Демина Тселые и мероморфные функтсии 2015

2.Разложение целых функций в бесконечные произведения

ипользуясь соотношениями

вместе с равенствами ez = eiz или ez = e−iz, справедливыми в нулях функции f(z), убеждаемся что все нули простые, кроме z = 0. Далее

и f′′(0) = 2 ≠ 0. Следовательно, точка z = 0 является нулем кратности 2. Тогда последовательность Z примет вид: Z = {(1 + + i)π, −(1 + i)π, (1 − i)π, −(1 − i)π, . . .}. Порядок ϱ функции f(z) конечен и равен 1, поэтому в соотношении (2.3) мы можем положить g(z) = C1z + C0. Как и в примерах 2.1, 2.2 ряд (2.5) для последовательности Z расходится при µ = 1 и сходится при µ = 2, поэтому { = 1. Тогда

В этом соотношении для соответствующих сомножителей мы провели преобразования:

21

2. Разложение целых функций в бесконечные произведения

Перейдем в этом равенстве к пределу при z → 0, получим

Следовательно, eC0 = 1. Далее, чтобы определить коэффициент C1, рассмотрим функцию

где мы уже учли, что eC0 = 1, и вычислим предел при z → 0. Имеем

= lim O(|z|6) = 0.

z→0 O(|z|3)

Решение. Найдем нули функции f(z) = ez2 + e2z−1, что эквивалентно поиску решений уравнения

22

2.Разложение целых функций в бесконечные произведения

Врезультате получаем четыре семейства решений

Вычисляя производную f′(z) = 2(zez2 + e2z−1) и подставляя в это соотношение равенство ez2 = −e2z−1, убеждаемся, что все корни простые. Функция f(z) является целой и имеет порядок ϱ = 2. Для удобства вычислений будем раскладывать f(z) в бесконечное произведение по переменной z − 1. Заметим, что такая замена не меняет ни порядок функции, ни кратность нулей. Тогда последовательность Z примет вид

В соотношении (2.3) положим g(z) = C2(z − 1)2 + C1(z − 1) + + C0. Ряд (2.5) для последовательности Z выглядит следующим образом:

Этот ряд расходится при µ = 2 и сходится при µ = 3, поэтому { = 2. Тогда

В этом соотношении для соответствующих сомножителей мы

23

2. Разложение целых функций в бесконечные произведения

где мы уже учли, что eC0 = 2e, и вычислим предел при z → 1. Справедливо представление ez2 + e2z−1 = 2e + 4e(z − 1) + 5e(z −

24

2.Разложение целых функций в бесконечные произведения

−1)2 + o(|z − 1|2), где z → 1. Тогда

=lim 4e + o(|z − 1|) = 2. z→1 2e + o(|z − 1|)

Для вычисления коэффициента C2 введем функцию

Заметим, что eC2(z−1)2 = 1 + C2(z − 1)2 + o(|z − 1|2), где z → 1. Тогда, переходя в равенстве (2) к пределу при z → 1, находим

25

3. Мероморфные функции

Ответ:

Задача 2.7. Разложить целую функцию f(z) = eαz − eβz, где α, β C, α ≠ β, в бесконечное произведение.

Задача 2.8. Разложить целую функцию f(z) = ez − eα, где α C, в бесконечное произведение.

3.Мероморфные функции

Впредыдущих разделах мы рассмотрели функции, аналитические на всей комплексной плоскости C. Если мы ослабим это требование и допустим существование наиболее «простых» особых точек (полюсов), то придем к другому, не менее важному классу функций.

26

3. Мероморфные функции

Определение 3.1. Однозначная функция f(z) называется мероморфной, если она не имеет других особых точек в конечных точках плоскости, кроме, быть может, полюсов.

Любую мероморфную функцию f(z) можно представить как частное двух целых функций g(z), h(z):

Если бесконечно удаленная точка является устранимой особой точкой или полюсом мероморфной функции f(z), то в этом случае f(z) — рациональная функция. Каждая целая функция является мероморфной.

Мероморфные функции, отличные от рациональных, принято называть трансцендентными мероморфными функциями. Например, tg z, cosec z являются трансцендентными мероморфными функциями. В качестве более сложного примера приведем гамма–функцию Эйлера Γ(z). В полуплоскости Re z >

> 0 она определяется интегралом

∫ ∞

На всю комплексную плоскость Гамма–функцию можно аналитически продолжить, например, через равенство Γ(z + + 1) = zΓ(z). Гамма–функция является мероморфной c простыми полюсами в точках z = −n, n N+. Она представима в виде

где F (z) — целая функция первого порядка максимального типа, а γ — так называемая постоянная Эйлера

k=1

27

3. Мероморфные функции

Получим общий вид мероморфной функции в зависимости от структуры множества ее полюсов. Сначала рассмотрим случай конечного числа полюсов.

Теорема 3.1. Пусть мероморфная функция f(z) имеет полюсы порядков m1, . . ., mn в точках z1, . . ., zn (zj ≠ zk, j ≠ k) и только в них, с главными частями разложений в ряд Лорана

где h(z) — некоторая целая функция.

Если в соотношении (3.6) функция h(z) является многочленом, то мероморфная функция f(z) становится рациональной, а равенство (3.6) представляет собой разложение рациональной функции на простейшие дроби.

Пусть теперь мероморфная функция f(z) имеет бесконечное число полюсов. Как и в случае с нулями целой функции, в каждом круге |z| ≤ R будет содержаться лишь конечное число полюсов, поэтому их все можно пронумеровать в порядке неубывающих модулей. Заметим, что бесконечно удаленная точка является неизолированной особой точкой мероморфной функции с бесконечным числом полюсов. Составим последовательность полюсов

где |zn| ≤ |zn+1|, lim |zn| = ∞. В отличие от последовательности

n→∞

нулей целых функций здесь мы не повторяем каждый полюс столько раз, каков его порядок, а записываем один раз.

28

3. Мероморфные функции

Представление мероморфной функции с бесконечным числом полюсов сохраняет вид (3.6) с закономерными отличиями: конечная сумма превращается в ряд и для обеспечения сходимости этого ряда к каждому слагаемому Fk(z), возможно, добавляется некоторая поправочная функция.

Теорема 3.2. Любую мероморфную функцию f(z) с последовательностью полюсов Z = {z1, z2, . . . , zn, . . .} и последовательностью соответствующих главных частей разложений в ряд Лорана {Fk(z)} можно представить в виде

ряда

∑∞

где h(z) – некоторая целая функция, а {qk(z)} – многочлены, представляющие собой начальные отрезки разложений функций {Fk(z)} в ряд Тейлора в окрестности точки z = = 0. Если z1 = 0, то полагают q1(z) = 0.

Отметим, что прежде, чем рассматривать (равномерную) сходимостью рядов вида (3.8) на множестве M C, необходимо удалить из ряда слагаемые, имеющие полюса в M. Можно показать, что при надлежащем выборе степеней многочленов {qk(z)} ряд в соотношении (3.8) равномерно сходится на любом компакте K C. Вообще говоря, степени многочленов {qk(z)} растут с ростом k. Однако в отдельных случаях они могут быть зафиксированы. Один из таких случаев рассмотрен в теореме 3.3.

≠ 0, z2, . . . , zn, . . .} и последовательностью соответствующих главных частей разложений в ряд Лорана {Fk(z)} существует последовательность замкнутых положительно ориентированных кривых Жордана {γm, m N},

29

3. Мероморфные функции

окружающих начало координат и не проходящих через полюсы f(z), которая удовлетворяет условиям:

1) область, ограниченная кривой γm, содержится в области ограниченной кривой γm+1;

2) расстояние dm = min |z| от начала координат до кривой γm

z γm

удовлетворяет условию lim dm = ∞;

m→∞

3)существует постоянная A > 0, такая что длина lm кривой γm подчиняется неравенству lm ≤ Adm, m N.

Тогда, если существуют некоторые постоянные C > 0, δ N+ такие, что выполнено условие

+ 1 членов разложения функций {Fk(z)} в ряд Тейлора в окрестности точки z = 0.

Замечание. Если в условиях теоремы 3.3 заменить

то представление мероморфной функции f(z) будет иметь особенно простой вид

∑∞

30