты

j = 1, 2 : −π res {F (z)fj(z)} ,

z=an0

(4.5)

j = 3, 4 : π res {F (z)fj(z)}

z=an0

соответствующих функций в полюсах, порядок которых уже выше единицы.

Последовательность кривых {γm, m N} из теоремы 4.1 существует всегда, если мероморфная функция F (z) есть

41

4. Суммирование некоторых рядов

частное двух многочленов и степень многочлена в числителе на два и более меньше степени многочлена в знаменателе.

Подставляя этот результат в выражение (4.6), находим ответ исходной задачи

и b не является целым числом.

42

4. Суммирование некоторых рядов

1

Решение. Функция F (z) = (z + b)2 имеет один полюс второго

порядка в точке a1 = −b. Согласно формуле (4.3) при j = 2, находим

Решение. Несложно заметить, что имеют место равенства:

Следовательно, мы получаем

43

4. Суммирование некоторых рядов

1

Введем функцию F (z) = z2 , имеющую один полюс второго

порядка в точке a1 = 0, и воспользуемся формулой (4.3) при j = 3. Имеем

полюс второго порядка в точке a1 = 0. Будем пользоваться формулой (4.3) при j = 1 с учетом того факта, что a1 совпадает

Порядок полюса функции ctg(πz) в точке z = 0 равен трем. z2

Разложив целые функции cos(πz) и sin(πz) в ряд Тейлора в окрестности точки z = 0, получим:

44

4. Суммирование некоторых рядов

Следовательно, разложение мероморфной функции ctg(πz) в ряд Лорана в окрестности точки z = 0 будет иметь вид

k=0

45

5. Периодические мероморфные функции

k=1

5.Периодические мероморфные функции

Обширным подмножеством мероморфных функций являются периодические мероморфные функции. Мероморфная функция f(z) ̸≡const называется периодической мероморфной функцией, если существует отличное от нуля комплексное число ω, такое что выполнено равенство

При этом, если функция f(z) имеет полюс в точке z0, то она должна иметь полюс и в точке z0 + ω. Множество периодов периодической мероморфной функции имеет один из двух видов:

функцию называют простопериодической, во втором — двоякопериодической или эллиптической. Далее подробнее остановимся на некоторых свойствах периодических мероморфных функций.

Пусть ω ≠ 0 — период мероморфной функции f(z), а именно, основной период, если f(z) простопериодическая, или один из пары основных периодов, если f(z) двоякопериодическая. Через точки nω, n Z проведем прямые, параллельные какому-либо направлению, отличному от направления, задаваемого числом

46

5.Периодические мероморфные функции

ω. Таким образом мы разобьем всю плоскость на полосы равной ширины, которые принято называть полосами периодов. Все значения, которые функция f(z) принимает в одной из этих полос, периодически повторяются во всех остальных полосах. Поведение периодической мероморфной функции достаточно изучить в одной из полос периодов.

Рассмотрим многозначную функцию

определенную в двусвязной области G, получающейся из вспомогательной плоскости комплексного переменного ξ удалением двух точек ξ = 0 и ξ = ∞. В каждой точке ξ из области G эта функция принимает бесконечное счетное множество значений, которые отличаются друг от друга на целые кратные ω. Следовательно, в силу периодичности f(z)

особая точка для функции f(z), то соответствующая точка ξ будет точкой аналитичности для функции ψ(ξ). В точках, соответствующих полюсам f(z), эта функция будет также иметь полюсы. Таким образом, любую периодическую мероморфную функцию f(z) можно представить в виде

( )

2πi z

f(z) = ψ e ω , (5.5)

где ψ(ξ) — мероморфная функция в двусвязной области G. Пусть f(z) является целой периодической функцией. Тогда соответствующая ей функция ψ(ξ) не имеет особых точек в области G и, следовательно, разлагается в этой области в ряд

Лорана

∑∞

47

5. Периодические мероморфные функции

2πiz

Возвращаясь к переменной z с помощью подстановки ξ = e ω , получим для функции f(z) представление рядом Фурье

k=−∞

Найдем общий вид простопериодической мероморфной функции с конечным числом полюсов в полосе периодов. С этой

точках z = ωk, k Z. Пользуясь решением примера 3.2, получим

Пусть простопериодическая мероморфная функция f(z)

{m1, m2, . . . , mK } с главными частями разложений в ряд Лорана:

где h(z) — целая периодическая функция, а ω — период функций f(z) и h(z). Для функции h(z) параметр ω может оказаться не основным периодом, однако частное от деления ω на основной период функции h(z) должно быть целым числом.

48

5. Периодические мероморфные функции

Пусть теперь f(z) — произвольная двоякопериодическая мероморфная функция с основными периодами ω1 и ω2. Точки z1 и z2, отличающиеся на некоторый период n1ω1 + n2ω2, называют конгруентными. Рассмотрим параллелограмм с вершинами в точках 0, ω1, ω2 и ω1 + ω2. Будем причислять к этому параллелограмму стороны 0ω1, 0ω2 без вершин ω1, ω2 и не причислять остальную часть границы. Построенный параллелограмм, а также все параллелограммы, конгруентные ему, называют параллелограммами периодов. Поведение двоякопериодической мероморфной функции достаточно изучить в одном из параллелограммов периодов. Из теоремы Лиувилля следует, что целая двоякопериодическая функция является постоянной. Следовательно, каждый параллелограмм периодов должен содержать хотя бы один полюс функции f(z). В силу мероморфности суммарное число полюсов f(z), лежащих в параллелограмме периодов, конечно. Это число, при условии что каждый полюс считается столько раз, каков его порядок, называют порядком эллиптической функции f(z). Справедливы следующие утверждения.

Теорема 5.1. Сумма вычетов эллиптической функции

не зависит от A и равно порядку эллиптической функции.

Теорема 5.3. Сумма всех A–точек эллиптической функции f(z) ̸≡const, принадлежащих параллелограмму периодов, конгруентна с суммой всех полюсов, принадлежащих параллелограмму периодов.

Из теоремы 5.1 следует, что порядок любой эллиптической функции не может быть меньше двух. Примером эллиптической функции второго порядка служит эллиптическая функция

49